Seja tal que
sendo e bases do e do , respectivamente.
a) Encontrar a expressão de .
b) Determinar e uma base para esse subespaço.
c) Determinar e uma base para esse subespaço.
d) é injetora? é sobrejetora?
Passo 1
Fala aí! tudo certo?
A questão fornece a matriz de transformação linear entre duas bases (que não são canônicas) e pede para acharmos a expressão de , encontrar a imagem e o núcleo de e dizer se é injetora ou sobrejetora.
Tem ideia de como fazemos isso?
A matriz representa a transformação em relação às bases e .
Se e , então:
Portanto, a expressão pode ser obtida calculando a transformação na base canônica de .
Bora começar!
Passo 2
A primeira coisa que temos que fazer é encontrar a transformação na base canônica.
Vamos escrever o domínio como combinação linear da base canônica.
Resolvendo esse sistema, temos que:
Logo, na base é:
Calculando o produto ...
E finalmente, convertendo para a base , temos:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos determinar a imagem de . Pra isso podemos usar a expressão .
A imagem de é o conjunto de todos os vetores de que podem ser escritos como .
Ou seja:
Com isso temos:
Isso implica que podemos escolher livremente, logo a imagem de é todo
E uma base para isso pode ser a base canônica.
Show?
Passo 4
Agora vamos encontrar o núcleo de .
O núcleo de uma transformação é o conjunto de vetores tais que .
Ou seja:
Novamente podemos deixar tudo em função de ...
Logo, o nuclo de é:
Bacana não é?
Passo 5
E por fim, para verificar se é sobrejetora ou injetora temos que lembrar das propriedades:
- Injetividade
- Uma transformação é injetora se .
- Sobrejetividade
- Uma transformação linear é sobrejetora se é igual ao seu contradomínio.
No nosso caso, tem dimensão e não é nulo, logo não é injetora.
Nesse caso e seu contradomínio também, logo, é sobrejetora.
É isso! O que achou? Responde Aí!
Resposta
Não é injetora, mas é sobrejetora.