Enunciado

Prove o Teorema 6.2.5.

Passo 1

Oieee...

Vamos usar das nossas armas para provar o Teorema 6.2.5... bora lá.

Passo 2

Beleza, para mostrar que (W^(_|_))^(_|_) = W , primeiro mostramos que W (W^(_|_))^(_|_) . Se w está em W , então w é ortogonal para cada vetor em W^(_|_) , de modo que w esteja em (W^(_|_))^(_|_) . Portanto W (W^(_|_))^(_|_) .

Para mostrar que W (W^(_|_))^(_|_) , v deve estar em (W^(_|_))^(_|_) . Como v está em V , temos, pela Projeção Teorema, que v = w_1 + w_2 onde w_1 está em W e w_2 está dentro de W^(_|_) . Por definição,

〈v , w_2〉 = 〈w_1 + w_2〉 = 0

Mas,

〈v , w_2〉 = 〈w_1 , w_2 , w_2〉

= 〈w_1 , w_2〉 + 〈w_2 , w_2〉

= 〈w_1 , w_2〉

De modo que 〈w_2 , w_2〉 = 0 . Portanto, w_2 = 0 então v = w_1 , de modo que v está em W . Sendo assim W (W^(_|_))^(_|_) .

E é isso bye, bye. ^_^

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em relação ao produto interno do Exemplo de 8.3.2 calcule x de modo que o ângulo entre 1 - 1 2 1 e 1 - 1 2 x tenha uma medida de 90 ° .
Seja β = { 1,2 , ( 2,1 ) } . Use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal β ' de R 2 em relação ao produto interno usual.
Um corpo é deslocado em linha reta do ponto ( - 1,3 ) até o ponto ( 5,2 ) por uma força constante F = ( 3,2 ) . Qual é o trabalho realizado?
Seja β = - 1,1 , 1,1 . Ache uma base ortornormal β ' de R 2 , em relação ao produto interno definido no exercício 2.
(identidade de Parseval) seja X um subconjunto ortonormal de um espaço com produto interno V . Se V ,W ∈ X , então existem vetores U 1 , … , U n ∈ X tais que:V , W =∑ k = 1 nV , U i U i , w.