Teoria

Olá gente bonita, nós somos o Responde Aí, a plataforma de exatas que vai salvar o seu semestre!

Vem com a gente aprender sistemas lineares e como resolvê-los.

Sistema Linear

Um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações, com duas ou mais incógnitas, nas quais só estão envolvidas operações básicas como soma, substração, multiplicação e divisão.

Um exemplo de sistema linear é esse aqui:

Um exemplo de sistema linear
Um exemplo de sistema linear

A resolução de sistemas lineares é uma tarefa comum nas áreas das ciências da natureza e da matemática, por esse motivo é bem importante que a gente saiba resolver um sistema linear.

Representação Matricial

Antes da gente focar em como resolver o sistema, vamos entender como a gente pode representar um sistema linear usando as matrizes.

O sistema linear pode ser escrito da seguinte forma:

Representação matricial de um sistema linear
Representação matricial de um sistema linear

Vamos entender com calma isso aí. Vamos pegar como exemplo aquele sistema linear que vimos lá no início.

Exemplo de sistema linear
Exemplo de sistema linear

O vetor de incógnitas para esse sistema será:

Vetor de incógnitas
Vetor de incógnitas

A matriz de coeficientes, , será:

Matriz de coeficientes
Matriz de coeficientes

E o vetor de resposta, , será:

Vetor de resposta
Vetor de resposta

Essas duas formas de representar o sistema são equivalentes:

Sistema linear representado de duas maneiras equivalentes
Sistema linear representado de duas maneiras equivalentes

Há uma outra matriz importante, que chamamos de matriz aumentada. Ela é quase igual à matriz de coeficientes, só que com uma coluna a mais. Nessa última coluna, à direita, colocamos o vetor b.

Veja só a matriz aumentada do sistema que mostramos acima:

Matriz aumentada
Matriz aumentada

Resolução de um sistema linear

A resolução de um sistema linear pode ser feita através de diversos métodos, mas vamos focar aqui no método de escalonamento, no qual usamos a representação matricial para resolver o problema.

Para entender esse método vamos pegar um exemplo:

Sistema linear na forma matricial
Sistema linear na forma matricial

O que vamos fazer é pegar a matriz aumentada desse sistema:

Matriz aumentada
Matriz aumentada

E escalonar ela.

📢 ALERTA: É muito muito muito importante que você saiba escalonar uma matriz para conseguir resolver o sistema linear por esse método. Então, se você ainda não sabe ou tem dúvidas corre pra essa página aqui: Escalonamento

Quando escalonamos essa matriz aumentada obtemos a seguinte matriz:

Matriz aumentada escalonada
Matriz aumentada escalonada

Agora, vamos pegar a matriz escalonada e trazer de volta para a representação em equações. Desse jeito aqui:

Passando da forma matricial para a forma de equacionamento
Passando da forma matricial para a forma de equacionamento

Agora podemos pegar a equação E substituir na equação :

Substituindo a equação
Substituindo a equação

Veja que tanto quanto estão em função de , então podemos escrever nosso vetor de incógnitas, que é o que queremos encontrar ao resolver um sistema linear, em função de , assim:

Vetor de incógnitas solução do sistema linear
Vetor de incógnitas solução do sistema linear

E prontinhos resolvemos nosso sistema linear.

Tranquilo não é?

Uma última observação importante sobre os sistemas lineares. Quando o vetor é um vetor nulo, ou seja, todas as suas componentes são zero, como podemos ver aqui embaixo:

Vetor nulo
Vetor nulo

dizemos que o sistema linear é homogêneo.

Fechamos aqui nosso papo de hoje. Praticar é o que você deve fazer agora, por isso eu vou deixar aqui em baixo um vídeo de um exercício resolvido passo-a-passo, de modo que você consegue entender muito bem tudo que precisa fazer para resolver o exercício e mandar super bem na prova. Confere aí 👇🏾

Exercício em vídeo

Confere esse exercício em vídeo, no qual a resolução é feita passo-a-passo junto com você. Aproveita 😉

Resolução de um sistema linear

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Mostre que o conjunto solução do sistema :

x - 2 y = 3 3 x + y = 1

não irá se alterar se acrescentarmos a equação 2 x + 3 y = ___ (não resolva o sistema!)

