Enunciado

Determinar o vetor v → nos seguintes casos:

v → é ortogonal ao eixo O x ,   v → = 2 , forma ângulo de 60 ° com o vetor j → e ângulo agudo com k → .

Passo 1

Vamos lá, se o vetor é ortogonal ao eixo O x ele deve ter a coordenada de x igual a zero, pois qualquer vetor no plano y z será ortogonal ao eixo x , então ele vai ser da forma:

v → = O A → = A - O = 0 , y , z - 0,0 , 0 = 0 , y , z

Falta então achar as coordenadas y e z .

Temos também que v → forma ângulo de 60 ° com o vetor j → , vamos então analisar as fórmulas dos ângulos diretores de v → , que são os ângulos α , β e γ que v → forma com os vetores i → , j → e k → , respectivamente.

Para calcular eles usaram as seguintes fórmulas:

cos ⁡ α = v → ⋅ i → v → i →

cos ⁡ β = v → ⋅ j → v → j →

cos ⁡ γ = v → ⋅ k → v → k →

Vamos então usar a segunda fórmula, já que sabemos que β = 60 ° :

cos ⁡ β = v → ⋅ j → v → j → → cos ⁡ 60 ° = x , y , 0 ⋅ 0,1 , 0 2 ⋅ 0 2 + 1 2 + 0 2 → 1 2 = y 2 → y = 1

Achamos x , agora só falta o valor de z .

Passo 2

Como temos que v → = 2 vamos usar a fórmula do módulo de um vetor, para calcular o módulo de um vetor u → = x , y , z vamos usar a fórmula tirada pelo Teorema de Pitágoras:

u → = x 2 + y 2 + z 2

Pronto, vamos então aplicar essa fórmula do módulo para encontrar z :

v → = 0 2 + y 2 + z 2 → 2 = 1 2 + z 2 → 2 2 = 1 + z 2 2 → 4 = 1 + z 2 →

→ z 2 = 3 → z = ± 3

Passo 3

Só que temos dois valores para z , com sinais opostos:

v → = 0 , y , z = 0 , 1 , ± 3

Mas o enunciado quer que v → forme ângulo agudo com o vetor k → , e pra isso acontecer temos que o produto escalar desses dois vetores deve ser maior que 0 , vamos testar os dois vetores e ver com qual vamos obter um valor maior que zero:

v → ⋅ k → > 0

0 , 1 , 3 ⋅ 0,0 , 1 = 3 > 0

0 , 1 , - 3 ⋅ 0,0 , 1 = - 3 < 0

Pronto, vamos usar o valor positivo:

v → = 0 , 1 , 3

Resposta

v → = 0 , 1 , 3

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