Resolvendo Sistemas Lineares

Teoria Completa

Introdução

Antes de você começar a focar nos tipos de sistemas lineares e nas suas soluções, vamos dar ênfase em como achar de fato essas soluções de sistemas lineares. Mas antes vamos começar falando sobre um sistema linear na sua forma matricial.

Um sistema linear pode ser representado matricialmente, ou seja, do tipo A x = b , onde a incógnita é o vetor x .

Peraí! Vamos com calma! Você deve estar pensando que a ideia que você tem de um sistema é bem diferente disso. Mas não é! Vou dar um exemplo e você já vai perceber a equivalência.

Considere essa matriz A e esse vetor b :

A = 2 3 1 2 ,   b = ( 1 ,   1 )

A pergunta que fazemos é: por qual vetor x que eu tenho que multiplicar a matriz A para que dê o vetor b = ( 1 ,   1 ) como resposta? Aí surge o sistema linear A x = b :

2 3 1 2 ∙ x 1 x 2 = 1 1

Eu quero descobrir qual é o vetor x . Para isso eu tenho que descobrir quem é x 1 e quem é x 2 !

Fazendo a multiplicação de matrizes normal, repare que basta pegar o vetor coluna e multiplicar. Daí, temos:

2 x 1 + 3 x 2 = 1

Da segunda linha:

x 1 + 2 x 2 = 1

No final, temos um sistema com duas equações:

2 x 1 + 3 x 2 = 1 x 1 + 2 x 2 = 1

Aaaaaah! Agora sim temos o que você está acostumado a chamar de sistema linear! Mas entenda: as duas formas são equivalentes, e significam a mesma coisa.

2 3 1 2 ∙ x 1 x 2 = 1 1 ↔ ⏟ m e s m a   c o i s a ‼ ‼ 2 x 1 + 3 x 2 = 1 x 1 + 2 x 2 = 1

O que acabamos de fazer é passar o sistema da forma matricial para a forma de equação. E claro que você pode fazer o caminho inverso sempre!

A forma matricial é muito boa para representar sistemas com muitas equações, pois fica mais fácil de escrever.

Chamamos a matriz A de matriz de coeficientes, pois ela carrega os coeficientes que acompanham x 1 , x 2 , … no sistema linear!

Há uma outra matriz importante, que chamamos de matriz aumentada. Ela é quase igual à matriz de coeficientes, só que com uma coluna a mais. Nessa última coluna, à direita, colocamos o vetor b .

Veja só a matriz aumentada do sistema que mostramos acima:

2 3   1 2     1   1

Resolvendo sistemas lineares

Bom, vamos para o que interessa: resolver os sistemas!

Vamos ver duas formas:

Isolando as variáveis:

Esse primeiro método é aquele que usávamos lá no Ensino Médio. Isolamos as variáveis e substituímos na outra equação:

Exemplo 1:

Seja o sistema matricial:

1 1 2 - 3 ∙ x y = 0 0

Reparem que esse sistema está igualado ao vetor nulo, por isso ele ganhou um nome especial: sistema homogêneo ( A x = 0 ) .

Vamos escrever esse sistema assim (tirando da forma matricial):

x + y = 0   ( I ) 2 x - 3 y = 0   ( I I )

Agora você basicamente resolve o sistema da forma como tá acostumado, show?

Fazendo x = - y em ( I ) e substituindo em ( I I ) :

- 2 y - 3 y = 0   ⇒ - 5 y = 0 ⇒ y = 0

E, portanto:

x = 0

Assim nosso conjunto solução S é:

S = { 0,0 }

E percebemos que o sistema só possui uma única solução!

Escalonando:

Esse jeito é mais indicado quando o sistema está mais complexo e você está com dificuldade de isolar as variáveis. Escalonando antes pode ser um jeito de simplificar o seu problema.

