Equações Cartesianas e Paramétricas

Teoria Completa

Introdução

Você já deve estar familiarizado com as equações cartesianas não é mesmo? Bom, vamos relembrar outro jeito de escrever planos e retas. Esse jeito é a parametrização e ele vai ser muito útil pra gente daqui pra frente. Antes de tudo é bom que você saiba que uma parametrização é constituída de ponto + vetor diretor, beleza? Esse último pode existir mais de um, ou seja, uma parametrização pode ter mais de um vetor diretor.

Mas ai você se pergunta, por que parametrização?? É porque esses vetores diretores vão estar acompanhados sempre de parâmetros reais. Sente o exemplo abaixo:

Para a reta y = x - 1 , a parametrização é:

r = 0 , - 1 + t 1,1 t ∈ R }

Bom até agora o que eu fiz ai em cima foi escrever um conjunto, de equação não tem nada. Mas dizemos que isso é a parametrização da reta y = x - 1 . Nós agora conseguimos representar todos os vetores da equação cartesiana apenas com esse parâmetro real, gostou? Em cálculo utilizamos isso também, se você ainda não viu isso lá é só esperar.

Bom conseguiu ver ai na nossa parametrização quem são os pontos e os vetores diretores??

O ponto vai ser sempre o cara que não possui parâmetro (ou escalar real) multiplicando e o vetor diretor sempre o cara que tem um escalar real (parâmetro) multiplicando.

Então no nosso caso, o vetor ( 0 , - 1 ) é o ponto e ( 1,1 ) o vetor diretor.

Tá, agora você pensa, como com um vetor e um ponto vamos conseguir criar uma reta inteira?? A mágica toda acontece com aquele t que você tá vendo ali em cima. Ele não é uma constante. O conjunto é para qualquer t ∈ R . Isso quer dizer que você tem que ir substituindo todos os valores possíveis para t ali em cima. Ou seja, se você pegar todos os vetores possíveis:

0 , - 1 + 0 1,1 = ( 0 , - 1 )

0 , - 1 + 1 1,1 = ( 1,0 )

0 , - 1 + 2 1,1 = ( 2,1 )

Assim você vai ter a reta toda! Mas não pode esquecer o seu ponto ao atribuir os valores para o t até porque ele faz parte da reta. Outra coisa também é que vamos começar a chamar o ponto agora de vetor deslocamento. Porque ele é o responsável por “tirar” essa reta da origem (Aqui em álgebra nós gostamos das coisas na origem, lembrem-se origem é sempre bom). Então, o que vamos fazer é criar infinitos vetores partindo de ( 0 , - 1 ) e juntando todos eles temos a reta :D. Olha o desenho ai embaixo pra dar uma clareada:

O que eu fiz ali foi traçar os vetores diretores a partir de ( 0 , - 1 ) . O conjunto desses pontos vai dar a reta que desejamos :D.

Reta e plano

Só vou falar duas coisas rapidinho. Te mostrei ali em cima um exemplo da parametrização da reta né? Bom, QUALQUER RETA (seja no R 2 ,   R 3 ,   R 4 ) vai ter o formato da parametrização ali em cima. Mas como assim:

Uma reta é formado por: Ponto +   1 vetor (não nulo) diretor:

r = w + t v t ∈ R }

Um plano é formado por: Ponto +   2 vetores (não nulos) diretores:

π = w + t v + s u t , s ∈ R }

Mesma ideia da reta. Isso vale para o R n . Só que tem mais um probleminha. E se por exemplo, v = ( 1,0 , 0 ) e u = ( 2,0 , 0 ) Esses dois vetores formam um plano?

Repara que se isso acontecer, teremos:

w + t 1,0 , 0 + s 2,0 , 0 ⇒

w + t 1,0 , 0 + 2 s 1,0 , 0 ⇒

w + t + 2 s 1,0 , 0

Repara que no fundo era só um único vetor? Podemos tratar o novo parâmetro ali em cima por:

c = t + 2 s ,   t , s ∈ R

E sendo assim, trata-se apenas de uma reta mesmo.

Então, podemos concluir que esses vetores não podem ser uma C L do outro sacou? Se fosse um espaço gerado por 3 vetores (o que chamamos de hiperplano, mas não vamos dar muita atenção aqui) seria a mesma coisa! Nenhum deles pode ser combinação linear do outro, tendeu?

Só isso mesmo XD.

Como parametrizar?

