Matriz Inversa

Teoria Completa

Introdução

Bom, até agora você deve ter estudado muitos tipos de matrizes e várias operações para fazer com elas, mas... já se perguntou como se inverte uma matriz? Bom, existem vários jeito de se inverter e vários truques também e é isso que vamos ver nesse capitulo.

Para começar, o que seria a matriz inversa??? Vamos pensar em um número real. Por exemplo, o 2 . O inverso de 2 , ou seja 2 - 1 = 1 2 , ahhh então A - 1 = 1 A ???? Não!! O que acabei de escrever não existe! Então o que você pode dizer que tem de especial com um número e o seu inverso??

E aí pensou???

Um número multiplicado pelo seu inverso, sempre dá 1 !

2 ⋅ 1 2 = 1

E é exatamente isso a propriedade mais importante das matrizes inversas! Você pode me dizer quem seria o " 1 " das matrizes??? O que o 1 tem de especial?? Ahh ele é o numero que faz com que qualquer número multiplicado por ele, dê o próprio número:

2 ⋅ 1 = 2

E quem faz isso no universo das matrizes??

A matriz identidade!!

A ⋅ I = A

Logo, a matriz inversa multiplicada pela matriz original dá " 1 " , ou seja, a matriz identidade:

A ⋅ A - 1 = I

E qualquer matriz admite inversa??

NÃO!!! Só matrizes quadradas admitem inversa!!

Ah, então todas as matrizes quadradas têm inversa? Bom, mais ou menos. Lembra do escalonamento? Então, se você tem uma matriz quadrada e quer saber se ela é invertível é só você escalonar ela! Se alguma linha da matriz tiver só zeros, ela não é invertível. Caso contrário, ela é invertível! Lembrando que ela deve ser quadrada haha.

Outra maneira de sabermos se uma matriz é invertível é:

  • Se o determinante for 0 , a matriz não é invertível
  • Se o determinante for diferente de 0 , ela é invertível

Ótimo, sabemos quando uma matriz é invertível, mas como eu inverto?? Bom, vamos ver isso agora!

Invertendo matrizes 2 × 2

Você já sabe o que uma matriz inversa tem de tão especial, mas como achamos a matriz inversa??

Existem alguns jeitos. Vamos pegar por exemplo essa matriz aqui:

A = 2 1 0 4

Já sabemos que ela é quadrada, então podemos invertê-la :D. Acho que o jeito mais intuitivo é pela definição. O jeito que vou mostrar pode ser aplicado para uma MATRIZ DE QUALQUER ORDEM! No caso, vamos fazer para ordem 2 .

Vamos achar a inversa de:

A - 1 = x y z w

Então:

2 1 0 4 ⋅ x y z w = 1 0 0 1

Agora é só montar o sistema!

2 x + z = 1 ⇒ 2 x = 1 ⇒ x = 1 2 4 z = 0 ⇒ z = 0 2 y + w = 0 ⇒ 2 y + 1 4 = 0 ⇒ 2 y = - 1 4 ⇒ y = - 1 8 4 w = 1 ⇒ w = 1 4

Assim, a nossa matriz inversa fica:

A - 1 = 1 2 - 1 8 0 1 4

E pronto achamos a nossa matriz inversa! Mas é meio trabalhoso né? Por isso que vou ensinar um truque que SÓ VALE PARA MATRIZES 2 × 2 :

Considerando a matriz original A = a b c d , podemos dizer que a matriz inversas 2 × 2 também pode ser escrita como:

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

E a d - b c é o que chamamos de determinante da matriz A ! Vamos ver muita coisa sobre determinantes mais tarde no curso, mas já to dando um spoiler aqui haha. Vamos reescrever:

A - 1 = 1 d e t ⁡ ( A ) d - b - c a

Vamos ver se esse truque da certo mesmo:

det ⁡ A = 8

A - 1 = 1 8 4 - 1 0 2 ⇒

A - 1 = 1 2 - 1 8 0 1 4

Igualzinho a solução do nosso sistema!

Po, mas meio complicado lembrar disso. Vou botar aqui um passo a passo pra você se acostumar:

Passo 1: Troque os elementos da diagonal principal.

Passo 2: Multiplique por - 1 os elementos da diagonal secundária.

Passo 3: Divida a matriz pelo determinante da matriz original.

Invertendo matrizes 3 × 3 e ordem maiores

Bom, agora que você já sabe inverter matrizes 3 × 3 , vamos aprender um método bem prático que nem o das matrizes 2 × 2 , só que agora vai servir pra matrizes de quaisquer ordens. Para isso é preciso que você esteja bem em escalonamento.

Vamos pegar essa matriz por exemplo:

A = 1 1 2 0 1 4 2 2 1

Não da pra aplicar o método anterior que aprendemos para matrizes 2 × 2 , mas poderíamos calcular pela definição, montando um sistema linear agora de 9 equações que não é nem um pouco prático. Por isso vamos usar o método do escalonamento. Basta seguir os passos abaixo:

Passo 1: Pegue a matriz A que você quer inverter e coloque ao lado da identidade I

1 1 2 0 1 4 2 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 2: Escalone a primeira matriz até transformá-la na identidade, ou seja, escalone até a sua forma reduzida e, enquanto isso, aplique as mesmas operações na matriz identidade ao lado.

