Enunciado

Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores:

  1. u → = 2 , k , 1 ,   v → = 1,2 , k     e     w → ( 3,0 , - 3 )

Passo 1

E aí, tudo joia?

Pra três vetores serem coplanares, o produto misto entre eles tem que ser zero.

Vamos montar o produto misto aqui então e ver qual valor de k faz com que o produto misto seja zero.

Passo 2

O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada pelos vetores:

d e t 2 k 1 1 2 k 3 0 - 3 = 2 2 k 0 - 3 - k 1 k 3 - 3 + 1 1 2 3 0

= 2 - 6 - 0 - k - 3 - 3 k + 1 ( 0 - 6 )

=   - 12 + 3 k + 3 k 2 - 6

= 3 k 2 + 3 k - 18

(você pode resolver esse determinante do jeito que preferir, não se preocupe!)

Passo 3

Agora que já calculamos o produto misto, a gente vai igualar a zero pra descobrir pra qual(is) k que eles vão ser coplanares:

3 k 2 + 3 k - 18 = 0

Resolvendo essa equaçãozinha do segundo grau agora, temos:

Δ = 3 2 - 4 ( - 18 ) ( 3 )

Δ = 225  

k 1 = - 3 + 225 6 = 2

k 2 = - 3 - 225 6 =   - 3

Então, se k = 2 ou k = - 3 , os vetores são coplanares😉

Resposta

k = 2   o u   k = - 3

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Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P ,Q ,R e calcule a área do trângulo P Q R . P 2,1 , 5 Q - 1,3 , 4 R 3,0 , 6
Use o produto misto para determinar se os pontos pertencem ao mesmo plano: A ( 1,3 , 2 ) B ( 3 , - 1,6 ) C ( 5,2 , 0 ) D ( 3,6 , - 4 )
Se v 1 ,v 2 ,v 3 são vetores não coplanares, sejam k 1 = v 1 × v 3 v 1 ∙ v 2 × v 3 k 2 = v 3 × v 1 v 1 ∙ v 2 × v 3 k 3 = v 1 × v 2 v 1 ∙ v 2 × v 3 (Esses vetores aoarecem no estudo de cristalografia.
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