Enunciado

Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M 5 ,   0 ,   - 2 , N 3 ,   1 ,   - 3 e P 4 ,   2 ,   1 .

Passo 1

Antes de iniciarmos a resolução da questão de fato, vamos esboçar esse triângulo, seus vértices e a ligação entre seus pontos médios P ,   M e N , saca só:

Por semelhança de triângulos, podemos tirar algumas conclusões a partir desse desenho! Note que os pontos médios formam um novo triângulo que é, por definição, igual ao triângulo A B C . Sendo assim, temos que:

A B C = P N M

Ademais, também conseguimos extrair que:

A M → = P N → B M → = N P → C P → = N M →

A ideia de escrevermos essas igualdades é que como o enunciado só nos cede informações sobre os pontos médios, então devemos escrever expressões que determinam A ,   B e C em função desses pontos! E essas são as informações que auxiliarão nossa resolução. Então bora que bora!

Passo 2

Da primeira igualdade temos:

A M → = P N →

Que podemos escrever da seguinte forma:

M - A = N - P

Isolando A :

A = M - N + P

Substituindo os pontos:

A = 5 ,   0 ,   - 2 - 3 ,   1 ,   - 3 + 4 ,   2 ,   1

A = 5 - 3 + 4 ,   0 - 1 + 2 ,   - 2 + 3 + 1

∴ A = 6 ,   1 ,   2

Passo 3

Da segunda igualdade temos:

B M → = N P →

Que podemos escrever da seguinte forma:

M - B = P - N

Isolando B :

B = - P + N + M

Substituindo os pontos:

B = - 4 ,   2 ,   1 + 3 ,   1 ,   - 3 + 5 ,   0 ,   - 2

B = - 4 + 3 + 5 ,   - 2 + 1 + 0 ,   - 1 - 3 - 2

∴ B = 4 ,   - 1 ,   - 6

Passo 4

Da terceira e última igualdade temos:

C P → = N M →

Que podemos escrever da seguinte forma:

P - C = M - N

Isolando C :

C = - M + N + P

Substituindo os pontos:

C = - 5 ,   0 ,   - 2 + 3 ,   1 ,   - 3 + 4 ,   2 ,   1

C = - 5 + 3 + 4 ,   - 0 + 1 + 2 ,   2 - 3 + 1

∴ C = 2 ,   3 ,   0

E esses são os vértices A , B e C do nosso triângulo, galera! 😉

Resposta

Vértices: A 6 ,   1 ,   2 ,   B 4 ,   - 1 ,   - 6 e C 2 ,   3 ,   0 .

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