Passo 1

No enunciado foram dadas duas equações com duas incógnitas.

Neste problema, queremos encontrar outra equação para o sistema de modo que o conjunto solução não sofra mudanças.

Temos que lembrar que como vamos ter 3 equações para 2 incógnitas, a terceira equação será obrigatoriamente uma C o m b i n a ç ã o   L i n e a r das outras, desse modo, as equações vão ser equivalentes. Para resolver utilizaremos apenas os coeficientes das equações.

Passo 2

Utilizando APENAS os coeficientes:

Vamos escrever os vetores dos coeficientes das equações que temos

x - 2 y = 3             ⇒             ( 1 , - 2 )

3 + y = 1             ⇒             ( 3,1 )

Escrevendo o vetor que corresponde aos coeficientes que queremos obter:

2 x + 3 y             ⇒           ( 2,3 )

Agora vamos escrever uma combinação linear dos dois vetores do sistema e igualar com os da equação que queremos obter. Iremos fazer isso para obter a combinação linear de todos os coeficientes do sistema, beleza?!

a 1 , - 2 + b 3,1 = 2,3

Beleza?!

Desse modo temos nossa combinação linear dos coeficientes do sistema!

Passo 3

Vamos encontrar os valores de a e b :

Da combinação linear obtemos duas equações:

a 1 , - 2 + b 3,1 = 2,3

a , - 2 a + 3 b , b = 2,3

a + 3 b , - 2 a + b = 2,3

a + 3 b = 2

- 2 a + b = 3

Fazendo as continhas, obtemos:

a = - 1     e   b = 1

Ok, podemos ver que a = - 1 ,   b = 1 irá satisfazer a equação. Assim, para ela ser verdadeira, devemos impor essas condições igual ao que temos no enunciado. Para isso, vamos utilizar a equação que queremos incluir   2 x + 3 y e fazer a combinação linear utilizando os valores de a e b encontrados.

A primeira equação é igual a 3 e a segunda igual a 1, então vamos escrever uma combinação linear entre esses valores e a   e   b :

2 x + 3 y = 3 a + 1 b

2 x + 3 y = - 3 + 1 = - 2

É só pensar na matriz dos coeficientes, beleza?! Se tivermos uma linha redundante, podemos eliminá-la na hora do escalonamento, e não influenciará em nada a solução do nosso sistema :D

Resposta

- 2

Exercício Resolvido #2

Resolva o sistema linear abaixo, escrevendo o conjunto-solução em equações paramétricas:

x + y - 2 z = - 2 x - y = 0 2 x + y - 3 z = - 3

Passo 1

Vamos achar a matriz aumentada do sistema.

Lembra que pra fazer isso a gente coloca a matriz dos coeficientes do lado esquerdo e os números que estão depois do igual como um vetor do lado direito.

1 1 - 2 1 - 1 0 2 1 - 3 - 2 0 - 3

Agora vamos escaloná-la, seguindo um passo a passo!

Passo 2

  1. ENCONTRAR O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA
  2. Qual o primeiro elemento não-nulo da primeira linha?

    É o 1 !

    Encontrado.

    Passo 3

  3. ZERAR A PRIMEIRA COLUNA (USANDO O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA)
  4. Aqui você precisa zerar o 1 e o 2 que estão logo abaixo do pivô.

    Fazendo L 2 ← L 1 - L 2 e L 3 ← 2 L 1 - L 3 , temos o seguinte:

    1 1 - 2 1 - 1 0 2 1 - 3 - 2 0 - 3 ⟹ 1 1 - 2 0 2 - 2 0 1 - 1 - 2 - 2 - 1

    Passo 4

  5. ENCONTRAR O PIVÔ DA SEGUNDA LINHA
  6. O primeiro elemento não nulo da segunda linha é o 2 .

    Peraí, tem algum jeito de transformar logo esse pivô em 1 ?

