Enunciado

Use o algoritmo de inversão para encontrar a inversa da matriz dada, se essa inversa existir.

1 0         0 0 1 3         0 0 1 3         5 0 1 3         5 7

Passo 1

Vamos primeiro lembrar como funciona esse algoritmo de inversão:

Para encontrar a inversa de uma matriz invertível A, encontre uma sequência de operações elementares com linhas que reduza A à identidade e depois efetue essa mesma sequência de operações elementares em I n para obter A - 1 .

Para conseguirmos aplicar esse algoritmo na matriz dada, juntamos a matriz identidade â direita de A, e produzimos uma matriz da forma

A     I ]

1 0 0 0 1 3 0 0 1 3 5 0 1 3 5 7 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  

Em seguida efetuamos operações com linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a I   e o lado direito torne-se A - 1 , de modo que

[ I | A - 1 ]

Passo 2

Agora partimos para as contas. Vamos multiplicar a primeira linha por -1 e somar a primeira com a segunda, terceira e quarta linhas, o que torna

1 0 0 0 0 3 0 0 0 3 5 0 0 3 5 7 1 0 0 0 - 1 1 0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0 1  

Agora multiplicamos a segunda linha por -1 e somamos com a terceira e quarta linhas

1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5 0 0 0 5 7 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 - 1 0 1  

Vamos primeiro multiplicar a terceira linha por - 5 e somar com a quarta linha

1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5 0 0 0 0 7 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 - 1 1  

Passo 3

Agora multiplicamos a segunda linha por 1 3 , a terceira por 1 5 e a quarta linha por 1 7

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 - 1 3 1 3 0 0 0 - 1 5 1 5 0 0 0 - 1 7 1 7  

Como o lado esquerdo tornou-se a matriz identidade, a matriz inversa é então:

1 0 0 0 - 1 3 1 3 0 0 0 - 1 5 1 5 0 0 0 - 1 7 1 7

Resposta

1 0 0 0 - 1 3 1 3 0 0 0 - 1 5 1 5 0 0 0 - 1 7 1 7

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