Equações Cartesianas

Teoria Completa

Introdução

Bom, vamos falar um pouco de equações cartesianas. Primeiramente o que é uma equação cartesiana??? Bom é aquela que você viu a vida toda na escola:

x + 3 y = 2

Isso é um exemplo de equação cartesiana. Tá, mas pra que isso é importante aqui em álgebra linear?? Vamos ver!

Pontos, retas e planos são os espaços que nós mais trabalhamos aqui em álgebra e merecem uma atenção especial. E o que isso tem a ver com equações cartesianas?? É exatamente o que vamos ver! Sente só.

Primeiro preciso que você tenha uma “intuição” de dimensão. Não vamos ver isso muito agora, mas mais a frente veremos a sua definição rigorosa e chata. Tá, vamos dizer que dimensão seria o “tamanho” do espaço e vamos representá-la por um número natural entendeu? Ou seja, não me venha falar que um plano tem dimensão 2,5 sacou? Nem dimensão negativa por favor haha. Bom, entendendo isso, podemos continuar.

Dizemos que um(a):

  • Ponto – Possui dimensão 0
  • Reta – Possui dimensão 1
  • Plano – Possui dimensão 2

Isso tudo independente do espaço em que você está situado ( R ,   R 2 ,   R 3 ,   R 4 ,...). Show?

Além disso também dizemos que:

  • Dimensão do R 2 → dim ⁡ R 2 = 2
  • Dimensão do R 3 → dim ⁡ R 3 = 3
  • Dimensão de R n → dim ⁡ R n = n

E como podemos representá-los? Com as equações cartesianas! Mas cuidado que depende do espaço que você está. É, pois é, chatão isso.

Variáveis Livres e Variáveis Dependentes

Mas antes de vermos como representar cada uma dessas coisas em qualquer espaço, deixa eu te explicar o que é uma variável livre e dependente! Isso vai facilitar muito sua vida!

Olha essa equação:

x + y + z = 1

Isto caracteriza um plano no R 3 né? Podemos isolar o x :

x = 1 - y - z

No caso, poderíamos ter isolado qualquer outra, mas escolhi o x . Percebe que o x não é livre, ele depende dos valores de y e z correto? Então, chamamos x de variável dependente, e y   e   z de variáveis livres. Sacou?

Outro exemplo no R 3

y = a x + b

Estamos restringindo apenas a variável y (pois botamos y em função de x )! Mas Ainda falta a variável z ! Então, para um sistema com esta única equação, ainda podemos escolher livremente z e x .

E que lição que tiramos disso? Não é porque uma variável não está no sistema, que o seu valor é automaticamente zero. Não esquece disso não em!

E assim, temos uma variável dependente e duas variáveis livres.

OBSERVAÇÃO: Cuidado que essa equação não representa uma reta no R 3 !

Repara que se fosse no R 2 teríamos uma variável livre e uma variável dependente (já que no R 2 não existe coordenada z pra ficar livre)!

Nos dois exemplos ali em cima se somarmos o número de variáveis livres e dependentes será sempre igual a 3 porque nos exemplos nós estamos no R 3 . Então a soma do número de variáveis livres e dependentes é sempre igual a dimensão do espaço! Se liga:

n o v a r i a ´ v e i s   l i v r e s + n o v a r i a ´ v e i s   d e p e n d e n t e s = dim ⁡ R n ⇒

n o v . l . + n o v . d . = dim ⁡ R n

Podemos também relacionar outras duas coisas:

  • O número de variáveis livres é igual à dimensão do espaço formado.
  • O número de variáveis dependentes é igual ao número de equações cartesianas.

Esses dois pontos aí em cima são importantíssimos pra esse curso! Então tome um tempo pra internalizar isso ai haha.

Com essa equação mágica podemos entender porque uma reta no R 3 necessita de duas equações cartesianas né? Como a dimensão da reta é 1 ela tem que ter uma variável livre e assim duas variáveis dependentes, que por sua vez, duas equações cartesianas.

Por isso tem aquela observação bem grande lá em cima!

