CL e DL de Polinômios e Matrizes

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Teoria

Então galerinha, nós já estamos craques em C L e D L com vetores, certo?! Então podemos aprender um novo tipo de combinação linear e de dependência linear!!

Acontece que nós podemos fazer tudo aquilo que fazíamos com vetores, com matrizes e polinômios.

CL e DL com matrizes

Vamos relembrar como era a combinação linear com vetores: um vetor é combinação linear de um conjunto de vetores se ele puder ser escrito como uma operação deles. Quando falo operação, tô falando de soma vetorial e multiplicação por escalar!

v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3

O vetor v   é combinação linear do conjunto v 1 , v 2 , v 3 .

O vetor v   podia ser, por exemplo, 1,4 , 4 e o conjunto podia ser ( 0 , - 2,1 ) , ( - 2,8 , 3 ) , ( - 3,0 , 1 ) .

Assim, minha combinação linear ia ser:

1,4 , 4 = 2 0 , - 2,1 + - 2,8 , 3 - 1 ( - 3,0 , 1 )

Pode conferir aí!!

Beleza, eu to te dizendo agora, que posso fazer isso aí com matrizes.

Então no lugar de v posso ter uma matriz, por exemplo 2 1 - 1 0 e no lugar de   v 1 , v 2 , v 3 , posso ter um conjunto de matrizes, 1 3 0 - 1 , 4 - 2 2 0 , 0 2 3 2

E posso montar a combinação linear:

2 1 - 1 0 = - 2 1 - 3 0 - 1 + 4 - 2 2 0 - 1 0 3 3 2

Fiz apenas as operações que aprendi com matrizes!

Vamos fazer um exemplo pra pegar bem isso aí:

A matriz 2 - 1 3 0 é combinação linear das matrizes 2 0 2 0 e 1 1 0 0 ?

Vamos tentar montar essa C L :

2 - 1 3 0 = a 2 0 2 0 + b 1 1 0 0

2 - 1 3 0 = 2 a + b b 2 a 0

Assim como eu fazia com os vetores, igualando coordenada por coordenada, vou fazer com matrizes, igualando elemento por elemento:

2 a + b = 2 b = - 1 2 a = 3 0 = 0

Daí tenho que b = - 1   e   a = 3 2 . Vou substituir na primeira equação só pra ver se não tem nenhuma contradição:

2 a + b = 2 ⟹ 2 ⋅ 3 2 - 1 = 2

3 - 1 = 2

2 = 2

Perfeito! Então essa matriz é combinação linear das outras.

A dependência linear também é a mesma coisa que já sabemos. Se eu tiver, no conjunto, uma ou mais matrizes que são combinação linear das outras, esse conjunto é L D , linearmente dependente. Se nenhuma das matrizes puder ser escrita como combinação linear das outras, então o conjunto é L I , linearmente independente.

E como eu verifico a dependência linear?

Bom, do mesmo jeito de antes, posso fazer a combinação linear das matriz e igualar a matriz nula, sabendo que se todos os coeficientes forem zero meu conjunto é L I :

a 2 - 1 3 0 + b 2 0 2 0 + c 1 1 0 0 = 0 0 0 0

2 a + 2 b + c - a + c 3 a + 2 b 0 = 0 0 0 0

2 a + 2 b + c = 0 - a + c = 0 3 a + 2 b = 0

Tenho que c = a   e b = - 3 a 2 substituindo na primeira equação, não chego an nenhuma conclusão, tenho 0 = 0 .

Como não conclui que os coeficientes são todos zero, confirmo que esse conjunto é L D ! Mas a gente já sabia disso hahaha...

Posso resolver isso aí de outro jeito também, que as vezes é mais simples: escalonando! Escalonar matrizes? Como isso??

Posso pegar os elementos de cada matriz, botar nas linhas de uma outra matriz e escalonar:

2 2 1 - 1 0 1 3 2 0 0 0 0

Já vimos que esse conjunto é L D   e já estamos craques no escalonamento então vou deixar pra vocês fazerem aí!

