Matriz Elementar

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Teoria

E aí! Seja bem vindo ao Responde Aí! Vem comigo para aprender um conceito muito elementar: a matriz elementar 🤣 🤦🏾‍♀️

Sherlock Matriz
Sherlock Matriz

O que é uma matriz elementar?

Uma matriz elementar nada mais é que uma matriz identidade que sofreu alguma operação elementar. (Não lembra das operações elementares? clica no link!)

Vamos considerar a seguinte matriz identidade:

Vamos criar cinco matrizes elementares: , , , e , fazendo as operações elementares indicadas a seguir na matriz identidade considerada.

: operação —

Então, se pegarmos a matriz identidade e multiplicarmos a segunda linha por obtemos a matriz elementar .

: operação —

Então, se pegarmos a matriz identidade e trocarmos a segunda linha da matriz identidade com a primeira obtemos a matriz elementar .

: operação —

Então, se pegarmos a primeira linha da matriz identidade, multiplicarmos por e depois somar esse resultado à linha dois, obtemos a matriz elementar .

: operação —

Então, se pegarmos a terceira linha da matriz identidade e subtrairmos a primeira linha obtemos a matriz elementar .

: operação —

Então, se pegarmos a terceira linha da matriz identidade e somarmos a segunda linha obtemos a matriz elementar .

Sacou? Achamos cinco matrizes elementares, só pegando uma matriz identidade e aplicando operações elementares nela.

Nenhum mistério!! 🙌🏾

Pra que serve uma matriz elementar?

Beleza mas pra que serve a matriz elementar? É simples, podemos usar matrizes elementares para escalonar matrizes!

Menina, não acredito
Menina, não acredito

O que fazemos em escalonamento é justamente aplicar diversas operações elementares em sequência na matriz.

E se a gente multiplicar uma nova matriz por uma matriz elementar, o resultado é que as operações elementares da matriz elementar são “transferidas” pra nova matriz.

Por exemplo: imagina que a gente tem uma matriz e identificamos que para escalonar ela a gente precisa fazer as mesmas operações que fizemos para obter as matrizes elementares , , , e , nessa ordem e obtemos como matriz escalonada a matriz .

Ao invés de escalonar aplicando as operações elementares na matriz diretamente, a gente pode simplesmente multiplicar ela pelas elementares e assim obtemos a matriz escalonada:

Irado não é?

Então da uma olha nesse vídeo de exercício sobre matrizes elementares:

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Escreva as matrizes elementares referentes às operações elementares usadas para escalonar a matriz abaixo:

A = 1 0 1 1 1 2 1 1 1

Passo 1

Primeira coisa é escalonar a matriz A :

1 0 1 0 1 1 1 1 1 L 2 ← L 2 - L 1

1 0 1 0 1 1 0 1 0 L 3 ← L 3 - L 1

1 0 1 0 1 1 0 0 - 1 L 3 ← L 3 - L 2

Passo 2

Agora vamos montar as matrizes elementares.

Para montar as matrizes elementares temos que aplicar cada um das operações elementares em uma matriz identidade:

L 2 ← L 2 - L 1 :

E 1 = 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1

L 3 ← L 3 - L 1 :

E 2 = 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1

L 3 ← L 3 - L 2 :

E 3 = 1 0 0 0 1 0 0 - 1 1

Resposta

E 1 = 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1

E 2 = 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1

E 3 = 1 0 0 0 1 0 0 - 1 1

Exercício Resolvido #2

Sabendo que foram usadas as seguintes operações elementares para escalonar totalmente uma matriz A 3 × 3 :

L 2 ← L 2 - 2 L 1

L 3 ← L 3 - 2 L 1

L 3 ↔ L 2

L 3 ← - L 3

L 2 ← L 2 + L 1

L 1 ← L 1 - L 3

Ache a matriz A .

Passo 1

O que sabemos até agora é que aplicamos essas 6 operações elementares em uma matriz A e como consequência obtivemos a matriz identidade, já que foi totalmente escalonada.

E 6 E 5 E 4 E 3 E 2 E 1 ⋅ A = I

Como queremos saber quem é a matriz A , vamos isolá-la:

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 E 6 - 1 ⋅ I

Como a matriz identidade não altera nada:

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 E 6 - 1

Sendo assim, basta inverter as matrizes elementares e depois multiplicá-las na ordem apresentada!

Passo 2

Tá, então agora vamos montar as matrizes elementares:

E 1 = 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

E 2 = 1 0 0 0 1 0 - 2 0 1

E 3 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

E 4 = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

E 5 = 1 0 0 1 1 0 0 0 1

E 6 = 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Agora que já temos as matrizes elementares, vamos inverter as matrizes:

E 1 - 1 = 1 0 0 2 1 0 0 0 1

E 2 - 1 = 1 0 0 0 1 0 2 0 1

E 3 - 1 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

E 4 - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

E 5 - 1 = 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1

E 6 - 1 = 1 0 1 0 1 0 0 0 1

Agora é só multiplicar as matrizes:

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 E 6 - 1 = 1 0 1 2 0 1 1 1 1

Resposta

A = 1 0 1 2 0 1 1 1 1

Exercício Resolvido #3

Considerando que para escalonar uma matriz foram utilizados os seguintes procedimentos:

L 1 → L 1 + L 2

L 3 → L 3 + 2 L 1

L 2 → L 2 + L 3

Escreva as matrizes elementares relacionadas a esse escalonamento.

