Enunciado

Sendo X = x , y um ponto de E : x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 e d 1 e d 2 as distâncias de X aos focos, calcule?

  1. d 1 e d 2 em função de y ;
  2. Os valores máximo e mínimo de d 1 e d 2 ; em que pontos ocorrem?

Passo 1

Vamos começar respondendo a letra a).

Se assumirmos, através das definições da elipse, que a > b , temos uma elipse com focos no eixo O y e centrada na origem para esta questão. Estes focos estão localizados em F = 0 , ± c , sendo c = a 2 - b 2 .

Vamos então seguir os cálculos carregando os sinais ± da coordenada c . Com isto, conseguiremos as duas respostas de uma vez só! Mais fácil né!

Então vamos lá. Um ponto X = x , y ∈ e l i p s e se e somente se este ponto satisfaz a equação da elipse. Portanto,

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

x 2 = b 2 ⋅ 1 - y 2 a 2  

x = b 2 ⋅ 1 - y 2 a 2

Pronto, já conseguimos expressar a coordenada x do nosso ponto X como uma função de y .

Passo 2

Agora, vamos calcular a distância entre X e os nossos focos. Não se esqueçam de carregar os sinais da coordenada do foco! Portanto,

d X , F = x - 0 2 + y ± c 2

d X , F = x 2 + y 2 ± 2 y c + c 2

Agora, vamos substituir a relação de x 2 que descobrimos no passo anterior. Portanto,

d X , F = b 2 ⋅ 1 - y 2 a 2 + y 2 ± 2 y c + c 2

d X , F = b 2 - b 2 y 2 a 2 + y 2 ± 2 y c + c 2

d X , F = b 2 + 1 - b 2 a 2 y 2 ± 2 y c + c 2

d X , F = b 2 + a 2 - b 2 a 2 y 2 ± 2 y c + c 2

Mas c 2 = a 2 - b 2 , então:

d X , F = b 2 + c 2 a 2 y 2 ± 2 y c + a 2 - b 2

d X , F = c 2 a 2 y 2 ± 2 y c + a 2

Só que:

c a y ± a 2 = c 2 a 2 y 2 ± 2 y c + a 2

Portanto, substituindo esta relação no calculo da distância, temos:

d X , F = c a y ± a 2 = c y a ± a

E agora conseguimos as duas relações. Portanto,

d 1 = c y a + a

d 2 = c y a - a

Passo 3

Agora, temos que maximizar e minimizar os valores de d 1 e d 2 . Eles ocorreram nos vértices do eixo maior, isto é, quando y = a e y = - a .

Nestas coordenadas de y , teremos o valor máximo c + a e mínimo a - c .

Resposta

  1. d 1 = c y a + a

    d 2 = c y a - a

  2. O valor máximo será c + a e o mínimo a - c .
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