    Claro! Vamos dividir a segunda linha toda por 2 , fazendo L 2 ← 1 2 L 2 .

    1 1 - 2 0 2 - 2 0 1 - 1 - 2 - 2 - 1 L 2 ← 1 2 L 2 1 1 - 2 0 1 - 1 0 1 - 1 - 2 - 1 - 1

    Passo 5

  7. ZERAR A SEGUNDA COLUNA (USANDO O PIVÔ DA SEGUNDA LINHA)

Agora queremos zerar o 1 logo abaixo do pivô.

Fazendo L 3 ← L 2 - L 3 :

1 1 - 2 0 1 - 1 0 1 - 1 - 2 - 1 - 1 L 3 ← L 2 - L 3 1 1 - 2 0 1 - 1 0 0 0 - 2 - 1 0

Podemos descartar a linha nula!

1 1 - 2 0 1 - 1 - 2 - 1

Pronto! Está em sua forma escalonada.

Assim, passando para a forma de sistema:

x + y - 2 z = - 2 y - z = - 1

Isolando x na primeira equação e y na segunda temos:

x = - 2 - y + 2 z

E

y = - 1 + z  

Substituindo o valor de y na primeira equação temos:

x = - 2 + 1 - z + 2 z

x = - 1 + z

Logo temos:

x , y , z = - 1 + z , - 1 + z , z = - 1 , - 1,0 + z ( 1,1 , 1 )

A equação vetorial fica:

- 1 , - 1,0 + z 1,1 , 1 ,   z ∈ R

Que é uma reta no R 3 .

Como o problema pede a equação paramétrica, teremos:

x = - 1 + z y = - 1 + z z = z , z ∈ R

Resposta

x = - 1 + z y = - 1 + z z = z , z ∈ R

Exercício Resolvido #3

Considere o sistema linear

1 2 - 1 1 - 1 0 2 1 - 1 ∙ x y z = - 2   2 0

  1. Encontre todas as soluções do sistema homogêneo associado e represente este espaço de soluções como um espaço gerado.
  2. Verifique que ( 1 , - 1,1 ) é solução do sistema não-homogêneo acima.
  3. Enconte todas as soluções e represente-as como um espaço gerado deslocado da origem.

Passo 1

Letra ( a ) : Primeiro escrevemos o sistema homogêneo:

1 2 - 1 1 - 1 0 2 1 - 1 ∙ x y z = 0   0 0

Passo 2

Multiplicando as matrizes e igualando os elementos, temos o sistema:

x + 2 y - z = 0   ( I ) x - y + 0 z = 0 ⇒ x = y   ( I I ) 2 x + y - z = 0   ( I I I )

Passo 3

Substituindo a equação ( I I ) nas equações ( I ) e ( I I I ) , temos o sistema:

x + 2 x - z = 0 2 x + x - z = 0

{ 3 x - z = 0 ⇒ z = 3 x

Passo 4

Então, o vetor solução desse sistema é o vetor que possui x = x na primeira coordenada, y = x na segunda coordenada e z = 3 x na terceira coordenada. Logo, nosso vetor é:

x , x , 3 x = x ( 1,1 , 3 )

Sendo S 0 a solução do sistema homogêneo, então S 0 = s p a n { 1,1 , 3 }

Passo 5

Letra ( b ) : para verificar se o vetor ( 1 , - 1,1 ) é solução do sistema, basta substitui-lo na forma matricial ou no sistema linear gerado. No caso, a multiplicação de matrizes fica:

1.1 - 1.2 + 1 . ( - 1 ) = - 2 1.1 - 1 . - 1 + 1.0 = 2 1.2 - 1.1 + 1 . ( - 1 ) = 0

Como a multiplicação satisfez a equação matricial, o vetor realmente é solução do sistema.

