Seja T :   R 3 → R 2 tal que

T B 2 B 1 = 1 0 - 1 - 1 1 1

sendo B 1 = { 0 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 } e B 2 = { - 1 ,   0 ,   0 ,   - 1 } bases do R 3 e do R 2 , respectivamente.

a) Encontrar a expressão de T ( x , y , z ) .

b) Determinar I m ( T ) e uma base para esse subespaço.

c) Determinar N ( T ) e uma base para esse subespaço.

d) T é injetora? T é sobrejetora?

Passo 1

Fala aí! tudo certo?

A questão fornece a matriz de transformação linear entre duas bases (que não são canônicas) e pede para acharmos a expressão de T ( x , y , z ) , encontrar a imagem e o núcleo de T e dizer se T é injetora ou sobrejetora.

Tem ideia de como fazemos isso?

A matriz T B 2 B 1 representa a transformação T em relação às bases B 1 e B 2 .

T B 2 B 1 = 1 0 - 1 - 1 1 1

Se B 1 = v 1 , v 2 , v 3 e B 2 = w 1 , w 2 , então:

T v 1 = 1 · w 1 - 1 · w 2 ,     T v 2 = 0 · w 1 + 1 · w 2 , ��   T v 3 = - 1 · w 1 + 1 · w 2

Portanto, a expressão T x , y , z pode ser obtida calculando a transformação T na base canônica de R 2 .

Bora começar!

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer é encontrar a transformação T na base canônica.

Vamos escrever o domínio B 1 como combinação linear da base canônica.

x , y , z = a · 0 ,   1 ,   1 + b · 1 ,   0 ,   0 + c �� 1 ,   0 ,   1

x , y , z = b + c , a , a + c

Resolvendo esse sistema, temos que:

a = y

b = x - z + y

c = z - y

Logo, x , y , z na base B 1 é:

x , y , z B 1 = y x + y - z z - y

Calculando o produto T B 2 B 1 · x , y , z B 1 ...

T B 2 B 1 · x , y , z B 1 = 1 0 - 1 - 1 1 1 y x + y - z z - y = 2 y - z x - y

E finalmente, convertendo para a base B 2 , temos:

T x , y , z = 2 y - z - 1,0 + x - y 0 , - 1

T x , y , z = - 2 y + z , - x + y

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos determinar a imagem de T . Pra isso podemos usar a expressão T x , y , z .

A imagem de T é o conjunto de todos os vetores de R 2 que podem ser escritos como T x , y , z .

Ou seja:

T x , y , z = - 2 y + z , - x + y = a , b

- 2 y + z = a

- x + y = b

Com isso temos:

z = a + 2 y ,     x = y - b

Isso implica que podemos escolher y livremente, logo a imagem de T é todo R 2

E uma base para isso pode ser a base canônica.

I m T = R 2 ,   1,0 , 0,1

Show?

Passo 4

Agora vamos encontrar o núcleo de T .

O núcleo de uma transformação é o conjunto de vetores tais que T x , y , z = 0,0 .

Ou seja:

- 2 y + z , - x + y = 0 , 0

Novamente podemos deixar tudo em função de y ...

z = 2 y ,     x = y

Logo, o nuclo de T é:

N T = 1,1 , 2 y ,     y ∈ R

Bacana não é?

Passo 5

E por fim, para verificar se T é sobrejetora ou injetora temos que lembrar das propriedades:

  • Injetividade
    • Uma transformação é injetora se N T = 0 .
  • No nosso caso, T tem dimensão 1 e não é nulo, logo T não é injetora.

  • Sobrejetividade
    • Uma transformação linear é sobrejetora se I m T é igual ao seu contradomínio.

Nesse caso I m T = R 2 e seu contradomínio também, logo, T é sobrejetora.

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

T x , y , z = - 2 y + z , - x + y

I m T = R 2 ,   1,0 , 0,1

N T = 1,1 , 2 y ,     y ∈ R

Não é injetora, mas é sobrejetora.

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