Enunciado

Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:

  1. Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .
  2. Os vértices são - 15 , 0 e 15 , 0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .
  3. Os focos são - 5,0 e 5,0 e a amplitude focal 9 / 2 .
  4. Os focos são - 5 , 0 e 5 , 0 e as assíntotas tem equações 2 y = x e 2 y = - x .
  5. O ponto 5,9 pertence à hipérbole, e as assíntotas tem equações y = x e y = - x .
  6. Os focos estão no eixo O y , as assíntotas tem equações 2 y + 3 x = 0 e 2 y - 3 x = 0 , e o eixo conjugado mede 8.

Passo 1

A equação reduzida de uma hipérbole centrada na origem é da forma:

x 2 p + y 2 q = 1

O centro da hipérbole é no ponto médio entre os dois vértices. Portanto,

C = 2 , 0 + - 2 , 0 2 = 0,0

Portanto, a hipérbole realmente está centrada na origem! Além disto, como os vértices estão no eixo O x , sabemos então que p = a 2 > 0 e q = - b 2 < 0 . Logo,

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Passo 2

Vamos descobrir agora quem são esses a e b .

Os vértices da hipérbole no eixo O x e centrada na origem são dados por ± a , 0 . Relacionando com o valor dado na questão, temos a = 2 .

Agora, só nos resta descobrirmos o valor de b . Para isto, vamos utilizar a relação dos focos.

Sabemos que os focos estão em F = ± c , 0 , comparando com a sua posição, temos c = 3 .

Mas como calculamos o valor de c para a hipérbole? Ele é dado pela seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Portanto,

b 2 = c 2 - a 2

b 2 = 3 2 - 2 2 = 9 - 4 = 5

b = 5

Portanto, a hipérbole é:

x 2 4 - y 2 5 = 1

Resposta

x 2 4 - y 2 5 = 1

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