Base e Dimensão

Teoria Completa

Vamos continuar falando sobre isso aí de equações paramétricas e espaços gerados... Se o meu espaço é o plano x y no R 3 , que vou chamar de Π , posso representar ele assim:

Π = s p a n { 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 }

Certo??

Ah, mas a gente viu que também podemos gerar dessas formas aqui:

Π = s p a n { 2,0 , 0 ,   0,2 , 0 }

Π = s p a n { 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 , ( 1,1 , 0 ) }

Adicionando um vetor combinação linear dos outros ou pegando múltiplos dos vetores anteriores, não altero o espaço que quero gerar. Vamos dar uma olhada nos gráficos pra conseguir ver isso melhor:

O primeiro representa o espaço gerado pelo conjunto { 2,0 , 0 ,   0,2 , 0 } e o segundo o espaço gerado pelo conjunto 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 , 1,1 , 0 . Conseguem ver que são iguais? Ambos são o plano x y .

Assim, provado isso aí, consigo achar infinitos conjuntos que geram meu espaço. Vou dar mais alguns exemplos:

Π = s p a n { 4,0 , 0 ,   0,3 , 0 , ( 1,2 , 0 ) }

Π = s p a n { 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 , 2,0 , 0 , ( 1,1 , 0 ) }

Deu pra entender né? Hahaha.

Acontece que alguns desses conjuntos que geram meu espaço tem um nome especial: Base.

Base

Tá, já sei que a base vai ser um conjunto que gera um espaço. Eu disse que alguns dos conjuntos que eu falei ali em cima são bases do plano Π .  

Π = s p a n { 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 }

Π = s p a n { 2,0 , 0 ,   0,2 , 0 }

Π = s p a n { 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 , ( 1,1 , 0 ) }

Π = s p a n { 4,0 , 0 ,   0,3 , 0 , ( 1,2 , 0 ) }

Π = s p a n { 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 , 2,0 , 0 , ( 1,1 , 0 ) }

Beleza, mas quais deles?

São os conjuntos Linearmente Independentes! Então,   1,0 , 0 ,   0,1 , 0 e { 2,0 , 0 ,   0,2 , 0 } são bases do meu espaço.

Pronto, já sabemos o que um conjunto precisa para ser uma base: gerar o espaço e ser L I .

Talvez você já tenha percebido isso, mas vou reforçar porque é importante: existem infinitas bases diferentes para o mesmo espaço! Além disso, a base é um conjunto ordenado, ou seja:

{ 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 } ≠ { 0,1 , 0 ,   1,0 , 0 }

Essas duas bases são diferentes!

Dimensão

Beleza, agora e se eu te perguntar se o conjunto { 1,2 , 0 ,   0,0 , 3 , ( 0,1 , 3 ) } é base do R 3 ?

Conseguimos descobrir facilmente que é um conjunto L I   mas será que é um conjunto gerador de R 3 ? O que um conjunto precisa para ser conjunto gerador?

Bom, ele precisa de um número mínimo de vetores que não são C L um do outro, ou seja, que formam um conjunto L I .   Esse número de vetores é chamado de dimensão do espaço e ele é o número máximo de vetores que formam um conjunto L I nesse espaço.

Ficou confuso? Vamos voltar lá aos conjuntos geradores do plano x y :

Π = s p a n { 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 }

Vemos que com 2 vetores consigo gerar o plano que eu quero.

Agora e se eu adicionar um vetor?

Π = s p a n { 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 , ( 1,1 , 0 ) }

Conseguimos ver que com 3 vetores fica reduntante, ou seja, o espaço que eu gero continua o mesmo!

Mas e se eu tirar um vetor ao invés de adicionar?

Π = s p a n { 1,0 , 0 }

Opa!! Agora, com 1 vetor, meu espaço já não é o mesmo. Não consigo gerar o plano x y com apenas 1 vetor, gero apenas o eixo x .

Conseguiram entender agora? O número mínimo para gerar o espaço e máximo para não ser reduntante (não ter vetores C L   dos outros) é 2. Por isso, a dimensão do meu plano Π ou plano x y , é 2!

Agora voltando ao meu exemplo...

O conjunto { 1,2 , 0 ,   0,0 , 3 , ( 0,1 , 3 ) } gera o R 3 ?

Já vimos que o R 3 tem dimensão 3, assim, precisamos de no mínimo 3 vetores que não sejam C L   um do outro no meu conjunto. Lembrando que se eu tiver mais que isso, continuo tendo um conjunto gerador, mas não vai ser uma base pois algum vetor vai ser necessariamente C L dos outros.

Esse meu conjunto   { 1,2 , 0 ,   0,0 , 3 , ( 0,1 , 3 ) } coube direitinho nas minhas exigências então ele é sim base do R 3 .

Uma outra forma de pensar em dimensão é definindo como o número de vetores na base de um espaço!