Como falamos, a equação y = a x + b   no R 3 tem uma variável dependente (y) e duas livres (x e z), logo a dimensão do espaço formado é 2. Portanto essa equação no R 3 representa um plano, que é o espaço de dimensão igual a 2 =)

Obs.: Gente, não se esqueçam disso de jeito nenhum! Se precisarem façam uma tatuagem, amarrem uma fitinha no dedo, o que acharem melhor pra não esquecerem que o número de variáveis livres é igual à dimensão do espaço formado! Essa deve ser uma das frases mais importantes do curso e vamos usar o tempo todo para analisar problemas mais à frente.

Equações cartesianas

Agora podemos dar uma olhada em como representar um ponto, uma reta em um plano nos vários espaços que temos por aí!

Para o R 2 :

Ponto: No R 2 um ponto é definido por duas retas não é mesmo? Por exemplo, são necessários as retas x = 5 e y = 2 para determinar o ponto ( 5,2 ) não é mesmo? Lembrando que as equações das retas são:

x = 5 y = 2

Um ponto tem dimensão 0 , então precisamos de 0 variáveis livres. Como estamos no R 2 , teremos 2 variáveis dependentes e portanto 2 equações! Por isso todo ponto precisará de 2 equações para ser definido no R 2 !

Reta: Desde o ensino médio sabemos que a equação da reta é dada por y = a x + b no R 2 né?

De novo nossa equação mágica! A reta tem dimensão 1 , então precisamos de 1 variável livre. Como estamos no R 2 isso nos deixa com 1 variável dependente, ou seja, 1 equação.

Plano: Bom, um plano no R 2 é o próprio R 2 , sem nenhuma restrição. Ou seja, precisamos de 2 variáveis livres, o que nos deixa com 0 variáveis dependentes, então 0 equações.

OBS: Não confunda o R 2 com um plano do R 3 ! O R 2 não é equivalente ao plano x y ( z = 0 ) do R 3 ! O plano x y no R 3 é um conjunto de pontos de 3 coordenadas (mesmo que a última seja zero), enquanto no R 2 são conjunto de pontos de duas coordenadas! To avisando porque essa confusão é muito comum mesmo! Rola até questão de prova explorando essa confusão que a galera costuma fazer.

Para o R 3 :

Ponto: No R 3 precisamos de três informações bem definidas para um ponto, por exemplo:

x = 1 y = 2 z = 3

Mesmo raciocínio do ponto no R 2 ! Um ponto tem dimensão 0 , então temos 0 variáveis livres. Só que como estamos no R 3 isso quer dizer que teremos 3 variáveis dependentes, então 3 equações!

Reta: Essa não é tão intuitiva quanto as outras né? Mas com nossa fórmula fica moleza! Olha, uma reta tem dimensão 1 ! Então precisamos de 1 variável livre né? Isso nos deixa com 2 variáveis dependentes, então 2 equações!

Plano: Bom, não sei se você já viu em cálculo, mas a equação cartesiana do plano é dada por:

a x + b y + c z = d

O que era de se esperar né? Uma plano tem 2 dimensões, então precisamos de 2 variáveis livres. Isso nos deixa com 1 variável dependente, então 1 equação.

Obs.: Talvez você tenha se perguntado o que temos com nenhuma equação cartesiana no R 3 , ou talvez não mas eu vou falar assim mesmo. Bom, nesse caso temos um hiperplano de dimensão 3 . Qualquer coisa com dimensão maior que 2 vai ser um hiperplano de dimensão n . Aparentemente alguém ficou com preguiça de continuar inventando nomes :p

Lembrando que não dá pra termos um hiperplano de dimensão 3 no R 2 ! O R 2 limita o “tamanho” de qualquer coisa dentro dele pra no máximo 2 ! O mesmo vale pra qualquer outro R n !

Equações redundantes

Um detalhe importantíssimo que precisamos prestar atenção na hora que resolver alguns exercícios desse tipo é com equações redundantes! Ah, mas que diabos é isso? Imagine que temos esse sistema no R 2 :

x + y = 2 2 x + 2 y = 4

Você poderia pensar, ah temos duas equações, então temos duas variáveis dependentes! Logo, jogamos na fórmula:

n o v . l . + 2 = 2

Então o n o v . l . é 0 e isso aí é um ponto! Só que não!!

Se você reparar nas equações, uma é simplesmente duas vezes a outra!! Então em termos práticos é como se só tivéssemos uma equação! Assim o número de variáveis livres é 1 e aquilo é uma reta!