CL e DL com polinômios

É o mesmo princípio!

O polinômio x 2 + 2 x - 3   é combinação linear de - x 2 + 3 x - 2 e   x - 1   se eu conseguir escrever ele como uma operação desses polinômios :

x 2 + 2 x - 3 = a - x 2 + 3 x - 2 + b x - 1

x 2 + 2 x - 3 = - a x 2 + 3 a x - 2 a + b x - b

Agora agrupando os termos que multiplicam x 2 ,   x e os termos independentes:

x 2 + 2 x - 3 = x 2 - a + x 3 a + b + ( - 2 a - b )

E agora conseguimos igualar os termos que multiplicam cada potencia de x :

- a = 1 3 a + b = 2 - 2 a - b = - 3

Tenho então, da primeira equação, que a = - 1 .     Substituindo na segunda, acho que b = 5 .   Pode conferir na terceira equação, dá certinho!

Assim, posso afirmar que esse polinômio é combinação linear dos outros! E portanto, o conjunto x 2 + 2 x - 3 ,   - x 2 + 3 x - 2 ,   x - 1 é L D .

Posso utilizar as mesmas técnicas para verificar a dependência linear de um conjunto de polinômios: achando os coeficientes da combinação linear que gera o polinômio nulo e vendo se são todos zero, ou escalonando.

Dessa vez, para escalonar, vou por os coeficientes das potencias de x   nas minhas linhas dessa forma:

1 2 - 3 - 1 3 - 2 0 1 - 1

Vou escalonar pra provar pra vocês que dá certo:

1 2 - 3 - 1 3 - 2 0 1 - 1 → L 2 → L 2 + L 1 1 2 - 3 0 5 - 5 0 1 - 1 → L 3 → L 3 - 1 5 L 2 1 2 - 3 0 5 - 5 0 0 0

Zerou uma linha, isso mostra que os polinômios formavam, realmente, um conjunto L D .

CL e DL com polinômios

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine K para que o conjunto 1 0 2 0 , - 1 1 0 0 , 2 - 1 k 0 seja L D

Passo 1

Bom, para um conjunto ser L D , precisamos ter, nele, pelo menos um elemento que seja C L dos outros elementos.

Vamos analisar, então o conjunto dado pra gente:

1 0 2 0 , - 1 1 0 0 , 2 - 1 k 0

Vemos que as duas primeiras matrizes não são C L uma da outra facilmente, isso porque quando analisamos a dependência linear de duas matrizes, basta que uma não seja múltipla da outra para garantirmos que o conjunto formado por elas é L I . Nesse caso aí é claro que não são múltiplas hahaha.

Assim, se as duas primeiras matrizes não são C L uma da outra, é preciso que a terceira matriz seja C L delas para que o conjunto seja L D .

Passo 2

O que eu preciso é:

2 - 1 k 0 = a 1 0 2 0 + b - 1 1 0 0

Separando as equações de cada elemento, temos:

2 = a - b

- 1 = b

k = 2 a

0 = 0

Resolvendo esse sistema, temos que a = k 2 e b = - 1 , substituindo esses valores na primeira equação, k = 2

Resposta

k = 2

Exercício Resolvido #2

Seja o espaço M 2 × 2 e os vetores:

v 1 = 1 0 1 1 ,   v 2 = - 1 2 0 1 ,   v 3 = 0 - 1 2 1

Escreva o vetor v = 1 8 0 5 como combinação linear dos vetores v 1 , v 2   e v 3 :

Passo 1

Bom, pedir pra gente escrever uma matriz como C L de outras é pedir pra gente achar os coeficientes dessa C L , então, bora montar essa combinação:

1 8 0 5 = a 1 0 1 1 + b - 1 2 0 1 + c 0 - 1 2 1

Escrevendo a equação de cada elemento:

1 = a - b 8 = 2 b - c 0 = a + 2 c ⟹ a = - 2 c 5 = a + b + c

Substituindo esse valor de a   nas outras equações, temos:

1 = - 2 c - b ( I ) 8 = 2 b - c ( I I ) 5 = b - c ( I I I )

Fazendo I I - I I I , temos b = 3 . substituindo em I I I , c = - 2 . E portanto, a = 4 .   Por último, devemos conferir se esses valores satisfazem a outra equação, I :

1 = - 2 - 2 - 3

1 = 4 - 3

1 = 1

Perfeitoo!! Beleza, então achamos os coeficientes e assim podemos escrever v   como C L das outras matrizes:

1 8 0 5 = 4 1 0 1 1 + 3 - 1 2 0 1 - 2 0 - 1 2 1

Resposta

1 8 0 5 = 4 1 0 1 1 + 3 - 1 2 0 1 - 2 0 - 1 2 1

Exercício Resolvido #3

Consideramos no espaço P 2 = a t 2 + b t + c a , b , c ∈ R } os vetores p 1 = t 2 - 2 t + 1 ,   p 2 = t + 2 e p 3 = 2 t 2 - t

  1. Escrever o polinômio p = 5 t 2 - 5 t + 7 como combinação linear de p 1 ,   p 2 ,   p 3 .
  2. Escrever o vetor p = 5 t 2 - 5 t + 7 como combinação linear de p 1 ,   p 2
  3. Determinar uma condição para a , b , c de modo que o polinômio a t 2 + b t + c seja combinação linear de p 2 , p 3
  4. É possível escrever p 1 como combinação linear de p 2 e p 3 ?

Passo 1

Letra a)

Montando a C L :

5 t 2 - 5 t + 7 = a t 2 - 2 t + 1 + b t + 2 + c 2 t 2 - t ⇒

5 t 2 - 5 t + 7 = a t 2 - 2 a t + a + b t + 2 b + c 2 t 2 - c t ⇒

5 t 2 - 5 t + 7 = a + 2 c t 2 + - 2 a + b - c t + a + 2 b ⇒

5 = a + 2 c ⇒ a = 5 - 2 c ⇒ a = 5 - 2 ⇒ a = 3 - 5 = - 2 a + b - c ⇒ - 5 = - 10 + 4 c + 1 + c - c ⇒ 4 = 4 c ⇒ c = 1 7 = a + 2 b ⇒ 7 = 5 - 2 c + 2 b ⇒ 2 = - 2 c + 2 b ⇒ b = 1 + c ⇒ b = 2

Então podemos escrever a C l e os coeficientes são a = 3 ,   b = 2 ,   c = 1

Passo 2

Letra b)

Agora é só repetir a equação da letra a), com apenas p 1 , p 2 :

5 t 2 - 5 t + 7 = a t 2 - 2 t + 1 + b t + 2 ⇒

5 t 2 - 5 t + 7 = a t 2 - 2 a t + a + b t + 2 b ⇒

5 t 2 - 5 t + 7 = a t 2 + - 2 a + b t + a + 2 b ⇒

5 = a - 5 = - 2 a + b ⇒ - 5 = - 10 + b ⇒ b = 5 7 = a + 2 b ⇒ 7 = 5 + 10 ⇒ 7 = 15   A b s u r d o !

