Equações Cartesianas e Paramétricas

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Teoria

A Parametrização nada mais é do que um outro jeito de escrever equações, como planos e retas! Bora entender melhor como isso funciona?!

Equação Paramétrica da Reta

A equação paramétrica da reta tem essa carinha aqui:

Equação paramétrica da reta.
Equação paramétrica da reta.

Na figura acima temos um exemplo de uma reta parametrizada, ela é composta pelo ponto, um parâmetro e um vetor diretor. Mas o que significa essas coisas?!

  • O Ponto serve para deslocar a reta da origem;
  • O vetor diretor dá a direção da nossa reta
  • O parâmetro é um número real e ele é responsável por gerar a reta!

-Mas como assim o parâmetro gera a reta?! 😖

É porque temos os pontos da nossa reta a medida que vamos mudando o parâmetro. Saca só:

Geração da reta com mudança de parâmetro
Geração da reta com mudança de parâmetro

E assim temos a nossa reta:

Reta
Reta

📢 Clique para ver mais:

Agora que a gente sabe o que é parametrização, bora ver como parametrizar! Pra começar com tudo, se liga nesse vídeo que o Responde Aí preparou pra você! 🧡

Como Parametrizar uma Reta?

Bora aprender na prática com um exemplo?! Vamos determinar a parametrização da reta em que contém o ponto e é paralela ao vetor .

Qualquer reta parametrizada, independente de estar no , vai ter esse formato aqui:

Reta parametrizada: Fórmula geral
Reta parametrizada: Fórmula geral

Onde é o ponto, o parâmetro e o vetor diretor. O nosso problema já deu o ponto e ela nos diz que a reta é paralela ao vetor , ou seja, vai ter a mesma direção. Portanto só precisamos substituir os dados e ficamos com:

Reta parametrizada
Reta parametrizada

Parametrização de um Plano

Um plano é formado pelo ponto mais dois vetores diretores não nulos, sua forma geral é:

Agora vamos ver como parametrizar um plano! Primeiro calculamos os vetores diretores:

Repara que eu subtraí do mesmo vetor? É que assim eu estou garantindo que ambos estão saindo da mesma origem. Então o nosso vetor deslocamento vai ser o próprio . Sendo assim nosso plano fica:

Parametrização a partir de vetores e pontos

Vamos parametrizar o plano que passa pelos pontos

Parametrização a partir de equações cartesianas

Vamos considerar a seguinte equação referente a um plano no :

Para passar ela para sua forma paramétrica, primeiro isolamos as variáveis:


Agora vamos substituir num vetor genérico do espaço, no caso o :


Os nossos parâmetros serão y e z, logo:

Ou seja, a parametrização para o plano é:


Agora vamos praticar com exercícios?


Como Parametrizar uma Reta?

Parametrização de um Plano

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine a parametrização para o plano (em R 3 ):

a   x + y - z = 2

Determine uma parametrização para as retas (em R 3 )

b   z - x = 1 x + y + z = 0

c   x + y = 1 x - y = 1

Passo 1

Letra ( a )

Como temos uma equação, vamos ter que isolar alguma variável, no caso, irei isolar o z :

z = x + y - 2 ⇒

x , y , z = x , y , x + y - 2 = 0,0 , - 2 + x 1,0 , 1 + y 0,1 , 1 ⇒

0,0 , - 2 + x 1,0 , 1 + y 0,1 , 1 ,   x , y ∈ R

Passo 2

Letra ( b )

Para começar devemos resolver o sistema achando as soluções:

z - x = 1 ⇒ z = 1 + x x + y + z = 0 ⇒ x + y + 1 + x = 0 ⇒ y = - 2 x - 1

x , y , z = x , - 2 x - 1,1 + x = 0 , - 1,1 + x 1 , - 2,1

Assim a parametrização é:

0 , - 1,1 + x 1 , - 2,1 ,   x ∈ R

Letra ( c )