De uma forma geral, se uma equação é combinação linear das outras podemos desconsiderar ela do sistema. Por exemplo:

x + y = 2 y = 1 x + 3 y = 4       I I I I I I

Repare que a terceira equação é dada por:

I I I = I + 2 I I

Em situações como essa diremos que a equação I I I é uma equação redundante, ou seja, ela não acrescenta informação nenhuma ao nosso sistema. Assim, ela não limita nenhuma de nossas variáveis e não é contabilizada na nossa equação de variáveis livres e dependentes.

Mais à frente vamos estudar bastante essa questão de equações redundantes, inclusive teremos um nome especial para elas, mas por enquanto isso é tudo que precisam saber ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 22 – Fix. 1.4

A interseção da reta 3 y - 2 x = 5 , no R 2 , com o

a   Eixo x é ________

b   Eixo y é ________

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Passo 1

Letra ( a )

Primeiro temos que lembrar qual a equação que forma o eixo x , a qual é y = 0 .

Sendo assim basta resolver o sistema com as duas equações:

3 y - 2 x = 5 y = 0       I I I

Beleza, temos 2 equações L I e 2 incógnitas, logo zero variáveis livres e consequentemente um espaço de dimensão 0, um ponto. Dessa forma, conseguimos saber que a solução desse sistema terá que ser um ponto.

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

3 ⋅ 0 - 2 x = 5 ⇒ - 2 x = 5 ⇒ x = - 5 2

Portanto a interseção do enunciado, é o ponto x , y = - 5 2 , 0

Passo 2

Letra ( b )

Faremos a mesma coisa com que letra ( a ) ! Sabendo que a equação da reta do eixo y é x = 0 :

3 y - 2 x = 5 x = 0       I I I

Aqui temos a mesma situação da letra ( a ) também, 2 equações L I e 2 incógnitas, indicando que será um ponto.

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

3 y = 5 ⇒ y = 5 3

Portanto a interseção do enunciado, é o ponto x , y = 0 , 5 3

Resposta

a   - 5 2 , 0

b   0 , 5 3

Exercício Resolvido #2

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 22 – Fix. 1.3

Determine se é ponto, reta ou plano o conjunto representado pela(s) equação(ões):

a   x = 4 em R 2

b   x = - 1 em R

c   y = 3 em R 3

d   x + y = 2 em R 2

e   x - y = - 1 em R 3

f   x = 5 y = - 2   em   R 2

g   x = - 5 y = 2 em R 3

h   x - y = - 5 y = 2 em R 3

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Passo 1

Letra ( a )

Como podemos ver, x não é uma variável livre, mas y sim. Como temos apenas uma variável livre no R 2 , trata-se de uma reta.

n o v . l . + n o   v . d .   = dim ⁡ R 2 ⇒

n o v . l . + 1   = 2 ⇒

n o v . l . = 1

Letra ( b )

Como podemos ver, em R existe apenas um eixo, no caso ele deve ser o x , pois o exercício impõe a condição x = - 1 e se fosse o eixo y não teria aonde marcar rs. Então, no eixo x , marcamos “o lugar” x = - 1 . Isso se trata em um ponto! É o “equivalente” a marcar o ponto ( - 1,0 ) no R 2 , lembrando que mesmo fazendo isso, não se trata do mesmo ponto. Da pra verificar pela nossa fórmula também!

n o v . l . + n o   v . d .   = dim ⁡ R ⇒

n o v . l . + 1 = 1 ⇒

n o v . l . = 0

Letra ( c )

Agora repare que temos 3 variáveis a nossa disposição! Entretanto, o exercício só determinou o valor de uma! Enquanto as outras não possuem valores. Sendo assim:

n o v . l . + n o   v . d .   = dim ⁡ R 3

n o v . l . + 1 = 3 ⇒

n o v . l . = 2

Como podemos ver, o número de variáveis livres é 2 e, portanto, a dimensão do espaço formado é 2 . Sendo assim, trata-se de um plano.

Passo 2

Letra ( d )

Bom, agora trata-se de uma equação, o que faremos??!!

