Enunciado

  1. Vale a igualdade u → + v → = u → + v → para quaisquer vetores u → e v → ? Justifique sua resposta. E quanto a u → - v → = u → - v → ?

Passo 1

Inicialmente, desenharemos vetores quaisquer e veremos se a proposição u → + v → = u → + v → serve para esses vetores! Se der certo, podemos afirmar que sim, se der errado, deu ruim!!

E após isso, faremos igualmente para a segunda proposição u → - v → = u → - v → .

Passo 2

Começaremos com u → + v → = u → + v → . O que ele diz é que o módulo da soma é a soma dos módulos. Será que isso é verdade?? Vamos começar!

A soma de u → + v → é representada no desenho como w → .

Vamos fechar esse triangulo.

E temos um paralelogramo! Até porque o nome da regra é regra do parelelogramo, então temos coisas legais já que isso é um paralelogramo:

α + β = 180 °

β = 180 ° - α

cos ⁡ β = - c o s α

E que o segmento B C 1 - vale o módulo de v → , assim como A B - mede o módulo de u → e A C 1 - mede o módulo de v → + u → .

Resumindo, temos:

B C 1 - = v →

A B - = u →

A C 1 - = u → + v →

De posse disso tudo, eu vou fazer a lei dos cosenos nesse triângulo e ver se vai bater com aquilo que esperávamos.

A C 1 - 2 = A B - 2 + B C 1 - 2 - 2 A B - × B C 1 - × cos ⁡ α

Substituindo em função dos módulos, temos:

u → + v → 2 = u → 2 + v → 2 - 2 u → × v → × - cos ⁡ β

u → + v → 2 = u → 2 + v → 2 + 2 u → × v → × cos ⁡ β

Ficou bem diferente né e pela fórmula que calculamos, vai depender do ângulo entre os vetores! O que o enunciado disse só vai ocorrer para β = 0 !

Para β = 0 , cos ⁡ β = 1 .

u → + v → 2 = u → 2 + v → 2 + 2 u → × v → × 1

u → + v → 2 = u → + v → 2

Então,

u → + v → = u → + v →

Viuu! Não é para todos os vetores, somente para um conjunto especial deles, aqueles que estão numa reta!!

Passo 3

Para provarmos a letra b) é bem mais fácil, substituiremos v → por - v → . E vamos alterar a fórmula:

u → - v →   2 = u → 2 + - v →   2 + 2 u → × - v →   × cos ⁡ β

Sabendo que - v →   = v →   :

u → - v →   2 = u → 2 + v →   2 + 2 u → × v →   × cos ⁡ β

E da mesma forma que explicado para a soma, no caso da diferença aquilo dito no enunciado, não é verdade sempre mas sim um caso especial da difenreça de vetores. Ocorre quando β = 180   ° .

u → - v →   2 = u → 2 + v →   2 + 2 u → × v →   × cos ⁡ β

Para β = 180 ° , cos ⁡ β = - 1 .

u → - v →   2 = u → 2 + v →   2 + 2 u → × v →   × - 1

u → - v →   2 = u → 2 + v →   2 - 2 u → × v →  

u → - v →   2 = u → - v →   2

Então:

u → - v →   = u → - v →  

É apenas um caso especial da diferença de vetores.

Resposta

Ambas são falsa, pois não ocorrem sempre, mas sim só quando o ângulo entre os vetores é de 0 ° (para a soma) e quando o ângulo entres os vetores é de 180 ° (para a diferença).

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Dados os pontos A 1 ,- 1 ,3 e B 3 ,1 ,5 , até que ponto se deve prolongar o segmento A B , no sentido de A para B , para que seu comprimento quadruplique de valor?
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35. Dados os vetores u → = 2 ,3 ,- 1 ,v → = 1 ,- 1 ,1 e w → = - 3 ,4 ,0 .a) Determinar o vetor x → de modo que 3 u → - v → + x → = 4 x → + 2 w → ;