Até agora, só falei mesmo do conceito de parametrização e o que são cada coisa. Mas como de fato montamos da equação paramétrica da reta ou plano?

Vamos dividir em dois casos:

Parametrizando a partir de vetores e pontos:

Se eu te falo que quero a parametrização do plano, que passe pelos pontos 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 ,   1,1 , 1 , como faço isso?

Exemplo: Lembra que um plano é formado de Ponto +   2 vetores diretores???

Então, precisamos desses dois vetores diretores aí. Lembra do ensino médio como se calcula um vetor? Não é extremidade menos origem? Então, vamos achar esses vetores a partir disso!

v = 1,0 , 0 - 0,1 , 0 = 1 , - 1,0

u = 1,1 , 1 - 0,1 , 0 = 1,0 , 1

Repara que eu subtraí do mesmo vetor? É que assim eu estou garantindo que ambos estão saindo da mesma origem. Então o nosso vetor deslocamento w vai ser o próprio ( 0,1 , 0 ) .

Sendo assim nosso plano fica:

0,1 , 0 + t 1 , - 1,0 + s 1,0 , 1 , s , t ∈ R

Pra reta é a mesma coisa, mas vai ser um único vetor diretor apenas. Outra conclusão que podemos tirar é que com 3 pontos temos um plano e com 2 uma reta.

Parametrizando a partir de equações cartesianas:

Nós sabemos que esta equação é referente a um plano no R 3 :

x + y + z = 0

Não é mesmo? Mas e se eu quisesse passar isso para a forma paramétrica??

Basta você:

Passo 1: Isolar as variáveis:

x + y + z = 0 ⇒

x = - y - z

Obs.: Mas e se eu quisesse isolar as outras y ou z ??? Daria no mesmo!! Existem infinitos jeitos de se parametrizar espaços, sejam planos, retas e sei lá o que. Então se a sua resposta não bater com o gabarito não se espante, pois não necessariamente ela está errada!

Passo 2: Substituir num vetor genérico do espaço, no caso o R 3 :

x , y , z = - y - z , y , z = y - 1,1 , 0 + z - 1,0 , 1

Agora você pode deixar em função de y , z (pois eles são seus parâmetros agora) ou substituir por outras letras e deixar mais bonitinho.

y = t

z = s

π = { t - 1,1 , 0 + s ( - 1,0 , 1 ) | t , s ∈ R }

Ou seja, a parametrização para o plano dado no enunciado é:

t - 1,1 , + s - 1,0 , 1 ,   t , s ∈ R

Repara aí também, que dessa vez o plano não tem vetor deslocamento e, portanto, está na origem!

Obs.: Como eu comentei lá em cima, na álgebra a gente gosta muito de coisas na origem haha. Então na prática você normalmente vai ver planos e retas sem esse vetor deslocamento mesmo ;)

Passando de parametrizações para equações cartesianas

Hora de fazermos o processo inverso! Vamos pegar essa parametrização aqui:

t 1,0 , 1

Como achamos as equações cartesianas disso ai?

Bom o primeiro passo, é igualar a um vetor genérico do espaço:

x , y , z = t , 0 , t

Igualando as coordenadas:

x = t y = 0 z = t

Agora, você vai isolar todos os parâmetros, no caso só temos o t , e ir substituindo aonde der:

x = t y = 0 z = t ⇒ z = x ⇒ z - x = 0

E depois é só pegar o que sobrou sem os parâmetros, no caso:

y = 0 z - x = 0

Pronto, essas duas aí em cima são nossas equações cartesianas. Sempre podemos ter mais de uma equação, então não fique nervoso se surgirem duas ou três equações no seu problema.

Vamos fazer um outro exemplo:

s 1,0 , 0 + t 0,0 , 1

Primeiro passo é igualar a um vetor genérico:

x , y , z = s 1,0 , 0 + t 0,0 , 1

Segundo é igualar as coordenadas:

x = s y = 0 z = t

Repararam que não dá para substituir os parâmetros s , t ?? Isso quer dizer, que x e z podem assumir quaisquer valores, uma vez que s e t também podem. Sendo assim, nossa equação fica apenas:

y = 0

OBS: Lembre-se!! Não é porque x e z não aparecem na equação que eles não possuem valor! Se a variável valer zero, você necessitará de uma equação para ela, assim como estamos fazendo com o y no caso.

