Matrizes Elementares

Teoria Completa

Matrizes elementares

Você já deve ter estudado como se escalona uma matriz, não é mesmo? Além de escalonarmos uma matriz aplicando as operações elementares diretamente nela, podemos também fazer isso de um jeito um pouco indireto. Mas como?? Multiplicando matrizes!

Por exemplo, nessa matriz aqui embaixo:

A = 2 - 11 0 2 - 8 - 2 - 1 7 1

Para escalonar ela tivemos que aplicar essas operações aqui, NESTA ORDEM!

  1. L 2 ← - 1 2 L 2
  2. L 2 ↔ L 1
  3. L 2 ← L 2 + 2 L 1
  4. L 3 ← L 3 - L 1
  5. L 3 ← L 3 + L 2

Agora se você quisesse escalonar essa matriz, bastaria aplicar essas operações ai em cima não é? Mas a grande coisa é que podemos fazer isso multiplicando matrizes! MAS COMO ISSO?

É assim: Basta você aplicar as operações elementares em uma matriz identidade! Hã como assim?

Vamos chamar de E 1 ,   E 2 ,   E 3 ,   E 4 ,   E 5 as matrizes elementares correspondentes às operações elementares descritas. Matrizes elementares são as matrizes identidades que sofreram alguma operação elementar.

Assim, a primeira operação corresponde a E 1 , a segunda a E 2 e assim por diante... A nossa matriz E 1 vai ser uma matriz identidade com a primeira operação aplicada:

E 1 = 1 0 0 0 - 1 2 0 0 0 1

Agora a matriz E 2 vai ser uma matriz identidade com a segunda operação aplicada:

E 2 = 0 1 0 1 0 0 0 0 1

Agora a matriz E 3 vai ser uma matriz identidade com a terceira operação aplicada:

E 3 = 1 0 0 2 1 0 0 0 1

Agora a matriz... Ahh já deu pra entender né? Então as outras matrizes vão ficar assim:

E 4 = 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1

E 5 = 1 0 0 0 1 0 0 1 1

E agora, como faço pra achar a matriz escalonada? Basta multiplicar as matizes na ordem das operações apresentadas!

OBS: Vamos chamar a matriz escalonada de U

E 5 E 4 E 3 E 2 E 1 A = U

Se você efetuar essa multiplicação verá que:

U = - 1 4 1 0 - 3 2 0 0 2

Prático não??!

Mas e se a gente só tivesse a matriz escalonada U e as operações aplicadas na matriz A , como descobriríamos quem é a matriz A ??? Olhe a nossa equação ali em cima! Vamos isolar a matriz A !

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 U

Antes de se preocupar como acharemos essas matrizes inversas, repare que para isolarmos A , tivemos que multiplicar pelas matrizes inversas À ESQUERDA! Lembre-se que em matrizes importa o lado que você multiplica as matrizes. Fazendo isso, a ordem se altera então fique atento a isso!!

Tá, agora como eu acho a matriz inversa? Bom aí vem a dica:

  1. Se você multiplicar uma linha por uma constante L i ← k ⋅ L i , basta dividir a linha L i da matriz identidade por k ∈ R .
  2. Se você permutar duas linhas L i ↔ L j ,   i ≠ j , a matriz inversa será igual a matriz elementar original!
  3. Se você fizer a operação L i ← L i + k ⋅ L j , então a matriz inversa será a matriz elementar só que o k possui sinal trocado.

Vamos fazer o caminho inverso com a nossa matriz acima.

A primeira operação, nós dividimos uma linha por uma constante, então na matriz inversa vamos multiplicar a linha por essa constante, ou seja, vamos fazer L 2 ← - 2 L 2

E 1 - 1 = 1 0 0 0 - 2 0 0 0 1

A segunda permutamos duas linhas, então ficará igual a matriz elementar original:

E 2 - 1 = E 2

As últimas três operações são do tipo: L i ← L i + k ⋅ L j

Vou botar aqui as matrizes elementares originais:

E 3 = 1 0 0 2 1 0 0 0 1

E 4 = 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1

E 5 = 1 0 0 0 1 0 0 1 1

Repare que na matriz E 3 k = 2 . Na matriz E 4 k = - 1 . E na matriz E 5 k = 1 . Agora as duas inversas são iguaizinhas só que o k possui sinal trocado! Logo:

E 3 - 1 = 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

E 4 - 1 = 1 0 0 0 1 0 1 0 1

E 5 - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 - 1 1

Assim, pegar essas matrizes e fizer a seguinte operação:

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 U

Terá a sua matriz A original. :D

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Escreva as matrizes elementares referentes às operações elementares usadas para escalonar a matriz abaixo:

A = 1 0 1 1 1 2 1 1 1

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Passo 1

Primeira coisa é escalonar a matriz A :

1 0 1 0 1 1 1 1 1 L 2 ← L 2 - L 1

1 0 1 0 1 1 0 1 0 L 3 ← L 3 - L 1

1 0 1 0 1 1 0 0 - 1 L 3 ← L 3 - L 2

Passo 2

Agora vamos montar as matrizes elementares.