Como chegamos num absurdo, o sistema é impossível e por isso o polinômio não pode ser escrito como uma C L de p 1 e p 2

Passo 3

Letra c)

a t 2 + b t + c = α t + 2 + β 2 t 2 - t ⇒

a t 2 + b t + c = α t + 2 α + β 2 t 2 - β t ⇒

a t 2 + b t + c = 2 β t 2 + α - β t + 2 α ⇒

a = 2 β b = α - β c = 2 α

Ou seja, para o polinômio a t 2 + b t + c ser uma C L de p 1 ,   p 2 tem q satisfazer a condição acima para quaisquer que sejam os valores de α ,   β . O exercício, pede uma condição, ou seja, não genérica. Então, basta estipularmos valores para α ,   β , no caso vou escolher α = β = 1 :

a = 2 b = 0 c = 2  

2 t 2 + 2

Passo 4

Letra d)

Montando a C L :

t 2 - 2 t + 1 = a t + 2 + b 2 t 2 - t ⇒

t 2 - 2 t + 1 = a t + 2 a + b 2 t 2 - b t ⇒

t 2 - 2 t + 1 = 2 b t 2 + a - b t + 2 a ⇒

1 = 2 b ⇒ b = 1 2 - 2 = a - b ⇒ - 2 = 1 2 - 1 2 = 0   A b s u r d o ! 1 = 2 a ⇒ a = 1 2

Como podemos ver, p 1 não pode ser escrito como C L de p 2 ,   p 3

Resposta

Letra a)

podemos escrever a C l e os coeficientes são a = 3 ,   b = 2 ,   c = 1

Letra b)

não pode ser escrito como uma C L de p 1 e p 2

Letra c)

a = 2 ,   b = 0 ,   c = 2

Letra d)

p 1 não pode ser escrito como C L de p 2 ,   p 3

Exercício Resolvido #4

Determine se são L I ' s ou L D ' s em P 3 :

(a) { 1 , x 2   , x 2 + 4 }  

(b) x + 2 , x + 3 , x 2 - 3

(c) { x 2 - 2 x , 1 + x , x 2 + 2 }

Passo 1

Letra ( a )

Vamos botar os coeficientes das potências de x dos polinômios nas linhas de uma matriz e escaloná-la:

Sendo o primeiro conjunto { 1 , x 2   , x 2 + 4 } , nossa matriz vai ficar igual a:

1 0 0 0 0 1 4 0 1

Repare que botei tudo que multiplica o x 2 na terceira coluna, tudo que multiplica o x na segunda e os termos independentes na primeira!

Agora vamos escalonar:

1 0 0 0 0 1 4 0 1 → L 3 ← L 3 - 4 L 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 → L 3 ← L 3 - L 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0

Uma linha zerou, quer dizer que o conjunto era L D !

Passo 2

Letra ( b )

Vamos fazer o mesmo para o próximo conjunto, x + 2 , x + 3 , x 2 - 3 , colocando os coeficientes em uma matriz:

2 1 0 3 1 0 - 3 0 1

Agora, escalonando:

2 1 0 3 1 0 - 3 0 1 → L 1 ← L 1 2 1 1 2 0 3 1 0 - 3 0 1 → L 2 ← L 2 - 3 L 1 L 3 ← L 3 + 3 L 1 1 1 2 0 0 - 1 2 0 0 3 2 1 → L 3 ← L 3 + 3 L 2 1 1 2 0 0 - 1 2 0 0 0 1

Opa, nenhuma linha zerou, isso significa que os polinômios formam um conjunto L I .

Passo 3

Letra ( c )

Agora, por último, para o conjunto { x 2 - 2 x , 1 + x , x 2 + 2 } :

0 - 2 1 1 1 0 2 0 1 → L 3 ↔ L 1 2 0 1 1 1 0 0 - 2 1 → L 2 ← L 1 - 2 L 2 2 0 1 0 - 2 1 0 - 2 1 → L 3 ← L 3 - L 2 2 0 1 0 - 2 1 0 0 0

Como a ultima linha zerou, temos um polinômio C L dos outros e portanto, o conjunto é L D !

Resposta

  1. L D
  2. L I
  3. L D

Exercício Resolvido #5

Determinar k para que o conjunto

1 0 1 0 ,   1 1 0 0 ,   2 - 1 k 0

Seja L D

Passo 1

Para o conjunto ser L D , alguma das matrizes deve ser uma C L das demais. No caso, vamos forçar a terceira matriz do conjunto ser uma C L das duas primeiras.