Repetindo os mesmos passos da letra ( b ) :

x + y = 1 ⇒ x = 1 - y ⇒ x = 1 x - y = 1 ⇒ 1 - y - y = 1 ⇒ - 2 y = 0 ⇒ y = 0

Ihhh, então só vai dar um ponto?? Não!!!! Não se esqueça do z que não apareceu no sistema:

x , y , z = 1,0 , z = 1,0 , 0 + z 0,0 , 1

Assim a parametrização é:

1,0 , 0 + z 0,0 , 1 ,   z ∈ R

Resposta

a   0,0 , - 2 + x 1,0 , 1 + y 0,1 , 1 ,   x , y ∈ R

b   0 , - 1,1 + x 1 , - 2,1 ,   x ∈ R

c   1,0 , 0 + z 0,0 , 1 ,   z ∈ R

Exercício Resolvido #2

Determine a parametrização para a reta (em R 3 ):

a   Que contém o ponto ( - 1,2 , - 1 ) e é paralela ao vetor ( 0,0 , 1 )

b   Que pertence ao plano x - y = z - 1 e ao plano 3 x - y + 1 = z

Determine uma parametrização para o plano (em R 3 ) que contém o(s) ponto(s):

c   1,0 , 1 ,   0,1 , 1 ,   - 1,0 , 0

d   3,0 , - 1 e é simultaneamente paralelo aos vetores 2 , - 1,1 e 0,1 , - 1

e   ( - 3,1 , 0 ) e a reta parametrizada por x = t + 1 y = 1 - t z = t - 1

Passo 1

Letra ( a )

Como nós já temos o vetor e o ponto por onde a reta passa, basta montar a parametrização:

- 1,2 , - 1 + t 0,0 , 1 ,   t ∈ R

Letra ( b )

Como pertencem aos dois planos, basta resolver o sistema com as duas equações cartesianas (ou seja, vamos achar a interseção dos dois planos):

x - y = z - 1 ⇒ z = x - y + 1 ⇒ z = 1 - y 3 x - y + 1 = z ⇒ 3 x - y + 1 = x - y + 1 ⇒ 2 x = 0 ⇒ x = 0

x , y , z = 0 , y , 1 - y = 0,0 , 1 + y 0,1 , - 1

E assim a equação paramétrica é:

0,0 , 1 + y 0,1 , - 1 ,   y ∈ R

Passo 2

Letra ( c )

Como temos os pontos, basta definirmos os vetores diretores, com uma origem para os mesmos vetores:

v = 1,0 , 1 - 0,1 , 1 = 1 , - 1,0

u = - 1,0 , 0 - 0,1 , 1 = - 1 , - 1 , - 1

Assim nossa parametrização será:

0,1 , 1 + t 1 , - 1,0 + s - 1 , - 1 , - 1 ,   t , s ∈ R

Letra ( d )

Como já temos os vetores e o ponto, basta montar a parametrização:

3,0 , - 1 + t 2 , - 1,1 + s 0,1 , - 1 ,   s , t ∈ R

Passo 3

Letra ( e )

Podemos ver que a parametrização da reta é:

t + 1 ,   1 - t , t - 1 = 1,1 , - 1 + t 1 , - 1,1

Sendo assim, vemos que é uma reta deslocada da origem. Como ela já tem um vetor diretor, para formar um plano basta achar o segundo. Podemos interpretar o problema agora como um plano que passa pelos pontos 1,1 , - 1 ,   ( - 3,1 , 0 ) e paralelo ao vetor ( 1 , - 1,1 ) :

Sendo assim, vamos achar o segundo vetor diretor:

u = 1,1 , - 1 - - 3,1 , 0 = 4,0 , - 1

Assim nossa parametrização fica:

- 3,1 , 0 + t 4,0 , - 1 + s 1 , - 1,1 ,   t , s ∈ R

Resposta

a   - 1,2 , - 1 + t 0,0 , 1 ,   t ∈ R

b   0,0 , 1 + y 0,1 , - 1 ,   y ∈ R

c   0,1 , 1 + t 1 , - 1,0 + s - 1 , - 1 , - 1 ,   t , s ∈ R

d   3,0 , - 1 + t 2 , - 1,1 + s 0,1 , - 1 ,   s , t ∈ R

e   - 3,1 , 0 + t 4,0 , - 1 + s 1 , - 1,1 ,   t , s ∈ R

Exercício Resolvido #3

Determine equações cartesianas para retas (em R 2 ):

a   x = 2 t - 1 y = - t

b   x = 5 t - 1 y = 2 t

Determine equações cartesianas para as retas (em R 3 ):

c x = 2 t - 1 y = - t z = 3 t + 2

d x = 2 y = - 3 z = t

Passo 1

Letra ( a )

Bom, o sistema já está montado em todas as letras, então só precisamos isolar os parâmetros.

x = 2 t - 1 ⇒ x = - 2 y - 1 y = - t ⇒ t = - y

A equação cartesiana é x = - 2 y - 1

Letra ( b )

x = 5 t - 1 ⇒ x = 5 y 2 - 1 y = 2 t ⇒ t = y 2

A equação cartesiana é x = 5 y 2 - 1

Passo 2

Em todas as letras só é necessário isolar os parâmetros e resolver o sistema, logo vamos fazer isso.

Letra c

x = 2 t - 1 ⇒ x = - 2 y - 1 y = - t ⇒ t = - y z = 3 t + 2 ⇒ z = - 3 y + 2

As equações cartesianas são:

x = - 2 y - 1 z = - 3 y + 2

Letra d

x = 2 y = - 3 z = t

Como não conseguimos substituir o parâmetro t , z pode assumir qualquer valor e, portanto as equações cartesianas são:

x = 2 y = - 3

Resposta

a   x = - 2 y - 1

b   x = 5 y 2 - 1

c x = - 2 y - 1 z = - 3 y + 2

( d ) x = 2 y = - 3

Exercício Resolvido #4

Determine equações cartesianas para os planos (em R 3 ):

  1. x = s + t y = s - t z = 4 s - 2 t - 2
  2. x = t y = 1 z = s
  3. x = 2 s + 2 y = t - s z = 4 s - 2 t + 1
  4. x = t y = t z = s

Passo 1

Letra a)

Isolando os parâmetros e substituindo nas outras equações:

x = s + t ⇒ t = x - s ⇒ t = x - y 2 - x 2 ⇒ t = x 2 - y 2 y = s - t ⇒ y = s - x + s ⇒ y + x = 2 s ⇒ s = y + x 2 z = 4 s - 2 t - 2 ⇒ z = 2 y + 2 x - x + y - 2 ⇒ z = 3 y + x - 2

Assim, a equação cartesiana é:

z = 3 y + x - 2

Letra b)

Isolando os parâmetros e substituindo nas outras equações:

x = t y = 1 z = s

Como não conseguimos substituir s e nem t , z e x podem assumir quaisquer valores e, portanto, a equação cartesiana é:

y = 1

Passo 2

Letra c)

Isolando os parâmetros e substituindo nas outras equações:

x = 2 s + 2 ⇒ 2 s = x - 2 ⇒ s = x 2 - 1 y = t - s ⇒ y = t - x 2 + 1 ⇒ t = y + x 2 - 1 z = 4 s - 2 t + 1 ⇒ z = 2 x - 4 - 2 y - x + 2 + 1 ⇒ z = x - 2 y - 1

Assim, a equação cartesiana é:

z = x - 2 y - 1

Letra d)

Isolando os parâmetros e substituindo nas outras equações:

x = t ⇒ t = x y = t ⇒ y = x ⇒ y - x = 0 z = s

Como não conseguimos substituir s , z pode assumir qualquer valor e, portanto, a equação cartesiana é:

y - x = 0

Resposta

  1. z = 3 y + x - 2
  2. y = 1
  3. z = x - 2 y - 1
  4. y - x = 0

Exercício Resolvido #5

Considere as afirmativas a seguir:

I – O espaço 1 ,   0 ,   2 + t ( 3 ,   7 ,   3 ) representa uma reta.