Para montar as matrizes elementares temos que aplicar cada um das operações elementares em uma matriz identidade:

L 2 ← L 2 - L 1 :

E 1 = 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1

L 3 ← L 3 - L 1 :

E 2 = 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1

L 3 ← L 3 - L 2 :

E 3 = 1 0 0 0 1 0 0 - 1 1

Resposta

E 1 = 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1

E 2 = 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1

E 3 = 1 0 0 0 1 0 0 - 1 1

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Sabendo que foram usadas as seguintes operações elementares para escalonar totalmente uma matriz A 3 × 3 :

L 2 ← L 2 - 2 L 1

L 3 ← L 3 - 2 L 1

L 3 ↔ L 2

L 3 ← - L 3

L 2 ← L 2 + L 1

L 1 ← L 1 - L 3

Ache a matriz A .

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Passo 1

O que sabemos até agora é que aplicamos essas 6 operações elementares em uma matriz A e como consequência obtivemos a matriz identidade, já que foi totalmente escalonada.

E 6 E 5 E 4 E 3 E 2 E 1 ⋅ A = I

Como queremos saber quem é a matriz A , vamos isolá-la:

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 E 6 - 1 ⋅ I

Como a matriz identidade não altera nada:

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 E 6 - 1

Sendo assim, basta inverter as matrizes elementares e depois multiplicá-las na ordem apresentada!

Passo 2

Tá, então agora vamos montar as matrizes elementares:

E 1 = 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

E 2 = 1 0 0 0 1 0 - 2 0 1

E 3 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

E 4 = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

E 5 = 1 0 0 1 1 0 0 0 1

E 6 = 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Agora que já temos as matrizes elementares, vamos inverter as matrizes:

E 1 - 1 = 1 0 0 2 1 0 0 0 1

E 2 - 1 = 1 0 0 0 1 0 2 0 1

E 3 - 1 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

E 4 - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

E 5 - 1 = 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1

E 6 - 1 = 1 0 1 0 1 0 0 0 1

Agora é só multiplicar as matrizes:

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 E 6 - 1 = 1 0 1 2 0 1 1 1 1

Resposta

A = 1 0 1 2 0 1 1 1 1

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Considerando que para escalonar uma matriz foram utilizados os seguintes procedimentos:

L 1 → L 1 + L 2

L 3 → L 3 + 2 L 1

L 2 → L 2 + L 3

Escreva as matrizes elementares relacionadas a esse escalonamento.

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Passo 1

Vamos ver, no primeiro procedimento foi realizado L 1 → L 1 + L 2 , então a primeira matriz elementar vai ser uma matriz identidade onde a primeira linha é a soma de L 1 com L 2 :

E 1 = 1 1 0 0 1 0 0 0 1

Já no segundo procedimento, foi realizado L 3 → L 3 + 2 L 1 , então a matriz elementar vai ser uma matriz identidade onde L 3 é a soma de L 3 com 2 L 1 :

E 2 = 1 0 0 0 1 0 2 0 1

Analogamente, no último procedimento, onde L 2 → L 2 + L 3 :

E 3 = 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Prontinhoo, achamos nossas matrizes elementares :D

Resposta

E 1 = 1 1 0 0 1 0 0 0 1

E 2 = 1 0 0 0 1 0 2 0 1

E 3 = 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Considere as afirmativas abaixo:

I – As matrizes 0 1 1 0 e 3 4 0 0 1 são ambas elementares.

II – A matriz 2 0 0 0 5 0 0 0 1 é uma matriz elementar.

III – Matrizes elementares quaisquer multiplicadas por uma matriz A sempre vão resultar em uma matriz escalonada.

Estão corretas, apenas:

a) I e II

b) I

c) II e III

d) III

e) I, II e III

f) II

g) I e III

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Passo 1

Bora lá analisar cada uma das afirmativas:

I – Na primeira matriz, percebemos que ela é a matriz identidade com as linhas trocadas, ou seja, com a operação elementar L 1 ⇔ L 2 , portanto ela é elementar. Na segunda matriz, vemos que ela é a matriz identidade com a primeira linha multiplicada por 3 4 , ou seja, L 1 → 3 4 L 1 , então ela também é elementar. Looogo, essa afirmativa é verdadeira :D

II – A matriz 2 0 0 0 5 0 0 0 1 é a matriz identidade com a primeira linha multiplicada por 2 e a segunda linha multiplicada por 5. E