2 - 1 k 0 = a 1 0 1 0 + b 1 1 0 0 ⇒

2 - 1 k 0 = a + b b a 0 ⇒

2 = a + b ⇒ 2 = a - 1 ⇒ a = 3 - 1 = b k = a ⇒ k = 3 0 = 0

Logo, podemos ver que basta k = 3 para que o conjunto seja L D .

Resposta

k = 3

Exercício Resolvido #6

Quais dos seguintes conjuntos de polinômios pertencentes ao P 2 são L D ?

  1. 2 + x - x 2 ,   - 4 - x + 4 x 2 ,   x + 2 x 2
  2. 1 - x + 2 x 2 ,   x - x 2 ,   x 2
  3. 1 + 3 x + x 2 ,   2 - x - x 2 ,   1 + 2 x - 3 x 2 ,   - 2 + x + 3 x 2
  4. { x 2 - x + 1 , x 2 + 2 x }

Passo 1

Letra a)

Podemos perceber que o terceiro elemento não tem o termo sem o x . Sendo assim, vamos tentar fazer alguma C L dos outros dois polinômios que resulte em um novo polinômio com o elemento sem o x .

Como os dois polinômios são:

2 + x - x 2

- 4 - x + 4 x 2

Para zerar vou fazer o seguinte (Pode zerar multiplicando por qualquer coeficiente):

2 2 + x - x 2 + 1 - 4 - x + 4 x 2 = 4 + 2 x - 2 x 2 - 4 - x + 4 x 2 = x + 2 x 2

Ou seja, exatamente o terceiro polinômio! Então, podemos dizer que o conjunto é L D .

Passo 2

Letra b)

Bom, esse está difícil de ver só no olho, então vamos ter que partir para a C L .

a 1 - x + 2 x 2 + b x - x 2 + c x 2 = 0 ⇒

a - a x + 2 a x 2 + b x - b x 2 + c x 2 = 0 ⇒

2 a + c - b x 2 + - a + b x + a = 0 ⇒

2 a + c - b = 0 ⇒ c = 0 - a + b = 0 ⇒ b = 0 a = 0

E como todos os coeficientes são nulos, então o conjunto é L I .

Passo 3

Letra c)

Bom, esse está mais difícil de ver no olho, então vamos fazer a combinação linear:

a 1 + 3 x + x 2 + b 2 - x - x 2 + c 1 + 2 x - 3 x 2 + d - 2 + x + 3 x 2 = 0 ⇒

a + 3 a x + a x 2 + 2 b - b x - b x 2 + c + 2 c x - 3 c x 2 - 2 d + d x + 3 d x 2 = 0 ⇒

a + 2 b + c - 2 d + 3 a - b + 2 c + d x + a - b - 3 c + 3 d x 2 = 0 ⇒

a + 2 b + c - 2 d = 0 3 a - b + 2 c + d = 0 a - b - 3 c + 3 d = 0

Como esse sistema está meio grande, é melhor botar numa matriz e escalonar:

1 2 1 - 2 3 - 1 2 1 1 - 1 - 3 3 0 0 0 →           E s c a l o n a n d o           1 2 1 - 2 0 - 7 - 1 7 0 0 - 25 7 2 0 0 0

Como podemos ver, o sistema continua:

a + 2 b + c - 2 d = 0 - 7 b - c + 7 d = 0 - 25 7 c + 2 d = 0

E, portanto, não podemos isolar nenhuma variável. O que significa que alguma terá que ficar em função da outro. Sendo assim, vamos ter infinitas soluções para os coeficientes. Logo, o conjunto é L D .

Letra d)

Essa é bem tranquila. Só temos 2 polinômios e como um não é múltiplo do outro, o conjunto é L I .

Resposta

  1. L D
  2. L I
  3. L D
  4. L I

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