II – O espaço 3 ,   7 ,   6 + s 2 ,   3 ,   4 + t ( 6 ,   9 ,   12 ) representa um plano.

III – A parametrização da reta y = 2 x + 4 pode ser dada por 0 ,   4 + t ( 1 ,   2 )

Estão corretas apenas as afirmativas:

a) I

b) II

c) III

d) I e II

e) I e III

f) II e III

g) I, II e III

Passo 1

Bora analisar as afirmativas:

I – Verdadeira. Lembra que a gente viu que quando tem apenas um vetor com parâmetro (no caso, ( 3 ,   7 ,   3 ) ) é porque se trata de uma reta? :D

II – Vamos tomar cuidado com esse caso. A gente tem 2 vetores parametrizados, beleza, vimos que isso se trata de um plano então. Opa! Mas os 2 vetores são múltiplos, repara que o segundo vetor é 3 vezes o primeiro. Então poderíamos escrever esse espaço assim

3 ,   7 ,   6 + s 2 ,   3 ,   4 + 3 t ( 2 ,   3 ,   4 )

3 ,   7 ,   6 + ( s + 3 t ) ( 2 ,   3 ,   4 )

Ou seja, se trata de apenas um vetor hehe então é uma reta e a afirmativa é falsa!

III – Vamos parametrizar essa reta. O y já está isolado, então vamos igualar a um vetor genérico:

x ,   y = ( x ,   2 x + 4 )

x ,   y = x ,   2 x + ( 0 ,   4 )

x ,   y = x 1 ,   2 + ( 0 ,   4 )

Trocando x por t :

x ,   y = 0 ,   4 + t ( 1 ,   2 )

Obaa, então a afirmativa está certa :D

Então a alternativa correta é a letra E ;)

Resposta

e) I e III

Exercício Resolvido #6

Considere a reta r : { 1,2 + t ( 4 ,   6 ) | t ∈ R } .

Verifique se ( - 5 ,   2 ) ∈ r .

Passo 1

Antes de ver se um ponto pertence a uma reta, temos que achar o ponto genérico dessa reta, pra isso, primeiro vamos multiplicar o vetor parametrizado por t :

1 ,   2 + ( 4 t ,   6 t )

Agora é só somar:

( 1 + 4 t ,   2 + 6 t )

Passo 2

Ok, tendo o ponto genérico, vamos igualar a ( - 5 ,   2 ) e ver se existe um t que satisfaça nossa condição:

1 + 4 t ,   2 + 6 t = ( - 5 ,   2 )

Igualando as coordenadas:

1 + 4 t = - 5   ( i )

2 + 6 t = 2   ( i i )

Passo 3

Isolando t na equação ( i ) :

4 t = - 6

t = - 6 4 = - 3 2

Agora, isolando t na equação ( i i )

6 t = 0

t = 0

Opa, em cada equação obtivemos um valor diferente para o parâmetro t , isso significa que não existe um t que faça a reta passar por ( - 5 ,   2 ) , e logo, esse ponto não pertence à reta :/

Resposta

Não pertence.

Exercício Resolvido #7

Dada a reta r :   y = 4 x - 1 z = x + 2 , dê sua equação paramétrica (com parâmetro t ) e determine o t que leva a reta aos seguintes pontos:

a) ponto ( 2 ,   7 ,   4 )

b) origem

Passo 1

Antes de tudo, vamos parametrizar a reta beleza?

Somando as duas equações:

y + z = 5 x + 1

Humm, vamos isolar o y pode ser? Mas se você quiser pode isolar o x ou o z também hehe

y = 5 x - z + 1

Da segunda equação, temos que z = x + 2 , vamos substituir isso na equação acima:

y = 5 x - x + 2 + 1

y = 5 x - x - 2 + 1

y = 4 x - 1

Passo 2

Beleza, agora chegou a hora de igualar a um vetor genérico. Temos que

x ,   y ,   z = ( x ,   4 x - 1 ,   x + 2 )

(repare que escrevemos y e z em função de x para igualarmos. Isso significa que x será o nosso parâmetro).

