Enunciado

14. Suponha que   u → = λ v → . Prove que:

a) se v → ≠ 0 , então λ = u → / v → ;

b) se u → e v → são de mesmo sentido, então u → = u → v → v → ; se são de sentido contrário, u → = - u → v → v → .

Passo 1

Vamos usar essa propriedade:

λ v → = λ v →

Passo 2

Na letra a) aplicaremos a norma dos dois lados da equação:

u → = λ v →

Utilizando a propriedade que citei na propriedade.

u → = λ v →

Isolando agora o λ , temos:

u → v → = λ

Pronto, provamos a letra a), vamos para a letra b!

Passo 3

O módulo de lambda é:

u → v → = λ

Então temos dois valores para λ .

u → v → = λ     o u - u → v → = λ  

Se u →   e   v → são de mesmo sentido, então λ =   u → v → .

Voltando para a expressão do enunciado, temos:

u → = λ v →

Substituindo o λ =   u → v → na expressão, temos:

u → = u → v →   v →

Pronto demonstramos a primeira parte da letra b).

Agora para u →   e   v → de sentido contrário, temos λ = - u → v →

Então substituindo na expressão de u → = λ v → .

u → = - u → v → v →

Pronto, provamos tudo que queríamos demonstrar já conseguimos!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Dado os vetores u → = i → - j → e v → = 2 i → + j → , determinar o modulo e o ângulo que os seguintes vetores formam com o vetor i → b) v →