Espaços Gerados

Teoria Completa

Interpretação geométrica

Bom, já aprendemos sobre equações cartesianas e paramétricas, agora vamos falar um pouquinho sobre o que elas fazem. Vamos dar uma olhada nessa equação da reta r e nessa do plano Π :

r = { 0 , - 1,1 + t ( 1 , - 2,1 ) | t ∈ R }

Π = { 2,1 , 0 + k - 1 , - 2,2 + s ( - 2,3 , 2 ) | k , s ∈ R }

Repare na reta r que o vetor ( 1 , - 2,1 ) é o vetor diretor, ou seja, ele é o responsável por dar direção a nossa reta, por isso, podemos dizer que ele gera a reta r , mas não só ele! Ela é gerada por ele e todos os seus múltiplos, pois são todos os t ∈ R . Já o vetor deslocamento 0 , - 1,1   não influencia na direção ou “tamanho” da reta, ele só a tira da origem.

Agora repare no plano Π , este agora não possui um vetor gerador apenas. Podemos dizer que esse plano é um espaço gerado por   - 1 , - 2,2   e ( - 2,3 , 2 ) . Novamente, o vetor deslocamento 2,1 , 0 não influencia no “tamanho” do plano, quem faz isso são os parâmetros k e s . Mas então os geradores são todos os múltiplos de   - 1 , - 2,2   e ( - 2,3 , 2 ) ?? Vamos chamar - 1 , - 2,2   de v 2   e - 2,3 , 2   de v 3   e olhar a imagem:

Repare os vetores v 2 e v 3 geram as retas k v 2 e s v 3 respectivamente. E sabemos que estes vetores também geram o plano Π . Vamos voltar à nossa pergunta: o que significa ser gerado por todos os múltiplos de v 2 e v 3 ??

Perceba que se pegarmos apenas 1 v 2 + 1 v 3 , ou seja, - 1 , - 2,2 + - 2,3 , 2   teríamos o vetor - 3,1 , 4 , um dos vetores azuis da imagem acima, mas ainda não seria suficiente. O necessário, então, seria pegar infinitos múltiplos de v 2 e somarmos com infinitos múltiplos de v 3 , e o que é isso? Combinação Linear!! Então estamos simplesmente fazendo infinitas combinações de v 2 e v 3 ,   por exemplo: 1 v 2 + 2 v 3 ;   3 v 2 + 2 v 3 ;   etc.

Blz, então faríamos isso até “preenchermos” o plano com todos aqueles vetores azuis (lembre-se que ele é infinito). Mas eu posso simplesmente pegar os múltiplos assim? Sim!! Porque na verdade eles já estão representados na equação pelos parâmetros multiplicando os vetores diretores!!

Então, na verdade, o plano é formado por k v 2 + s v 3 .

Definição

Acho que já sabemos mais ou menos o que é um espaço gerado, vamos ver a definição formal ai rapidinho:

No fundo, um espaço gerado é apenas a combinação linear de um bando de vetores.

Antes de avançarmos, fica ligado em algumas informações importantes que fiz especialmente pra você:

Obs1.: Também podemos denotar o espaço gerado pelo conjunto { v 1 , … , v k } como ⟨ v 1 , … , v k ⟩ . Vou alternar entre as duas formas nas teorias e exercícios pra vocês não ficarem acostumados com uma só e se esquecerem da outra haha.

Obs2.: o s p a n sempre terá espaços geradores na origem. Podemos perceber isso notando que não há o vetor deslocamento quando fazemos um s p a n de algum conjunto. Apenas aparecem parâmetros multiplicados por vetores.

Espaços Gerados diferentes, só que não

Existe um plano gerado por s p a n 1,0 , 0 , 2,0 , 0 ?

Bom, se fizermos a 1,0 , 0 + b ( 2,0 , 0 ) , podemos ver que estamos apenas somando os múltiplos de vetores na mesma direção e assim não podemos “preencher” o plano. Assim poderíamos resumir esse s p a n a apenas:

s p a n { 1,0 , 0 } ,   o u

s p a n { 2,0 , 0 }

E podemos concluir que:

s p a n 1,0 , 0 = s p a n 2,0 , 0 = s p a n { 1,0 , 0 , 2,0 , 0 }

Isso acontece porque temos um vetor que é combinação linear do outro! (No caso, se trata apenas de dois vetores e podemos dizer que eles apenas são múltiplos). É a mesma ideia da parametrização e das equações redundantes lembra?

Vamos ver outro exemplo com mais vetores.

Se liga nesse espaço gerado ai embaixo:

s p a n 1,0 , 0 , 2,2 , 0 , 0,1 , 0

Reparou que o vetor do meio é:

2,2 , 0 = 2 1,0 , 0 + 2 0,1 , 0

Ou seja, ele é uma C L dos outros dois vetores, então podemos desconsiderar ele do nosso espaço gerado e, portanto, ele não influencia em nada no “formato” do espaço gerado, sacou? Só seguir a mesma ideia de parametrização.

Logo, podemos dizer que:

s p a n 1,0 , 0 , 0,1 , 0 = s p a n 1,0 , 0 , 2,2 , 0 , 0,1 , 0

Então, sempre quando tivermos um vetor que é uma C L dos demais, podemos tirá-lo do espaço gerado.