Separando os x ' s em um vetor e os números em outro:

x ,   y ,   z = x ,   4 x ,   x + ( 0 ,   - 1 ,   2 )

Agora vamos tirar o x pra fora:

x ,   y ,   z = x 1 ,   4 ,   1 + ( 0 ,   - 1 ,   2 )

Transformando x em um parâmetro t , como pede o enunciado:

x ,   y ,   z = 0 ,   - 1 ,   2 + t ( 1 ,   4 ,   1 )

Aeee, parametrizamos nossa reta :D Agora vamos pros próximos passos!

Passo 3

a) Queremos saber em qual valor do parâmetro t a nossa reta vai passar pelo ponto ( 2 ,   7 ,   4 ) certo? Primeiro, vamos achar um ponto genérico da nossa reta, pra isso, temos que primeiro multiplicar o vetor parametrizado pelo parâmetro, assim:

0 ,   - 1 ,   2 + ( 1 t ,   4 t ,   1 t )

Agora, vamos somar tudo. Assim, um ponto genérico da nossa reta (ou seja, qualquer ponto dela pode ser escrito assim para diferentes valores de t ) é:

( 1 t ,   - 1 + 4 t ,   2 + t )

Agora bora igualar esse ponto genérico ao ponto que queremos:

1 t ,   - 1 + 4 t ,   2 + t = ( 2 ,   7 ,   4 )

Igualando cada coordenada, temos:

1 t = 2   ( i )

- 1 + 4 t = 7   ( i i )

2 + t = 4   ( i i i )

Em ( i ) , temos que t = 2 . Mas precisamos substituir isso em ( i i ) e ( i i i ) também para termos certeza que esse ponto existe na reta:

- 1 + 4.2 = 7 → 7 = 7

2 + 2 = 4 → 4 = 4

Boaaa, procede pras duas equações, logo, realmente com t = 2 temos o ponto desejado :D

Passo 4

b) Aqui, o esquema é o mesmo do passo anterior, vamos igualar o ponto genérico à origem, ou seja, ( 0 ,   0 ,   0 ) :

1 t ,   - 1 + 4 t ,   2 + t = ( 0 ,   0 ,   0 )

Igualando as primeiras coordenadas, temos que 1 t = 0 .

Mas se igualarmos as segundas e as terceiras coordenadas e então substituirmos t = 0 , teremos

- 1 + 4.0 = 0   ( f a l s o )

2 + 0 = 0   ( f a l s o )

Poxa, então a origem não pertence à reta, pois não existe um t tal que o ponto genérico da reta se iguale a ( 0 ,   0 ,   0 ) :/

Resposta

x ,   y ,   z = 0 ,   - 1 ,   2 + t ( 1 ,   4 ,   1 )

a) t = 2

b) A reta não passa pela origem.

Exercício Resolvido #8

Dado o plano π :   x + 2 y + 4 z + 3 = 0 , dê sua equação paramétrica (com parâmetros s = y e t = z ) e determine o s e o t que levam o plano ao ponto ( 1 ,   4 ,   - 3 ) .

Passo 1

Vamos parametrizar esse plano.

Isolando o x (já que o enunciado fala que y e z serão nossos parâmetros)

x = - 2 y - 4 z - 3

Agora vamos igualar a ( x ,   y ,   z ) :

x ,   y ,   z = ( - 2 y - 4 z - 3 ,   y ,   z )

(repara que como se trata de um plano, temos 2 parâmetros: y e z )

Separando y , z e os números:

x ,   y ,   z = - 2 y ,   y ,   0 + - 4 z ,   0 ,   z + ( - 3 ,   0 ,   0 )