Enunciado

O vetor v → é ortogonal aos vetores u → = 1,2 , 0 e w → = 2,0 , 1 e forma ângulo agudo com o vetor j → . Determinar v → , sabendo que v → = 21 .

Passo 1

Vamos lá, se o vetor é ortogonal aos vetores u → = 1,2 , 0 e w → = 2,0 , 1 então o produto escalar deles é igual a 0 :

u → ⋅ v → = 0 → 1,2 , 0 ⋅ x , y , z = 0 → x + 2 y = 0

w → ⋅ v → = 0 → 2,0 , 1 ⋅ x , y , z = 0 → 2 x + z = 0

Temos então duas expressões, vamos deixar elas em função de x :

x + 2 y = 0 → y = - x 2

2 x + z = 0 → z = - 2 x

Vamos tentar encontrar outra equação com essas três variáveis pra poder achar os valores delas.

Passo 2

Como temos que v → = 21 vamos usar a fórmula do módulo de um vetor, para calcular o módulo de um vetor u → = x , y , z vamos usar a fórmula tirada pelo Teorema de Pitágoras:

u → = x 2 + y 2 + z 2

Pronto, vamos então aplicar essa fórmula do módulo:

v → = x 2 + - x 2 2 + - 2 x 2 → 21 = x 2 + x 2 4 + 4 x 2 →

→ 21 2 = x 2 + x 2 4 + 4 x 2 2 → 21 = x 2 + x 2 4 + 4 x 2 → 21 = 4 x 2 + x 2 + 16 x 2 4 →

→ 21 = 21 x 2 4 → 1 = x 2 4 → x 2 = 4 → x = ± 2

Agora tá mais fácil, encontramos x , agora é só substitui nas expressões lá do passo 1 e achamos os valores de y e z :

y = - x 2 = - ± 2 2 = ∓ 1

z = - 2 ± 2 = ∓ 4

Passo 3

Só que temos dois valores para as três coordenadas, com sinais opostos:

v → = x , y , z = ± 2 , ∓ 1 , ∓ 4

Mas o enunciado quer que v → forme ângulo agudo com o vetor j → , e pra isso acontecer temos que o produto escalar desses dois vetores deve ser maior que 0 , vamos testar os dois vetores e ver com qual vamos obter um valor maior que zero:

v → ⋅ j → > 0

2 , - 1 , - 4 ⋅ 0,1 , 0 = - 1 < 0

- 2 , 1 , 4 ⋅ 0,1 , 0 = 1 > 0

Pronto, vamos usar o segundo vetor:

v → = - 2 , 1 , 4

Resposta

v → = - 2 , 1 , 4

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