L 3 ← L 3 - 2 L 1 1 1 2 0 1 4 0 0 - 3 1 0 0 0 1 0 - 2 0 1

L 3 ← L 3 - 3 1 1 2 0 1 4 0 0 1 1 0 0 0 1 0 2 3 0 - 1 3

L 2 ← L 2 - 4 L 3 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 - 8 3 1 4 3 2 3 0 - 1 3

L 1 ← L 1 - 2 L 3 1 1 0 0 1 0 0 0 1 - 1 3 0 2 3 - 8 3 1 4 3 2 3 0 - 1 3

L 1 ← L 1 - L 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 7 3 - 1 - 2 3 - 8 3 1 4 3 2 3 0 - 1 3

Passo 3: A matriz inversa é a matriz que se formou no lado direito do algoritmo.

A - 1 = 7 3 - 1 - 2 3 - 8 3 1 4 3 2 3 0 - 1 3

Resumindo:

Passo 1: Pegue a matriz A que você quer inverter e coloque ao lado da identidade I

Passo 2: Escalone a primeira matriz até transformá-la na identidade, ou seja, escalone até a sua forma reduzida e, enquanto isso, aplique as mesmas operações na matriz identidade ao lado.

Passo 3: A matriz inversa é a matriz que se formou no lado direito do algoritmo.

Propriedades da matriz inversa

Pra finalizar algumas propriedades da matriz inversa que volta e meia aparecem nas provas:

  1. A T - 1 = A - 1 T
  2. A - 1 - 1 = A
  3. A B - 1 = B - 1 A - 1 ESSA É MUITO IMPORTANTE!!!
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Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 127 – Prob. 4.13 (Adaptado)

Inverta:

a   A = 2 1 - 1 0

b   B = 1 - 1 1 1 1 1 0 0 1

c   C = 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Letra ( a )

Como se trata de uma matriz 2 × 2 , vamos utilizar o método prático.

Primeiro, vamos trocar os elementos da diagonal principal de lugar e depois multiplicar por - 1 a diagonal secundária:

0 - 1 1 2

Agora, falta calcular o determinante da matriz original:

det ⁡ A = 1

E dividir por esse valor:

1 1 0 - 1 1 2 = 0 - 1 1 2

E pronto, temos a inversa agora.

A - 1 = 0 - 1 1 2

Passo 2

Letra ( b )

Como é de ordem maior que 2 , precisamos utilizar o método de escalonamento.

1 - 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 →     E s c a l o n a n d o     1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 2 - 1 - 1 2 1 2 0 0 0 1

E a matriz inversa é:

B - 1 = 1 2 1 2 - 1 - 1 2 1 2 0 0 0 1

Passo 3

Letra ( c )

Vamos utilizar o mesmo principio da letra anterior.

0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 →     E s c a l o n a n d o     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 - 1 0

E a matriz inversa é:

C - 1 = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 - 1 0

Resposta

a   A - 1 = 0 - 1 1 2

b   B - 1 = 1 2 1 2 - 1 - 1 2 1 2 0 0 0 1

c   C - 1 = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 - 1 0

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P4-2015.2.1-08

Calcule a terceira coluna da inversa da matriz:

1 - 1 1 1 1 0 - 1 0 1

a   1 3 - 1,1 , 2 T

b   1 3 1,1 , 2 T

c   1 3 - 1,1 , - 2 T

d   1 3 1 , - 1,2 T

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Agora vem um macete matador pra esse tipo de questão! Como ele só quer descobrir a terceira coluna da matriz inversa nós não precisamos da inversa inteira do outro lado! É só botarmos a terceira. Ou seja, temos que nos preocupar com duas colunas a menos ;)

1 - 1 1 1 1 0 - 1 0 1 0 0 1

L 2 ← L 2 - L 1 1 - 1 1 0 2 - 1 - 1 0 1 0 0 1

L 3 ← L 3 + L 1 1 - 1 1 0 2 - 1 0 - 1 2 0 0 1

L 2 ← 1 2 L 2 1 - 1 1 0 1 - 1 2 0 - 1 2 0   0   1

L 3 ← L 3 + L 2 1 - 1 1 0 1 - 1 2 0 0 3 2 0   0   1

Passo 2

L 3 ← 2 3 L 3 1 - 1 1 0 1 - 1 2 0 0 1 0 0 2 3

L 2 ← L 2 + 1 2 L 3 1 - 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 3 2 3

L 1 ← L 1 - L 3 1 - 1 0 0 1 0 0 0 1 - 2 3 1 3 2 3

L 1 ← L 1 + L 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 3 1 3 2 3

Passo 3

E assim a terceira coluna da nossa matriz inversa é:

- 1 3 1 3 2 3

E com isso podemos ver que a terceira coluna é:

1 3 - 1 1 2

Resposta

Letra ( a )

Exercício Resolvido #3

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 128 – Fix. 4.21

Se A , B , C são invertíveis e A B = C , então A =   ? ?

  1. A = B C
  2. A = C B
  3. A = B - 1 C
  4. A = C B - 1
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, o que temos ali é o A isolado, então vamos fazer isso. Só que para fazer isso usando a equação que nos foi dada A B = C , temos que multiplicar dos dois lados à DIREITA por B - 1 :

A B ⋅ B - 1 = C B - 1 ⇒

A ⋅ I = C B - 1 ⇒

A = C B - 1

Logo a resposta é a ultima opção.

Resposta

Letra D) A = C B - 1

Exercício Resolvido #4

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 128 – Fix. 4.20

A matriz M possui inversa M - 1 = 1 5 3 - 2 3 2 0 3 2 - 3 1 0 - 2 4 5 2