Enunciado

2 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.

  1. O conjunto de todas as matrizes n x n simétricas.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando duas matrizes diagonais quaisquer desse conjunto:

u = u 11 u 12 … u 1 n u 21 u 22 … u 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u n 1 u n 2 … u n n

e

v = v 11 v 12 … v 1 n v 2 1 v 22 … v 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ v n 1 v n 2 … v n n

Quando somamos eles:

u + v = u 11 u 12 … u 1 n u 21 u 22 … u 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u n 1 u n 2 … u n n + v 11 v 12 … v 1 n v 21 v 22 … v 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ v n 1 v n 2 … v n n

u + v = u 11 + v 11 u 12 + v 12 … u 1 n + v 1 n u 2 1 + v 2 1 u 22 + v 22 … u 2 n + v 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u n 1 + v n 1 u n 2 + v n 2 … u n n + v n n

Continuamos com uma matriz simétrica, ou seja, a primeira condição é válida.

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda condição, tomando um vetor qualquer:

u = u 11 u 12 … u 1 n u 21 u 22 … u 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u n 1 u n 2 … u n n

E um escalar qualquer: k

Multiplicando os dois teremos:

k u = k ⋅ u 11 u 12 … u 1 n u 21 u 22 … u 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u n 1 u n 2 … u n n

k u = k u 11 k u 12 … k u 1 n k u 21 k u 22 … k u 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ k u n 1 k u n 2 … k u n n

Que continua sendo uma matriz simétrica, ou seja, a segunda condição também é válida.

Dessa maneira concluímos que o conjunto das matrizes simétricas formam um subespaço vetorial de M n n .

Resposta

É um subespaço vetorial de M n n .

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1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.O conjunto de todas as matrizes (a, 0, 0) diagonais.
2 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n x n tais que AT=-A.
Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços de P3.c) Todos os polinômios a0+a1x+a2x2+a3x3 em que a0, a1, a2 são inteiros.
1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.O conjunto de todas as matrizes A de tamanho nxn tais de tr(A)=0.
Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços de P3.d) Todos os polinômios a0+a1x em que a0 e a1 são números reais.