Passo 6

Letra ( c ) : o que o problema quer dizer com todas as soluções seria a solução geral, que é:

S b = v 0 + S 0

No caso:

S 0 = s p a n { 1,1 , 3 }

v 0 = ( 1 , - 1,1 )

E então:

S b = 1 , - 1,1 + s p a n { 1,1 , 3 }

Resposta

  1. S 0 = s p a n 1,1 , 3
  2. 1 , - 1,1 é solução
  3. S b = 1 , - 1,1 + s p a n { 1,1 , 3 }

Exercício Resolvido #4

O sistema linear - 1 x + - 2 y + - 2 z = 5 - 1 x + 0 y + - 3 z = 5 1 x + 4 y + 3 z = - 9 admite a solução ( x 0 , y 0 , z 0 ) . A soma de x 0 + y 0 + z 0 é:

(a) - 1

(b) - 2

(c) 3

(d) 4

Passo 1

Para resolver o sistema, vamos escalonar a matriz aumentada:

- 1 - 2 - 2 5 - 1 0 - 3 5 1 4 3 - 9 ~ ⏟ ( i ) 1 2 2 - 5 - 1 0 - 3   5 1 4 3 - 9 ~ ⏟ ( i i ) 1 2 2 - 5 0 2 - 1 0 0 2 1 - 4 ~ ⏟ ( i i i ) 1 2 2 - 5 0 2 - 1 0 0 0 2 - 4

Passo ( i ) : L 1 ← ( - 1 ) L 1

Passo ( i i ) : L 2 ← L 1 + L 2 e L 3 ← L 3 - L 1

Passo ( i i i ) : L 3 ← L 3 - L 2

Passo 2

Tendo a matriz escalonada, vamos fazer a substituição para trás:

2 z 0 = - 4 → z 0 = - 2

Na segunda linha:

2 y 0 - z 0 = 0

y 0 = z 0 2

y 0 = - 1

Na primeira linha:

1 x 0 + 2 y 0 + 2 z 0 = - 5

x 0 + 2 ⋅ - 1 + 2 ⋅ - 2 = - 5

x 0 = 1

Passo 3

Com isso, achamos o vetor-solução!

x 0 y 0 z 0 = 1 - 1 - 2

Assim, a soma x 0 + y 0 + z 0 = 1 - 1 - 2 = - 2 .

Resposta

(b)

Exercício Resolvido #5

Resolva o sistema abaixo pelos métodos pedidos.

2 x + 3 y = 8 x - y = - 1

a) Método da substituição.

b) Método da adição.

c) Escalonamento.

Passo 1

Bom, a gente viu lá na teoria que tem 3 métodos possíveis pra resolver um sistema, que são esses das letras a, b e c certo?

Então a gente vai usar cada um deles pra resolver o mesmo sistema, vamos lá :D

Passo 2

a) Substituição

Da segunda linha do sistema, podemos isolar x , ficando com

x = y - 1

Beleza, a gente ficou com x em função de y né?

Agora vamos substituir isso na primeira equação, no lugar de x :

2 x + 3 y = 8

2 ( y - 1 ) + 3 y = 8

2 y - 2 + 3 y = 8

Opa, agora a gente tem uma equação em função apenas de y !! É só resolver pra encontrar o valor dele:

5 y = 10

y = 2

Boa, agora, a gente viu ali em cima que x = y - 1 , então:

x = 2 - 1

x = 1

E fimmm, encontramos que x = 1 e y = 2 pelo método da substituição :P

Passo 3

b) Adição

O principal objetivo na adição é somar as duas equações de modo que isso suma com uma das incógnitas. Então, por exemplo, se multiplicarmos a segunda equação por 3 , vamos ter:

2 x + 3 y = 8 3 x - 3 y = - 3

Entendeu? Quis deixar o y com o mesmo coeficiente (só que com sinais opostos) em cima e embaixo ;)

Outra opção seria multiplicar em cima por 3 e embaixo por - 2 , porque aí ficaria 6 x em cima e - 6 x embaixo.

