Enunciado

Prove: se u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n for uma base normal de R n e se A puder ser expressa como.

A = λ 1 u 1 u 1 T + λ 2 u 2 u 2 T + … + λ n u n u n T

Então A é simétrica e tem autovalores λ 1 ,   λ 2 ,   … ,   λ n .

Passo 1

Vamos lá! Temos que lembrar que A é dada por.

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n = 0

Passo 2

Agora vamos lembrar que se um vetor é ortonormal ele apresentará as seguintes características:

u a = 1

u a ⋅ u b = 0

Sendo u a = k 1 ,   k 2 ,   … ,   k n e ele for um vetor coluna ele pode ser escrito assim:

u a = k 1 k 2 ⋮ k n

Agora que tal fazermos o produto entre u a e u a T , assim temos:

u a ⋅ u a T = k 1 k 2 ⋮ k n ⋅ k 1 k 2 ⋯ k n

u a ⋅ u a T = k 1 2 + k 2 2 + … + k n 2 = u a 2 = 1

Passo 3

Se nossa matriz A pode ser escrita como:

A = λ 1 u 1 u 1 T + λ 2 u 2 u 2 T + … + λ n u n u n T

Lembrando que provamos no passo anterior que se nossos vetores são ortonormais:

u i u i T = 1

Então A pode ser reescrita como:

A = λ 1 + λ 2 + … + λ n

Passo 4

Então que tal reescrevermos A , assim temos:

A = 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1 ⋅ λ 1 ⋮ λ n = λ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ n

Como A - λ I = 0 temos:

λ 1 - λ ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ n - λ = λ 1 - λ ⋅ λ 2 - λ ⋅ … ⋅ λ n - λ

Assim nossos autovalores serão:

λ 1 = λ 1 … λ n = λ n

Assim provamos que A é uma matriz simétrica e que possui autovalores λ 1 ,   λ 2 ,   … ,   λ n .

Isso é tudo pessoal! \o/

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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