Bom percebe que você pode reescrever a equação assim:

x = 2 - y

Acho que assim fica mais fácil de ver. Perceba, que desse jeito estamos isolando o x , ou seja, o x depende dos valores de y . E, por sua vez, y não depende de ninguém. Sendo assim, y é a variável livre e x a dependente. Se você ainda não conseguiu ver o número de variáveis livre, é só jogar na fórmula! Mas sabendo, que é 1 , já que estamos no R 2 , trata-se de uma reta!

Letra ( e )

Bom aqui é a mesma coisa da letra ( d ) , só que agora estamos no R 3 ! Então mesmo fazendo:

x = - 1 + y

Podemos ver que temos 2 variáveis livres! O y , ai nesse caso (mas nada te impede de fazer o contrário e chamar x de livre e y de dependente) e o z , que mesmo não aparecendo na equação é uma variável livre. Logo, podemos ver que se trata de um plano no R 3

Letra ( f )

Bom, podemos ver que x , y possuem valores definidos e, assim, não possuímos variáveis livres! Logo, trata-se de um ponto.

Passo 3

Letra ( g )

Ahhh essa é fácil! Mesma coisa da letra ( f ) . Dois valores definidos para nossas variáveis, então é um ponto né?? NÃOOO! Lembre-se do espaço que você está situado, agora se trata do R 3 !! Então, mesmo o x e y com valores definidos o z ainda é livre. Então, trata-se de uma reta.

Letra ( h )

Podemos ver no sistema que y possui um valor real e x depende de y , sendo assim x também é um valor real:

y = 2 ,   x = - 3

E como estamos no R 3 , é o mesmo caso da letra anterior, então é uma reta.

Resposta

a   Reta

b   Ponto

c   Plano

d   Reta

e   Plano

f   Ponto

g   Reta

h   Reta

Exercício Resolvido #3

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 23 – Fix. 1.13

O número mínimo de equações cartesianas para determinar um(a):

a   Reta no R 3 é ____

b   Reta em R 4 é ____

c   Plano em R 3 é ___

d   Plano em R 4 é ____

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Passo 1

Letra ( a )

Bom só pensarmos:

n o v . l . + n o v . d . = dim ⁡ R 3 = 3

Para ser uma reta o número de variáveis livres deve ser 1 , portanto o número de variáveis dependentes deve ser 2 .

Para termos 2 variáveis dependentes necessitamos de 2 equações pelo menos. Pensa assim, com uma equação só da pra isolar uma variável e, portanto, temos uma variável dependente.

Logo, a resposta é 2

Letra ( b )

Aqui é a mesma ideia. Se liga na nossa fórmula:

n o v . l . + n o v . d . = dim ⁡ R 4 = 4

Sabemos que para ser uma reta o número de variáveis livres deve ser 1 . Assim, o número de variáveis dependentes deve ser 3 . Então o número de equações deve ser 3 .

Passo 2

Letra ( c )

Usando a mesma ideia das outras letras:

n o v . l . + n o v . d . = dim ⁡ R 3 = 3

Agora como é um plano, o número de variáveis livres deve ser 2 e, por consequência, o de dependentes é 1 . Assim, o número mínimo de equações é 1 .

Letra ( d )

n o v . l . + n o v . d . = dim ⁡ R 4 = 4

Acho que você já deve ter entendido não é mesmo? O número de variáveis livres vai ser 2 e dessa vez o de dependentes vai ser 2 também e portanto o número de equações será 2 .

Resposta

a   2

b   3

c   1

d   2

Exercício Resolvido #4

UFRJ – P2 – 2015.2.1

Qual dos sistemas abaixo representa um plano (isto é, um subespaço de dimensão 2 ) em R 5 ?

a   x + y + z + w + t = 0 x - y - z - w - t = 0

b   x + y + z + w + t = 0

c   2 x + y + z + 2 w + t = 0 x - y + 2 z + w - 2 t = 0 x + 2 y - z + w + 3 t = 0

d   2 x + y + z + 2 w + t = 0 x - y + 2 z + w - 2 t = 0 x + y - z + w + 3 t = 0

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Passo 1

Vamos lá, um subespaço de dimensão 2 precisa de 2 variáveis livres. No R 5 isso implica em um sistema de 3 equações não redundantes. Isso já elimina as letras a e b .

E na letra c repare que a última equação é a primeira menos a segunda! Então na real temos só duas equações não redundantes. Então a certa tem que ser a d

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #5

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012 – Adaptado.