Continuando, agora vamos somar as duas equações:

2 x + 3 x + 3 y - 3 y = 8 - 3

5 x = 5

x = 1

Aeee, já achamos o x , agora é só substituir em uma das equações pra achar o y . Substituindo na primeira:

2.1 + 3 y = 8

3 y = 6

y = 2

É isso aí! Encontramos x e y do nosso sistema pelo método da adição e como esperado, deu o mesmo valor que pelo método da substituição :)

Passo 4

c) Escalonamento

Agora vem o famoso escalonamento hehe primeiro vamos colocar nosso sistema em formato de matriz aumentada:

2 3 1 - 1 8 - 1

Agora vamos escalonar daquele jeitinho que aprendemos:

L 2 → 2 L 2 - L 1   2 3 0 - 5 8 - 10

Opa essa foi fácil hahaha agora, voltando ao sistema com os novos coeficientes:

2 x + 3 y = 8 - 5 y = - 10

Da segunda linha, temos que

- 5 y = - 10

y = 2

Substituindo na primeira linha:

2 x + 3.2 = 8

2 x = 2

x = 1

E é isso, resolvemos o sistema por escalonamento e conseguimos o mesmo resultado dos outros métodos :) lembrando que o que mais vamos utilizar é escalonamento ok?

Resposta

x = 1 e y = 2

Exercício Resolvido #6

Se o termo ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) é a solução do sistema abaixo, então 3 x 0 + 5 y 0 + 4 z 0 é igual a:

3 x + z = - 5 x + y + z = - 2 2 y - z = - 3

a) -8

b) -7

c) -6

d) -5

e) -4

Passo 1

Aqui nós vamos primeiro resolver nosso sistema, pra encontrarmos a solução ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) . Depois, vamos substituir esses valores na conta 3 x 0 + 5 y 0 + 4 z 0 pra encontrarmos nosso resultado beleza?

Nosso sistema é o seguinte

3 x + 0 y + 1 z = - 5 1 x + 1 y + 1 z = - 2 0 x + 2 y - 1 z = - 3

Ele pode ser escrito na seguinte matriz aumentada:

3 0 1 1 1 1 0 2 - 1 - 5 - 2 - 3    

Agora podemos resolver por escalonamento :)

Passo 2

Escalonando nossa matriz:

L 2 → 3 L 2 - L 1 3 0 1 0 3 2 0 2 - 1 - 5 - 1 - 3    

L 3 → 3 L 3 - 2 L 2 3 0 1 0 3 2 0 0 - 7 - 5 - 1 - 7    

Boa, nossa matriz está escalonada :D

Agora podemos escrever como sistema novamente:

3 x + 0 y + 1 z = - 5 0 x + 3 y + 2 z = - 1 0 x + 0 y - 7 z = - 7

Passo 3

Do sistema obtido, temos na última linha que:

- 7 z = - 7

- z = - 7 7

z = 1

Substituindo na segunda linha:

3 y + 2.1 = - 1

3 y = - 3

y = - 1

Substituindo na primeira linha:

3 x + 0 . - 1 + 1.1 = - 5

3 x = - 6

x = - 2

Então, nossa solução é x 0 ,   y 0 ,   z 0 = ( - 2 ,   - 1 ,   1 ) .

Agora é só substituir naquela conta:

3 x 0 + 5 y 0 + 4 z 0

3 ( - 2 ) + 5 ( - 1 ) + 4.1

- 6 - 5 + 4

- 7

Aeee, então a alternativa correta é a letra B :)

Resposta

b) -7

Exercício Resolvido #7

Se

a + b c + d c - d a - d = 4 6 10 2

Encontre a , b , c e d .

Passo 1

O primeiro passo aqui é igualarmos cada termo das matrizes. Assim, o termo a 11 da primeira matriz é igual o termo a 11 da segunda e por aí vai, isso vai nos dar o sistema:

a + b = 4 c + d = 6 c - d = 10 a - d = 2

Boa, agora é só resolvermos esse sistema :)

Passo 2

Podemos resolver esse sistema pos substituição.

Como assim???

