Lista de Exercícios Resolvidos de Equações Cartesianas

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Qual dos sistemas abaixo representa um plano (isto é, um subespaço de dimensão 2 ) em R 5 ?

a   x + y + z + w + t = 0 x - y - z - w - t = 0

b   x + y + z + w + t = 0

c   2 x + y + z + 2 w + t = 0 x - y + 2 z + w - 2 t = 0 x + 2 y - z + w + 3 t = 0

d   2 x + y + z + 2 w + t = 0 x - y + 2 z + w - 2 t = 0 x + y - z + w + 3 t = 0

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A interseção da reta 3 y - 2 x = 5 , no R 2 , com o

a   Eixo x é ________

b   Eixo y é ________

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Determine a equação cartesiana da reta que passa por ( 1 ,   2 ) e ( - 2 ,   3 )

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Determine a equação cartesiana do plano que passa por ( 1 ,   0 ,   2 ) , ( - 1 ,   0 ,   2 ) e ( 3 ,   2 ,   1 ) .

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Considere as afirmativas a seguir:

I - z = 2 em R 3 representa um ponto no espaço.

II – O sistema x = 2 y = 4 em R 3 representa uma reta que não possui intersecção com o eixo z .

III – Em y = 3 x + 2 no R 3 , z é uma variável livre.

Estão corretas apenas as afirmativas:

a) I

b) II

c) III

d) I e III

e) I e II

f) II e III

g) I, II e III

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Determine se é ponto, reta ou plano o conjunto representado pela(s) equação(ões):

a   x = 4 em R 2

b   x = - 1 em R

c   y = 3 em R 3

d   x + y = 2 em R 2

e   x - y = - 1 em R 3

f   x = 5 y = - 2   em   R 2

g   x = - 5 y = 2 em R 3

h   x - y = - 5 y = 2 em R 3

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Sobre o sistema x + y = 4 3 x + y = 2 , é correto afirmar que:

a) Em R 2 , ele forma uma reta crescente

b) Esse sistema não possui solução em R 2

c) Em R 3 , ele forma uma reta

d) Em R 3 , ele forma um plano

e) Para qualquer espaço maior que R 3 , esse sistema forma uma reta

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O número mínimo de equações cartesianas para determinar um(a):

a   Reta no R 3 é ____

b   Reta em R 4 é ____

c   Plano em R 3 é ___

d   Plano em R 4 é ____

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Considere o sistema de equações em 4 incógnitas abaixo:

x + y + z = 0 w = 0 y = 0

(a) O conjunto solução é um subespaço afim de dimensão 3.

(b) O conjunto solução é uma reta

(c) O sistema tem solução única

(d) O conjunto solução é um plano

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Considere os sistemas lineares em R 4 abaixo. Qual deles possui um plano como conjunto-solução?

a   x + y + z + w = 0 x - y - z - w = 0

b   x + y + z + w = 0

c   x + y + z = 0

d   x + y + z + w = 0 x - y + z + w = 0 x + y - z + w = 0

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Dentre os sistemas abaixo, aquele cujo conjunto solução possui maior dimensão é:

(a) x + y + z + w = 1 x - y + z + w = 1 x + y - z + w = 1 x + y + z - w = 1

(b) x + y + z + w = 1 2 x + 2 y + 2 z + 2 w = 1

(c) x + y = 1

(d)   x + y + z = 1 x - y + z = 1 x + y - z = 1

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Considere os seguintes sistemas lineares em 4 incógnitas , x , y , z   e w . Qual deles tem como conjunto-solução uma reta em R 4 ?

a)   x = 0 x + y = 0 2 x + 2 y + 2 z = 0 3 x + 3 y + 3 z + 3 w = 0

b)   x = 0 2 y = 0 3 z = 0

c) x + y = 0 3 z + 3 w = 0

d)   x + y + z + w = 0 2 x + 2 y + 2 z + 3 w = 0 3 x + 3 y + 3 z + 3 w = 0

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Considere o sistema abaixo:

S = x + y = 0 x - y = 0

Classifique em verdadeira ou falsa as afirmativas:

(I) O conjunto dos pontos (x,y) de R 2 que satisfazem as equações de S é uma reta de R 2 .

(II) O conjunto dos pontos (x,y,z) de R 3 que satisfazem as equações de S é uma reta de R 3 .

(a) I é falsa e II é falsa.

(b) I é verdadeira e II é verdadeira.

(c) I é falsa e II é verdadeira.

(d) I é verdadeira e II é falsa.

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O conjunto solução do sistema abaixo é:

x + y + z + w = 0 x + y + z     = 0 x + y         = 0 x             =   0

a   Um conjunto tridimensional em R 4

b   Um ponto em R 4

c   Um plano em R 4

d   Uma reta em R 4

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Assinale o conjunto solução que representa uma reta em R 4 :

a   t + x + y + z = 0 t - x + y + z = 0 t - x + y - z = 0

b t + x + y + z = 0 t + x - y + z = 0 3 t + 3 x + y + 3 z = 0

c   t + x + y + z = 0 t - x + y - z = 0

d     { t + x + y + z = 0

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Um sistema linear homogêneo com 3 equações e 4 variáveis pode representar em R 4 :

a   um ponto, uma reta, um plano, mas nunca um espaço tridimensional

b   um ponto, uma reta, um plano ou um espaço tridimensional

c   apenas um ponto, uma reta ou um plano

d   uma reta, um plano, mas nunca um único ponto

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Qual dos sistemas abaixo representa um plano (isto é, um subespaço de dimensão 2 ) em R 5 ?

a   x + y + z + w + t = 0 x - y - z - w - t = 0

b   x + y + z + w + t = 0

c   2 x + y + z + 2 w + t = 0 x - y + 2 z + w - 2 t = 0 x + 2 y - z + w + 3 t = 0

d   2 x + y + z + 2 w + t = 0 x - y + 2 z + w - 2 t = 0 x + y - z + w + 3 t = 0

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