Exemplo 2: olha só para esse outro sistema homogêneo aqui:

1 1 2 1 4 3 2 5 5 ∙ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para isso basta escalonar a matriz aumentada:

1 1 2 1 4 3 2 5 5 0 0 0 ~ 1 1 2 0 - 3 - 1 0 - 3 - 1 0 0 0 ~ 1 1 2 0 - 3 - 1 0 0 ~ 1 1 2 0 3 1 0 0

Vamos transformar de volta em um sistema linear:

x 1 + x 2 + 2 x 3 = 0   ( I ) 3 x 2 + x 3 = 0 ⇒ x 3 = - 3 x 2   ( I I )

Substituindo x 3 na equação ( I ) :

x 1 + x 2 - 6 x 2 = 0 ⇒ x 1 = 5 x 2

Veja que tanto x 1 como x 3 podem ser colocados em função de x 2 ! Assim, a solução será:

x = 5 x 2 x 2 - 3 x 2

x = 5 x 2 , x 2 , - 3 x 2

E agora repare que há x 2 multiplicando todas as coordendas, e, portanto, podemos botá-lo em evidência:

x = x 2 ( 5,1 , - 3 )

Isso quer dizer que as soluções desse sistema são todos os múltiplos do vetor ( 5,1 , - 3 ) . Assim, podemos escrever como um espaço gerado por todas as C L desse único vetor . Se S é o conjunto solução desse sistema, temos que:

S = s p a n { ( 5,1 , - 3 ) }

Sendo s p a n o espaço gerado.

Viu que dessa vez deu infinitas soluções?? Maneiro não?

É bom ressaltar que um conjunto-solução de um sistema pode ter mais de um parâmetro. Se acontecesse isso, teríamos o s p a n de mais de um vetor.

Exemplo 3:

1 2 3 6 0 1 ∙ x 1 x 2 = 1 3 4

Dessa vez o sistema não está igualado ao vetor nulo, por isso esse é um sistema não-homogêneo   ( A x = b ) .

1 2 3 6 0 1 1 3 4

Escalonando:

1 2 3 6 0 1 1 3 4 → ⏟ L 2 ← 3 L 1 - L 2 1 2 0 0 0 1 1 0 4 → ⏟ r e t i r a m o s   a   l i n h a   n u l a 1 2 0 1 1 4

Transformando num sistema linear:

x 1 + 2 x 2 = 1 ⇒ x 1 = - 7 0 x 1 + x 2 = 4 ⇒ x 2 = 4

Assim temos que a solução é o vetor x = - 7 4 .

Entretanto, esta é apenas uma solução particular do sistema linear, as soluções particulares mudam a medida que mudamos o b de A x = b . Mas vamos falar melhor sobre isso mais pra frente.

Podemos calcular a solução do sistema linear homogêneo associado a esse sistema linear. Basta mudar de A x = b , para A x = 0 . Logo, tomamos o b como b = 0 ⋮ 0 .

1 2 3 6 0 1 ∙ x 1 x 2 = 0 0 0

Transformando para a forma matricial:

x 1 + 2 x 2 = 0   ( I ) 3 x 1 + 6 x 2 = 0     ( I I ) x 2 = 0   ( I I I )

Assim podemos descartar a segunda equação pois I I = 3 ( I ) .

Logo, como x 2 = 0 , podemos ver, pela equação ( I ) , que x 1 = 0 .

Vemos então que realmente a solução muda com o b .

Exemplo 4: Vamos pegar a matriz do exemplo 2.

1 1 2 1 4 3 2 5 5 ∙ x 1 x 2 x 3 = 1 1 2

Mas dessa vez o vetor b não é o nulo, isso caracteriza um sistema não-homogêneo.

Tirando da forma matricial:

x 1 + x 2 + 2 x 3 = 1 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 1 2 x 1 + 5 x 2 + 5 x 3 = 2

Repare que a terceira equação é a soma das outras duas, então podemos descartá-la (É só olhar para a matriz):

x 1 + x 2 + 2 x 3 = 1 ⇒ x 1 = 1 - x 2 - 2 x 3 ⇒ x 1 = 1 - x 2 + 6 x 2 ⇒ x 1 = 1 + 5 x 2 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 1 ⇒ 1 - x 2 - 2 x 3 + 4 x 2 + 3 x 3 = 1 ⇒ 3 x 2 + x 3 = 0 ⇒ x 3 = - 3 x 2

Viu que dessa vez tivemos infinitas soluções para uma solução particular??

Podemos representar essas soluções como:

x 1 , x 2 , x 3 = 1 + 5 x 2 ,   x 2 ,   - 3 x 2 = 1,0 , 0 + x 2 5,1 , - 3

Ou seja:

1,0 , 0 + s p a n { 5,1 , - 3 }

Repara que deu exatamente o espaço gerado do sistema homogêneo? Vamos analisar isso.

Solução Geral do sistema linear

Percebeu nesse último exemplo que a resposta do sistema linear não homogêneo deu um espaço gerado deslocado? É porque ele é a solução geral do sistema linear!

