Enunciado

Nos exercícios 16-21, encontre as multiplicidades geométricas e algébrica de cada autovalor de A e determine se A é diagonalizável. Se for, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P - 1 A P

A = 19 - 9 - 6 25 - 11 - 9 17 - 9 - 4

Passo 1

A questão nos dá a seguinte matriz:

A = 19 - 9 - 6 25 - 11 - 9 17 - 9 - 4

Primeiro vamos determinar os autovalores da matriz

det ⁡ λ I - A = 0

λ - 19 9 6 - 25 λ + 11 9 - 17 9 λ + 4 = 0

λ - 19 λ + 11 λ + 4 - 1377 - 1350 + 102 λ + 11 - 81 λ - 19 + 225 λ + 4 = 0

λ 3 - 4 λ 2 + 5 λ - 2 = 0

λ - 2 λ - 1 2 = 0

Então, os autovalores são:

λ 1 = 1

λ 2 = 2

Onde o λ 1 tem multiplicidade algébrica igual dois, pois λ - 1 2 é elevado ao quadrado.

E λ 2 tem multiplicidade algébrica igual a 1, pois λ - 2 é elevado a um.

Passo 2

Então vamos calcular os autovetores:

λ - 19 9 6 - 25 λ + 11 9 - 17 9 λ + 4 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para λ = 1

- 18 9 6 - 25 12 9 - 17 9 5 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Utilizando Eliminação Gaussiana podemos encontrar os valores de x . Vamos pegar a última linha e subtrair na primeira:

Vamos multiplicar a primeira linha e aplicar na segunda e na terceira:

Vamos multiplicar a primeira linha por ( - 1 ) , dividir a segunda linha por 12 e a terceira por 9

E vamos subtrair a segunda linha na terceira:

Então:

1 0 - 1 0 1 - 4 / 3 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Logo:

x 1 = x 3 = t

x 2 = 4 3 t

O autovetor associado é:

λ 1 = 1 ⇒ x → 1 = t 1 1 4 / 3

O autovalor λ 1 = 1 tem apenas um autovetor, então sua multiplicidade geométrica é 1 . Contudo sua multiplicidade algébrica é igual a 2 . Como a multiplicidade geométrica é diferente da multiplicidade algébrica, então a matriz não é diagonalizável.

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

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