Enunciado

No triângulo ABC, P, Q e R são os pontos médios, respectivamente, de AB, BC, e AC. O ponto O é um ponto qualquer do espaço. Demonstre: O A   → +   O B   → +   O C →   =   O P →   +   O Q   → +   O R →   . (Sugestão: escreva O P → , O Q   → e O R   → em função de O A   → , O B   → e O C   → . )

Passo 1

Vamos lá, para mostrar o que a questão pede, vamos primeiro desenhar um triângulo de um ponto qualquer O, que pode ser dentro ou fora do triângulo. Vai ficar mais ou menos como na figura abaixo, onde os segmentos tracejados indicam O A   → , O B   → e O C   → enquanto os segmentos pontilhados indicam O P → , O Q   → e O R → .

Passo 2

Seguindo a sugestão do livro, vamos escrever O P → , O Q   → e O R   → em função de O A   → , O B   → e O C → :

O P → = O B → + B P → = O B → + 1 2 B A →

O Q   → = O C   → + C Q   → = O C   → + 1 2 C B   →

O R   → = O A   → + A R   → = O A   → + 1 2 A C   →

Agora, somamos tudo e encontramos:

  O P →   +   O Q   → +   O R →   = O B → + 1 2 B A → + O C   → + 1 2 C B   → + O A   → + 1 2 A C   →

  O P →   +   O Q   → +   O R →     = O A   → +   O B   → +   O C →   + 1 2 B A → + 1 2 A C   → + 1 2 C B   →   =   O A   → +   O B   → +   O C →  

onde usamos o fato de que

1 2 B A → + 1 2 A C   → = 1 2 B C   → = - 1 2 C B   → ⇒ 1 2 B A → + 1 2 A C   → + 1 2 C B   → = 0 .

Resposta

Ver a resolução acima.

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Para quaisquer vetores u , v , w , prove que u x v , w=u , v x w .