Determine a equação cartesiana da reta que passa por ( 1 ,   2 ) e ( - 2 ,   3 )

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Passo 1

Sabemos que a equação de uma reta é dada por a x + b y = c

Com as coordenadas que nossa reta deve passar, temos

1 a + 2 b = c   ( i )

- 2 a + 3 b = c   ( i i )

Multiplicando ( i ) por 2 , temos:

2 a + 4 b = 2 c   ( i i i )

Somando as equações ( i i ) e ( i i i ) :

7 b = 3 c

b = 3 7 c   ( i v )

Passo 2

Isolando a em ( i ) , temos

a = c - 2 b

Mas sabemos que b = 3 7 c , então:

a = c - 2 3 7 c

a = c - 6 7 c

a = c 7   ( v )

Passo 3

Se tomarmos c = 7 em ( i v ) e em ( v ) , teremos que a = 1 e b = 3 , logo, a equação da nossa reta será

1 x + 3 y = 7

Obs: poderíamos escolher qualquer outro valor não nulo pra c ok?

Resposta

1 x + 3 y = 7 (para c = 7 )

Exercício Resolvido #6

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012 – Adaptado.

Determine a equação cartesiana do plano que passa por ( 1 ,   0 ,   2 ) , ( - 1 ,   0 ,   2 ) e ( 3 ,   2 ,   1 ) .

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Passo 1

Sabemos que a equação de um plano é dada por a x + b y + c z + d = 0

As coordenadas dadas nos dão as equações

1 a + 0 b + 2 c = d   ( i )

- 1 a + 0 b + 2 c = d   ( i i )

3 a + 2 b + c = d   ( i i i )

Somando ( i ) e ( i i ) , temos

4 c = 2 d

c = d 2

De ( i ) , temos que

a = 2 c - d

a = 2 d 2 - d = 0

Passo 2

Tomando d = 4 (podemos escolher outros valores não nulos ok?), temos que c = 2 e substituindo na equação ( i i i ) , temos b = 1 .

Com todos os valores descobertos, temos a equação cartesiana do plano:

1 y + 2 z = 4

Se escolhêssemos outros valores para d , teríamos outras equações equivalentes certo?

Resposta

1 y + 2 z = 4 (para d = 4 )

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria.

Sobre o sistema x + y = 4 3 x + y = 2 , é correto afirmar que:

a) Em R 2 , ele forma uma reta crescente

b) Esse sistema não possui solução em R 2

c) Em R 3 , ele forma uma reta

d) Em R 3 , ele forma um plano

e) Para qualquer espaço maior que R 3 , esse sistema forma uma reta

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Passo 1

Bom, esse sistema é a intersecção de duas equações com duas variáveis.

No R 2 , é a intersecção de duas retas: que forma um plano.

No R 3 , é a intersecção de dois planos: que forma uma reta.

Entãoo, a única alternativa que pode estar correta é a letra c :)

Resposta

c) Em R 3 , ele forma uma reta

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria.

Considere as afirmativas a seguir:

I - z = 2 em R 3 representa um ponto no espaço.

II – O sistema x = 2 y = 4 em R 3 representa uma reta que não possui intersecção com o eixo z .

III – Em y = 3 x + 2 no R 3 , z é uma variável livre.

Estão corretas apenas as afirmativas:

a) I

b) II

c) III

d) I e III

e) I e II

f) II e III

g) I, II e III

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Passo 1

Vamos analisar as afirmativas:

I – Falsa. Como estamos em R 3 , temos 3 variáveis. Mas o exercício nos deu apenas z , ou seja, z é a variável dependente. Logo, temos 3 - 1 = 2 variáveis livres, então a dimensão do espaço formado é 2 e então temos um plano, e não uma reta!!

II – Verdadeira. Temos valores definidos pra x e y , porém, ainda temos uma terceira variável livre que é o z , portanto, a dimensão é 1 e isso se trata de uma reta ;) porém, como apenas z é livre, essa reta vai estar paralela ao eixo z e portanto não vai passar por ele.

III – Verdadeira!! Lembra que não é só porque o z não aparece na equação que ele está de fora? Como ele não está ali, ele é variável livre.

Boaa, as alternativas I I e I I I são verdadeiras, então a alternativa correta é a letra f!!

Resposta

f) II e III

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