O formato da solução geral é assim ô:

S = v 0 + S 0 ,   v 0 ∈ S

Mas pera, não era pra achar a solução particular? A solução particular é um vetor qualquer do conjunto solução S ! Mas pera aquele ( 1,0 , 0 ) é uma solução particularde S ???

Sim, basta escolher o múltiplo 0 ⋅ ( 5,1 , - 3 ) e assim teremos:

1,0 , 0 + 0 ⋅ 5,1 , - 3 = 1,0 , 0

Podemos pegar outra solução particular também:

v 0 = 1,0 , 0 + 1 ⋅ 5,1 , - 3 = 6,1 , - 3

Sendo assim:

S = 6,1 , - 3 + s p a n { 5,1 , - 3 }

Então, para achar a solução geral é só achar a solução do sistema homogêneo e somar com uma solução particular direto, ou então, calcular a solução do sistema linear não homogêneo e identificar os termos referentes ao sistema homogêneo e a solução particular, show?

Agora simbora fazer uns exercícios!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 58 – Fix 2.3

O conjunto solução do sistema x - 2 y = 3 3 x + y = 1 (não resolva o sistema!) não se altera se acrescentarmos a equação 2 x + 3 y = ___

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Passo 1

Para resolver este problema, temos que lembrar que como vamos ter 3 equações para 2 incógnitas, teremos uma que será uma C L da outra. Assim, devemos achar qual C L das duas equações originais irá gerar essa terceira. De outro modo, e utilizando APENAS os coeficientes:

a 1 , - 2 + b 3,1 = 2,3

De cabeça, podemos ver que a = - 1 ,   b = 1 irá satisfazer a equação, e assim, para ela ser verdadeira devemos impor essas condições acrescentando naquele igual ali no enunciado:

2 x + 3 y = - 3 + 1 = - 2

É só pensar na matriz dos coeficientes. Se tivermos uma linha redundante, podemos eliminá-la na hora do escalonamento, e não influenciará em nada a solução do nosso sistema :D

Resposta

- 2

Exercício Resolvido #2

Prob 2.7, letra b, do livro “Curso de Álgebra Linear – Fundamentos e Aplicações”, de Marco Cabral e Paulo Goldfield

Resolva o sistema linear abaixo, escrevendo o conjunto-solução em equações paramétricas:

x + y - 2 z = - 2 x - y = 0 2 x + y - 3 z = - 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos achar a matriz aumentada do sistema.

Lembra que pra fazer isso a gente coloca a matriz dos coeficientes do lado esquerdo e os números que estão depois do igual como um vetor do lado direito.

1 1 - 2 1 - 1 0 2 1 - 3 - 2 0 - 3

Agora nos resta escaloná-la, como a gente viu lá na teoria!

Passo 2

ENCONTRAR O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA

Qual o primeiro elemento não-nulo da primeira linha?

É o 1 !

Encontrado.

Passo 3

ZERAR A PRIMEIRA COLUNA (USANDO O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA)

Aqui você precisa zerar o 1 e o 2 que estão logo abaixo do pivô.

Fazendo L 2 ← L 1 - L 2 e L 3 ← 2 L 1 - L 3 , temos o seguinte:

1 1 - 2 0 2 - 2 0 1 - 1 - 2 - 2 - 1

Passo 4

ENCONTRAR O PIVÔ DA SEGUNDA LINHA

O primeiro elemento não nulo da segunda linha é o 2 .

Peraí, tem algum jeito de transformar logo esse pivô em 1 ?

Claro! Vamos dividir a segunda linha toda por 2 , fazendo L 2 ← 1 2 L 2 .

1 1 - 2 0 1 - 1 0 1 - 1 - 2 - 1 - 1

Passo 5

ZERAR A SEGUNDA COLUNA (USANDO O PIVÔ DA SEGUNDA LINHA)

Agora queremos zerar o 1 logo abaixo do pivô.

Fazendo L 3 ← L 2 - L 3 :

1 1 - 2 0 1 - 1 0 0 0 - 2 - 1 0

Podemos descartar a linha nula!

1 1 - 2 0 1 - 1 - 2 - 1

Pronto! Está em sua forma escalonada.

Assim, passando para a forma de sistema:

x + y - 2 z = - 2 ⇒ x = - 2 - y + 2 z ⇒ x = - 2 + 1 - z + 2 z ⇒ x = - 1 + z y - z = - 1 ⇒ y = - 1 + z