Vamos fazer esse último exemplo para acabar:

Ache a equação cartesiana da parametrização abaixo:

1,1 , 4,0 + t 1,0 , 2,0 + s 1,1 , 0,0

Repare que agora o espaço está deslocado e estamos no R 4 .

Passo 1: Igualar a um vetor genérico:

x , y , z , w = 1,1 , 4,0 + t 1,0 , 2,0 + s 1,1 , 0,0 ⇒

x , y , z , w = 1 + t + s , 1 + s , 4 + 2 t , 0

Passo 2: Iguale as coordenadas e isole os parâmetros.

x = 1 + t + s ⇒ x = 1 + z 2 - 2 + y - 1 ⇒ x = z 2 + y - 2 y = 1 + s ⇒ s = y - 1 z = 4 + 2 t ⇒ 2 t = z - 4 ⇒ t = z 2 - 2 w = 0

Passo 3: Pegue somente as equações sem os parâmetros:

x = z 2 + y - 2 w = 0

Generalizando...

Falamos da parametrização do plano e da reta, mas acontece que não são só esses espaços que podem ser representados com uma forma paramétrica. Outros espaços, de dimensões maiores, também têm esse privilégio hahaha.

A parametrização é feita da mesma forma, com o ponto, parâmetros e vetores diretores, a diferença vai ser a quantidade desses parâmetros e vetores diretores, que vai ser igual a dimensão do espaço representado. Ou seja, um espaço de dimensão   3 , por exemplo, terá 3 parâmetros na equação paramétrica e junto com eles, 3 vetores diretores.

Bom, acho que você já entendeu, mas vou fazer um passo a passo para você se guiar melhor.

Passo 1: Igualar a um vetor genérico do espaço em questão.

Passo 2: Somar tudo e igualar coordenada a coordenada, montando o sistema linear.

Passo 3: No sistema linear, isole os parâmetros e substitua nas outras equações se possível.

Passo 4: Pegue somente as equações SEM os parâmetros originais. Essas serão suas equações cartesianas.

É isso, bons exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 23 – Prob. 1.7

Determine a parametrização para o plano (em R 3 ):

a   x + y - z = 2

Determine uma parametrização para as retas (em R 3 )

b   z - x = 1 x + y + z = 0

c   x + y = 1 x - y = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Letra ( a )

Como temos uma equação, vamos ter que isolar alguma variável, no caso, irei isolar o z :

z = x + y - 2 ⇒

x , y , z = x , y , x + y - 2 = 0,0 , - 2 + x 1,0 , 1 + y 0,1 , 1 ⇒

0,0 , - 2 + x 1,0 , 1 + y 0,1 , 1 ,   x , y ∈ R

Passo 2

Letra ( b )

Para começar devemos resolver o sistema achando as soluções:

z - x = 1 ⇒ z = 1 + x x + y + z = 0 ⇒ x + y + 1 + x = 0 ⇒ y = - 2 x - 1

x , y , z = x , - 2 x - 1,1 + x = 0 , - 1,1 + x 1 , - 2,1

Assim a parametrização é:

0 , - 1,1 + x 1 , - 2,1 ,   x ∈ R

Letra ( c )

Repetindo os mesmos passos da letra ( b ) :

x + y = 1 ⇒ x = 1 - y ⇒ x = 1 x - y = 1 ⇒ 1 - y - y = 1 ⇒ - 2 y = 0 ⇒ y = 0

Ihhh, então só vai dar um ponto?? Não!!!! Não se esqueça do z que não apareceu no sistema:

x , y , z = 1,0 , z = 1,0 , 0 + z 0,0 , 1

Assim a parametrização é:

1,0 , 0 + z 0,0 , 1 ,   z ∈ R

Resposta

a   0,0 , - 2 + x 1,0 , 1 + y 0,1 , 1 ,   x , y ∈ R

b   0 , - 1,1 + x 1 , - 2,1 ,   x ∈ R

c   1,0 , 0 + z 0,0 , 1 ,   z ∈ R

Exercício Resolvido #2

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 23 – Prob. 1.5

Determine a parametrização para a reta (em R 3 ):

a   Que contém o ponto ( - 1,2 , - 1 ) e é paralela ao vetor ( 0,0 , 1 )

b   Que pertence ao plano x - y = z - 1 e ao plano 3 x - y + 1 = z

Determine uma parametrização para o plano (em R 3 ) que contém o(s) ponto(s):

c   1,0 , 1 ,   0,1 , 1 ,   - 1,0 , 0

d   3,0 , - 1