Vetores pertencentes a um espaço gerado

Ex:

Será que o vetor 0,2 , 3 pertence ao plano s p a n 2,0 , 0 , 0,1 , 1 ?

Como um espaço gerado é a combinação linear de um bando de vetores, podemos mudar a pergunta para: Será que o vetor ( 0,2 , 3 ) é uma combinação linear de 2,0 , 0 , 0,1 , 1 ?

Agora ficou fácil não? Basta fazer:

0,2 , 3 = a 2,0 , 0 + b 0,1 , 1 ⇒

0,2 , 3 = 2 a , b , b ⇒

0 = 2 a ⇒ a = 0 2 = b 3 = b

Viu que encontramos dois valores para b ? Então, quer dizer que o sistema é impossível e não admite solução, ou seja, não tem nenhum valor real para b que satisfaça a equação. Sendo assim, o vetor ( 0,2 , 3 ) não pertence ao espaço gerado.

Ex:

Será que 0,0 , 7 , por exemplo, pertence a s p a n 1,0 , 0 , 0,1 , 0 ? Ou, mais geometricamente, o vetor 0,0 , 7 está contido no plano gerado por 1,0 , 0 , 0,1 , 0 ??

Bom, para isso, ( 0,0 , 7 ) deve ser da forma a 1,0 , 0 + b ( 0,1 , 0 ) . Só que isso é impossível, já que o último componente do vetor deveria ser a ∙ 0 + b ∙ 0 = 0 , quando, na verdade, o último componente é 7 . Logo, ( 0,0 , 7 ) não pertence ao espaço gerado. Podemos perceber que o vetor ( 0,0 , 7 ) não pertence ao plano gerado por 1,0 , 0   e 0,1 , 0 . Tente visualizar!

Ex:

A última aqui pra termina eu juro. Se eu quiser saber se uma reta gerada pelo vetor ( 0,1 , 1 ) pertence ao plano 0,1 , 1 + s p a n 1,0 , 0 , 0,1 , 2 . Repare que se é a reta, estamos nos referindo a s p a n 0,1 , 1 . Caramba como vou verificar se um s p a n pertence ao outro??? Vamos olhar para o vetor diretor, pois se ele pertence ao plano, todos os seus múltiplos também pertencem não é mesmo??

ERRADO!! Olha só:

Vamos olhar para o vetor diretor da reta somente. Quando pensamos que um vetor pertence a um plano, acho que essa é a imagem que vem a sua cabeça:

Se não, muito bom pra você. Mas eu disse nos capítulos anteriores que o vetor é a pontinha da nossa seta, tá lembrado? Sendo assim, quando ocorrer o caso da imagem acima, dizemos que o vetor é paralelo ao plano.

Mas e o vetor deslocamento, ele toca apenas em um ponto do plano, não é mesmo?

E como a ponta da flecha é o vetor, então ele pertence ao plano.

Repare agora outra coisa, o vetor diretor da reta é exatamente o vetor deslocamento do plano! Sendo assim, se tivéssemos testado se 0,1 , 1 ∈ 0,1 , 1 + s p a n 1,0 , 0 , 0,1 , 2 de fato seria verdade, mas como se trata de uma reta, os outros múltiplos também precisam estar dentro do plano!

Mas como ele toca o plano em um ponto apenas, qualquer múltiplo que você multiplique estará aumentando ou diminuindo vetor e ,consequentemente, perfurando ou deixando de tocar no plano, sacou? Então, tome cuidado quando se tratar de espaços deslocados!

Para a sua (ou nossa) alegria,

Quando se tratar de espaços não deslocados, não será necessária essa contarada toda, pois se eles pertencerem serão paralelos ao espaço também, já que ambos tem que passar pela origem. Nunca vai dar pra tangenciar o espaço.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 23 – Fix. 1.10

Determine se é ponto, reta ou plano.

  1. 1,2 , 0,0 , 2,4 , 0,0 + 2,1 , 2,2
  2. 1,2 , 0,0 , 0,1 , 0,0 + 0,0 , 0,0
  3. 1,1 , 1,1 + 0,0 , 0,0
  4. 0,0 , 0,0 + ( 1,1 , 1,1 )
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Letra a)

Podemos ver que dentro do espaço gerado, possui dois vetores que formam um conjunto L D .

Isso por que o segundo vetor é duas vezes o primeiro

2,4 , 0,0 = 2 1,2 , 0,0

Então isso aqui é uma reta.

Letra b)

Já nessa letra, os vetores do espaço gerado são L I , pois não são múltiplos.

Então é um plano no R 4 .

Letra c)

Como temos apenas um vetor não nulo, o espaço gerado por isso é uma reta.

Letra d)

Trata-se deum ponto, pois o espaço gerado pelo vetor nulo não gera nada ;)

Resposta

  1. Reta
  2. Plano
  3. Reta
  4. Ponto

Exercício Resolvido #2

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 24 – Prob 1.15

Determine se:

a   1,2 , 3,5 ∈ s p a n 1,2 , 3,4

b   - 1,0 , 0 ∈ 2,1 , 1 , 3,1 , 1

c   - 1,0 , 2 ∈ 2,1 , 1 , 3,1 , 1

d   R 3 =   s p a n 0,1 , 0 , 1,0 , 1 , 0,0 , 1

e   s p a n 2,1 , 2   = 2 , - 1,2