Agora, pra terminar, vamos aprender umas coisas importantes sobre base e dimensão:

  • Espaços compostos por polinômios e matrizes também tem bases e portanto dimensões.
  • A base canônica de um espaço é aquela mais “simples”. Por exemplo, no R 2 é essa: { 1,0 , 0,1 } formada apenas por 1 ' s e 0 ' s , os próprios vetores dos eixos.
  • Não podemos ter um espaço de maior dimensão que o próprio espaço em que os vetores geradores estão contidos. Por exemplo, não conseguimos gerar nenhum espaço de dimensão maior que 3 com vetores do R 3 ,ou seja, com 3 coordenadas.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle Álgebra Linear , 2 a ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 97 – Ex. 66

Determinar uma base do subespaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = 1 , - 1,0 , 0 ,     v 2 = - 2,2 , 2,1 ,   v 3 =   ( - 1,1 , 2,1 ) e v 4 = ( 0,0 , 4,2 )

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Passo 1

Bom, nós temos um conjunto gerador do espaço no qual queremos achar a base, e qual a diferença entre a base e um conjunto gerador??

A base é um conjunto L I !

Assim, basta que a gente transforme aquele conjunto { v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 } em L I , retirando os vetores C L dos outros, escalonando. Então primeiro, vamos botá-los nas linhas da uma matriz:

1 - 2 - 1 0 - 1 2 1 0 0 2 2 4 0 1 1 2

Passo 2

E agora escalonar:

1 - 2 - 1 0 - 1 2 1 0 0 2 2 4 0 1 1 2   → L 2 ← L 2 + 2 L 1 L 3 ← L 3 + L 1 1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 2 2 4 0 1 1 2

1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 2 2 4 0 1 1 2 → L 3 ← L 3 - L 2 L 4 ← L 4 - 2 L 2 1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0

As duas últimas linhas foram zeradas, mostrando que v 3 e v 4 eram C L de v 1 e v 2 !

Assim, retirando esses dois vetores do conjunto, temos uma base para o espaço que ele gera:

{ 1 , - 1,0 , 0 , - 2,2 , 2,1 }

Resposta

{ v 1 , v 2 }

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Álgebra Linear, P1 – 2017.1, Questão 15

Determine a dimensão do conjunto abaixo:

( 1 ,   - 1 ,   1 ,   - 2 ) , ( 1 ,   0 ,   3 ,   - 1 ) , ( 1 ,   - 1 ,   0 ,   - 5 ) , ( 1 ,   0 ,   4 ,   2 )

(a) 3

(b) 4

(c) 1

(d) 2  

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Passo 1

A dimensão é o numero de vetores na base, porém para ser base é preciso que o conjunto de vetores seja   L I . Dessa forma, temos que ver se tem vetores C L ’s dos outros nesse conjunto:

( 1 ,   - 1 ,   1 ,   - 2 ) , ( 1 ,   0 ,   3 ,   - 1 ) , ( 1 ,   - 1 ,   0 ,   - 5 ) , ( 1 ,   0 ,   4 ,   2 )

Vamos escalonar:

1 1 1 1       - 1 0 - 1 0       1 3 0 4       - 2 - 1 - 5 2 → L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - L 1 L 4 → L 4 - L 1 1 0 0 0       - 1 1 0 1       1 2 - 1 3       - 2 1 - 3 4 → L 4 → L 4 - L 2 1 0 0 0       - 1 1 0 0       1 2 - 1 1       - 2 1 - 3 3

→ L 4 → L 4 + L 3 1 0 0 0       - 1 1 0 0       1 2 - 1 0       - 2 1 - 3 0

Uma linha zerou, logo apenas 3 dos 4 vetores formam a base do espaço, portanto a dimensão dele vai ser igual a 3

Resposta

a

Exercício Resolvido #3

UFRJ, Álgebra Linear, P1 – 2017.1, Questão 10

Assinale o vetor que adicionado ao conjunto { ( 1,2 , 3 ) , ( 2,4 , 9 ) } forma uma base para o R 3 :

(a) ( 0 ,   0 ,   6 )

(b) ( 3 ,   6 ,   12 )

(c) ( 6 ,   - 3 ,   0 )

(d) ( 1 ,   2 ,   6 )

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Passo 1

Para formar a base do R 3 , o vetor precisa simplesmente não ser C L dos outros 2.

Vamos testar as afirmativas escalonando, lembrando que se uma linha zerar quer dizer que o vetor que estava nela é combinação linear dos demais.

(a) ( 0 ,   0 ,   6 )

1 2 3 2 4 9 0 0 6 → L 2 → L 2 - 2 L 1 1 2 3 0 0 3 0 0 6 → L 3 → L 3 - 2 L 2 1 2 3 0 0 3 0 0 0

Zerou!! Não é esse!!

(b) ( 3 ,   6 ,   12 )

1 2 3 2 4 9 3 6 12 → L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - 3 L 1 1 2 3 0 0 3 0 0 3 → L 3 → L 3 - L 2 1 2 3 0 0 3 0 0 0

Zerou de novo!! Não é esse!!

(c) ( 6 ,   - 3 ,   0 )

1 2 3 2 4 9 6 - 3 0 → L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - 6 L 1 1 2 3 0 0 3 0 - 15 - 18 → L 1 ↔ L 3 1 2 3 0 - 15 - 18 0 0 3

Não zerou! Podemos parar por aqui, porque esse vetor vai ser nossa resposta.

Resposta

c

Exercício Resolvido #4

UFRJ, Álgebra Linear, P1- 2015.1, Questão 03

Assinale a alternativa CORRETA:

( a )