Enunciado

Sejam AA′, BB′ e CC′ segmentos de reta no plano, se AA′ é equipolente a BB′ e BB′ é equipolente a CC′, prove que AA′ e CC′ são equipolentes.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Por definição, os segmentos orientados XX′ e YY′ são ditos equipolentes se o ponto médio do segmento XY′ coincidir com o ponto médio de X’Y. Por outro ponto de vista, vamos considerar os pontos: X = (a,b), X′ = (a′,b′), Y = (c,d) e Y′ = (c′,d′), para que os segmentos orientados XX′ e YY′ sejam equipolentes é necessário que a′−a = c′−c e b′−b = d′−d.

Vamos considerar para o nosso problema os seguintes pontos e suas coordenadas:

A = x a , y a ;   A ' = x a ' , y a ' ; B = x b , y b ; B ' = x b ' , y b ' ; C = x c , y c ; C ' = ( x c ' , y c ' )

Do enunciado, temos que AA’ é equipolente a BB’, ou seja, por definição:

x a ' - x a = x b ' - x b         e         y a ' - y a = y b ' - y b

Ainda enunciado, temos que BB’ é equipolente a CC’, ou seja, por definição:

x b ' - x b = x c ' - x c         e         y b ' - y b = y c ' - y c

Veja que,

x a ' - x a = x b ' - x b e x b ' - x b = x c ' - x c logo, por transitividade: x a ' - x a = x c ' - x c

E também,

y a ' - y a = y b ' - y b e y b ' - y b = y c ' - y c logo, por transitividade: y a ' - y a = y c ' - y c

Sendo assim, se:

x a ' - x a = x c ' - x c       e     y a ' - y a = y c ' - y c    

Por definição, AA’ é equipolente a CC’, como queríamos demonstrar.

Resposta

Veja a demonstração acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:b) A 3,1 , 4 ; B ( 3 , - 2,2 ) .
Dada a reta x = 2 + t y = 3 - t z = - 4 + 2 t Determinar o ponto r tal que A ordenada seja 6 .
Dada a reta r : ( x , y , z ) = ( - 1 , 2 , 3 ) + t ( 2 , - 3 , 0 ) , escrever equações paramétricas de r .
Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: A 1 , - 1,2 ; B ( 2,1 , 0 )
Dada a reta x = 2 + t y = 3 - t z = - 4 + 2 t Determinar o ponto r tal que b) a abscissa seja igual à ordenada;