Enunciado

Utilizar a inversão de matrizes 2 × 2 para mostrar que:

A inversa de uma rotação no plano por um ângulo θ é a rotação do plano do ângulo - θ .

Passo 1

A questão pede para acharmos a inversa de uma rotação no plano. A matriz de rotação é dada por:

T = cos ⁡ θ - s e n   θ s e n   θ cos ⁡ θ

Note que det ⁡ T = cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1 ≠ 0 , logo a transformação admite inversa!

Passo 2

Para inverter essa matriz, vamos usar o truque de inversão das matrizes 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

T - 1 = 1 1 cos ⁡ θ s e n   θ - s e n   θ cos ⁡ θ = cos ⁡ ( - θ ) - s e n   ( - θ ) s e n   ( - θ ) cos ⁡ ( - θ )

Usei que cos ⁡ ( - θ ) = cos ⁡ θ e s e n   - θ = - s e n   θ .

Note que essa matriz representa uma rotação por um ângulo - θ .

Resposta

Demonstração.

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A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 2 → R 2 , T x , y = ( x - 2 y , - 2 x + 3
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 2 → R 2 , T x , y = ( 5 x + 2 y , - 4 x -
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 2 → R 2 , T x , y = ( 2 x - y , - 4 x + 2
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 3 → R 3 , T x , y , z = ( x - y + 2 z , y
Seja T :R 2 → R 2 o operador linear que transforma u em T ( u ) e v em T ( v ) , conforme figura.a) Dar a lei do operador T .b) Determinar a transformação linear que transforma T ( u ) em u e T ( v )