Enunciado

Use o método do exemplo 5 para calcular A^(10) , sendo:

A = [[[-,1,7,-,1],[0,1,0],[0,15,-,2]]]

Passo 1

A questão nos dá a seguinte matriz:

A = [[[-,1,7,-,1],[0,1,0],[0,15,-,2]]]

Primeiro vamos determinar os autovalores da matriz

det (lambda I - A) = 0

|[[lambda,+,1,-,7,1],[0,lambda,-,1,0],[0,-,15,lambda,+,2]]| = 0

(lambda + 1) (lambda - 1) (lambda + 2) = 0

Os autovalores são:

[[lambda_1,=,-,1,lambda_2,=,1,lambda_3,=,-,2]]

Passo 2

Vamos calcular os autovetores:

[[[lambda,+,1,-,7,1],[0,lambda,-,1,0],[0,-,15,lambda,+,2]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = 0

  • Para lambda = - 1
  • [[[0,-,7,1],[0,-,2,0],[0,-,15,1]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = 0

    [[x_1,=,t,x_2,=,0,x_3,=,0]]

    O autovetor é:

    lambda_1 = 1 => vec x_1 = t [[[1],[0],[0]]]

    A base do autovetor é:

    vec p_1 = [[[1],[0],[0]]]

  • Para lambda = 1
  • [[[2,-,7,1],[0,0,0],[0,-,15,3]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = 0

    [[x_1,=,t,x_2,=,t,x_3,=,5,t]]

    O autovetor é:

    lambda_2 = 1 => vec x_2 = t [[[1],[1],[5]]]

    A base do autovetor é:

    vec p_2 = [[[1],[1],[5]]]

  • Para lambda = - 2

[[[-,1,-,7,1],[0,-,3,0],[0,-,15,0]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = 0

[[x_1,=,t,x_2,=,0,x_3,=,t]]

O autovetor é:

lambda_3 = 1 => vec x_3 = t [[[1],[0],[1]]]

A base do autovetor é:

vec p_1 = [[[1],[0],[1]]]

Passo 3

A matriz P é:

P = [[[vec p_1,vec p_2,vec p_3]]] = [[[[[1],[0],[0]],[[1],[1],[5]],[[1],[0],[1]]]]]

Vamos inverter a matriz P por Eliminação Gaussiana:

P^(- 1) = [[[[[1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[0],[0],[1]]]] [[|],[|],[|]] [[[[1],[0],[0]],[[1],[1],[5]],[[1],[0],[1]]]]]

Vamos pegar a segunda linha e subtrair na primeira linha. Depois pegamos a segunda linha, multiplicamos por 5 e subtraímos na terceira linha. Depois desses cálculos, pegamos a terceira linha e subtraímos da primeira linha:

P^(- 1) = [[[[[1],[0],[0]],[[4],[1],[-,5]],[[-,1],[0],[1]]]] [[|],[|],[|]] [[[[1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[0],[0],[1]]]]]

P^(- 1) = [[[[[1],[0],[0]],[[4],[1],[-,5]],[[-,1],[0],[1]]]]]

E a diagonal é dada pelos autovetores:

D = [[[[[-,1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[0],[0],[-,2]]]]]

Passo 4

O método diz que:

A^k = P D^k P^(- 1)

Então vamos aplicar:

A^(11) = [[[[[1],[0],[0]],[[1],[1],[5]],[[1],[0],[1]]]]] * [[[[[-,1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[0],[0],[-,2]]]]]^(11) * [[[[[1],[0],[0]],[[4],[1],[-,5]],[[-,1],[0],[1]]]]]

Como a matriz é diagonal podemos colocar a potência dentro da matrix:

A^(11) = [[[[[1],[0],[0]],[[1],[1],[5]],[[1],[0],[1]]]]] * [[[[[-,1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[0],[0],[-,2^(11)]]]]] * [[[[[1],[0],[0]],[[4],[1],[-,5]],[[-,1],[0],[1]]]]]

Efetuando as multiplicações matriciais

A^(11) = [[[[[1],[0],[0]],[[1],[1],[5]],[[1],[0],[1]]]]] * [[[[[-,1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[0],[0],[-,2^(11)]]]]] * [[[[[1],[0],[0]],[[4],[1],[-,5]],[[-,1],[0],[1]]]]]

A^(11) = [[[-,1,1,-,2^(11)],[0,1,0],[0,5,-,2^(11)]]] * [[[[[1],[0],[0]],[[4],[1],[-,5]],[[-,1],[0],[1]]]]]

Chegamos na resposta

A^(11) = [[[-,1,10237,-,2047],[0,1,0],[0,10245,-,2048]]]

Resposta

A^(11) = [[[-,1,10237,-,2047],[0,1,0],[0,10245,-,2048]]]

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