Enunciado

Supondo que u → + v → + w → = 0 → , prove que u → ∧ v → = v → ∧ w → = w → ∧ u → . Conclua que um dos pares ordenados ( u → ,   v → ) , ( u → ,   w → ) e v → ,   w → é LI se, e somente se, o mesmo sucede com os outros dois.

Passo 1

Vamos partir da equação

u → + v → + w → = 0 →

Fazendo o produto vetorial por u → :

u → ∧ u → + v → + w → = u → ∧ 0 → = 0 →

Assim, fazendo a distributiva:

u → ∧ u → + u → ∧ v → + u → ∧ w → = 0 →

Como u → ∧ u → = 0 → e u → ∧ w → = - w → ∧ u → , temos que

u → ∧ v → - w → ∧ u → = 0 → ⟹ u → ∧ v → = w → ∧ u →

Passo 2

Analogamente, podemos multiplicar a equação por v → :

v → ∧ u → + v → + w → = v → ∧ 0 → = 0 →

Assim,

v → ∧ u → + v → ∧ v → + v → ∧ w → = 0 → ⟹ - u → ∧ v → + v → ∧ w → = 0 →

Portanto,

v → ∧ w → = u → ∧ v →

Juntando as igualdades, temos que

u → ∧ v → = v → ∧ w → = w → ∧ u →

Resposta

Demonstração.

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