Enunciado

Verificar se são coplanares os pontos:

  1. A (2,1 , 2) , B (0,1 , - 2) , C (1,0 , - 3) e D ( 3,1 , - 2 )

Passo 1

E aí, tudo joia?

Pra três vetores serem coplanares, o produto misto entre eles tem que ser zero.

Aqui a gente ainda não tem os vetores, então antes de tudo, vamos calcular os vetores vec A B , vec A C e vec A D ...

(é bom sempre partir do mesmo ponto)

Passo 2

Calculando os vetores, temos:

vec A B = (- 2,0 , - 4)

vec A C = ( - 1 , - 1 , - 5 )

vec A D = ( 1,0 , - 4 )

Beleza! Agora temos os vetores! Vamos calcular o produto misto entre eles...

Passo 3

O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada pelos vetores:

d e t [[[-,2,0,-,4],[-,1,-,1,-,5],[1,0,-,4]]] = - 2 |[[-,1,-,5],[0,-,4]]| - 0 |[[-,1,-,5],[1,-,4]]| - 4 |[[-,1,-,1],[1,0]]|

= - 2 (4 - 0) - 0 - 4 ( 0 + 1 )

= - 8 - 4

= - 12

Como o produto misto deu - 12 != 0 , temos que os pontos não são coplanares😉

Resposta

Não.

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Calcule o volume do paralelepípedo com lados adjacentes P Q ,P ReP S P ( 2,0 , - 1 ) Q ( 4,1 , 0 ) R ( 3 , - 1,1 ) S ( 2 , - 2,2 )
Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P ,Q ,R e calcule a área do trângulo P Q R . P - 1,3 , 1 Q 0,5 , 2 R 4,3 , - 1
Mostre queb) U ⋅ α V 1 + β V 2 × W = α U ⋅ V 1 × W + β U ⋅ V 2 × W ;
Mostre quec) U ⋅ V × α W 1 + β W 2 = α U ⋅ V × W 1 + β U ⋅ V × W 2 ;
Se U ,VeW são vetores no espaço, prove que U ⋅ V × W ≤ U V W . (Sugestão: use o Teorema 3.2 na página 172 e o exercício anterior)