Enunciado

No triângulo A B C (Figura 1.37), tem-se B M → = 1 2 B C → e B N → = 1 3 B C → . Expressar os vetores A M → e A N → em função de A B → e A C → .

Passo 1

Então galera, para conseguirmos expressar os vetores vetores A M → e A N → em função de A B → e A C → temos que fazer uma análise profunda dos vetores que compõem o triângulo A B C . Da figura que nos foi dada conseguimos tirar algumas informações, saca só:

A primeira é que:

B C → = A C → - A B →

A segunda é que:

A M → = A B → + B M →

E como B M → = 1 2 B C → , então:

A M → = A B → + 1 2 B C →

Aqui vale ressaltar que essas três expressões foram tiradas a partir de uma análise de pura soma de vetores mesmo, galera. Não tem nada de informação nova não, ok? Show! Vamos guardar essas informações, belê?

Passo 2

Agora que definimos uma expressão para A M → , vamos substituir o que temos, se liga:

A M → = A B → + 1 2 B C →

A M → = A B → + 1 2 A C → - A B →

A M → = A B → + 1 2 A C → - 1 2 A B →

∴ A M → = 1 2 A B → + A C →

Que é o vetor A M → escrito em função dos vetores A B → e A C → , como queríamos! Agora vamos para A N → !

Passo 3

Da figura que nos foi dada conseguimos tirar que:

B C → = A C → - A B →

A N → = A B → + B N →

Mas como o enunciado nos diz que B N → = 1 3 B C → , então:

A N → = A B → + 1 3 B C →

Substituindo B C → , teremos:

A N → = A B → + 1 3 A C → - A B →

A N → = A B → + 1 3 A C → - 1 3 A B →

∴ A N → = 2 3 A B → + 1 3 A C →

Que é o vetor A N → escrito em função dos vetores A B → e A C → , como queríamos!

E está aí nossa resolução, peoples!

Resposta

A M → = 1 2 A B → + A C →

A N → = 2 3 A B → + 1 3 A C →

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