Olha, na terceira equação podemos isolar o c , isso vai nos dar

c = 10 + d

Ok, agora podemos substituir na segunda equação:

10 + d + d = 6

2 d = - 4

d = - 2

Aí, já achamos o d :)

Como sabemos que c = 10 + d :

c = 10 + ( - 2 )

c = 10 - 2

c = 8

Passo 3

Substituindo d = - 2 na quarta equação, temos

a - - 2 = 2

a + 2 = 2

a = 0

Substituindo na primeira equação:

0 + b = 4

b = 4

Então achamos todas as nossas incógnitas :D

Resposta

a = 0

b = 4

c = 8

d = - 2

Exercício Resolvido #8

Um biólogo colocou três espécies de bactérias (denotadas por I, II e III) num tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). Em cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 1500 unidades de A, 3000 unidades de B e 4500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, como mostra a tabela. Quantas bactérias podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento?

Passo 1

Vamos chamarde x a bactéria I, y a bactéria II e z a bactéria III.

Com os valores dados no enunciado e os coeficientes da tabela, construímos o sistema:

x + y + z = 1500 x + 2 y + 3 z = 3000 x + 3 y + 5 z = 4500

Boaa, agora é só resolver esse sistema pra vermos quantas bactérias podemos ter no tubo para consumir todo o alimento hehe

Passo 2

Escrevendo nosso sistema como uma matriz aumentada:

1 1 1 1 2 3 1 3 5 1500 3000 4500

Agora vamos escalonar:

L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - L 1         1 1 1 0 1 2 0 2 4 1500 1500 3000

L 3 → L 3 - 2 L 2   1 1 1 0 1 2 0 0 0 1500 1500 0

Opa, uma das linhas foi anulada, vamos voltar pro sistema pra ver o que fazemos.

Passo 3

Voltando ao sistema com os novos coeficientes:

x + y + z = 1500 y + 2 z = 1500 0 = 0

Bom, se uma das linhas foi anulada, já sabemos que uma das respostas vai ser um parâmetro.

Escolhendo z como parâmetro, vamos isolar y na segunda linha e assim teremos

y = 1500 - 2 z

Substituindo na primeira linha:

x + 1500 - 2 z + z = 1500

x - z = 0

x = z

Então:

x ,   y ,   z = ( z ,   1500 - 2 z ,   z )

Logo, nesse sistema, z pode assumir qualquer valor, enquanto x e y variam em função dele. Temos infinitas soluções :D

Resposta

x ,   y ,   z = ( z ,   1500 - 2 z ,   z )

Exercício Resolvido #9

Utilize escalonamento para resolver o seguinte sistema de equações.

x 1 - 2 x 2 + x 3 + x 4 - 2 x 5 = 2 3 x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 + 2 x 4 - x 5 = 3 2 x 1 + 4 x 2 - 3 x 3 + x 4 + x 5 = 1

Passo 1

Antes de começar a escalonar, temos que colocar esse sistema em uma matriz aumentada:

1 - 2 1 1 - 2 3 2 - 2 2 - 1 2 4 - 3 1 1 2 3 1

Escalonando:

L 2 → L 2 - 3 L 1 1 - 2 1 1 - 2 0 8 - 5 - 1 5 2 4 - 3 1 1 2 - 3 1

L 3 → L 3 - 2 L 1 1 - 2 1 1 - 2 0 8 - 5 - 1 5 0 8 - 5 - 1 5 2 - 3 - 3

Opa, a segunda e a terceira linha ficaram iguais :O então podemos escrever a matriz aumentada assim:

1 - 2 1 1 - 2 0 8 - 5 - 1 5 2 - 3

Passo 2

Passando a matriz aumentada de volta para um sistema:

x 1 - 2 x 2 + x 3 + x 4 - 2 x 5 = 2 8 x 2 - 5 x 3 - x 4 + 5 x 5 = - 3

Se isolarmos x 4 na segunda equação, teremos:

x 4 = 8 x 2 - 5 x 3 + 5 x 5 + 3

Agora vamos substituir isso na primeira equação:

x 1 - 2 x 2 + x 3 + 8 x 2 - 5 x 3 + 5 x 5 + 3 - 2 x 5 = 2

x 1 + 6 x 2 - 4 x 3 + 3 x 5 = - 1