Passo 1

Vamos ver, no primeiro procedimento foi realizado L 1 → L 1 + L 2 , então a primeira matriz elementar vai ser uma matriz identidade onde a primeira linha é a soma de L 1 com L 2 :

E 1 = 1 1 0 0 1 0 0 0 1

Já no segundo procedimento, foi realizado L 3 → L 3 + 2 L 1 , então a matriz elementar vai ser uma matriz identidade onde L 3 é a soma de L 3 com 2 L 1 :

E 2 = 1 0 0 0 1 0 2 0 1

Analogamente, no último procedimento, onde L 2 → L 2 + L 3 :

E 3 = 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Prontinhoo, achamos nossas matrizes elementares :D

Resposta

E 1 = 1 1 0 0 1 0 0 0 1

E 2 = 1 0 0 0 1 0 2 0 1

E 3 = 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Exercício Resolvido #4

Considere as afirmativas abaixo:

I – As matrizes 0 1 1 0 e 3 4 0 0 1 são ambas elementares.

II – A matriz 2 0 0 0 5 0 0 0 1 é uma matriz elementar.

III – Matrizes elementares quaisquer multiplicadas por uma matriz A sempre vão resultar em uma matriz escalonada.

Estão corretas, apenas:

a) I e II

b) I

c) II e III

d) III

e) I, II e III

f) II

g) I e III

Passo 1

Bora lá analisar cada uma das afirmativas:

I – Na primeira matriz, percebemos que ela é a matriz identidade com as linhas trocadas, ou seja, com a operação elementar L 1 ⇔ L 2 , portanto ela é elementar. Na segunda matriz, vemos que ela é a matriz identidade com a primeira linha multiplicada por 3 4 , ou seja, L 1 → 3 4 L 1 , então ela também é elementar. Looogo, essa afirmativa é verdadeira :D

II – A matriz 2 0 0 0 5 0 0 0 1 é a matriz identidade com a primeira linha multiplicada por 2 e a segunda linha multiplicada por 5. Epaa, peraí! Essa matriz passou por DUAS operações elementares. E pra ser elementar de verdade só podia passar por uma :/ Então essa afirmativa é falsa!

III – Faaalso galera! A afirmativa ta falando que se pegarmos matrizes elementares QUAISQUER multiplicarmos por outra matriz A , vamos ter uma matriz escalonada. Mas não é bem assim, não podemos tirar matrizes elementares da nossa cabeça, tem que ser as matrizes elementares que condizem com o escalonamento daquela matriz A belezinha?

Só a afirmativa I está correta, então a alternativa correta é a b de bola :D

Resposta

b) I

Exercício Resolvido #5

Seja a matriz A :

A = 1 2 1 - 1

Escreva as matrizes elementares referentes ao seu escalonamento.

Passo 1

Pra encontrarmos as matrizes elementares, primeiro vamos escalonar a matriz A :

A = 1 2 1 - 1

O primeiro passo vai ser fazer L 1 → L 1 - L 2 :

A = 0 3 1 - 1

Agora vamos fazer L 1 ⇔ L 2 :

A = 1 - 1 0 3

Boaa! Nossa matriz está escalonada!! :D

Agora vamos escrever as matrizes elementares.

Passo 2

No primeiro passo, fizemos L 1 → L 1 - L 2 , então nossa primeira matriz elementar vai ser a primeira linha da matriz identidade 2 x 2 menos a segunda:

E 1 = 1 - 1 0 1

Já a segunda matriz elementar, vai ser a matriz identidade com as linhas trocadas, já que fizemos L 1 ⇔ L 2 :

E 2 = 0 1 1 0

Prontinhoo, encontramos nossas matrizes elementares :D

Lembrando que fizermos a multiplicação E 2 . E 1 . A , teremos a matriz A escalonada ;)

Resposta

E 1 = 1 - 1 0 1

E 2 = 0 1 1 0

Exercício Resolvido #6

Considere a matriz:

1 2 - 1 0 3 2 1 0 1

Escreva as matrizes elementares relacionadas ao escalonamento dessa matriz.

Passo 1

Antes de tudo, vamos escalonar a matriz

1 2 - 1 0 3 2 1 0 1

O primeiro passo vai ser L 3 → L 3 - L 1 :

1 2 - 1 0 3 2 0 - 2 2

Agora vamos fazer L 2 → 2 3 L 2 :

1 2 - 1 0 2 4 3 0 - 2 2

Por fim, vamos fazer L 3 → L 3 + L 2 :

1 2 - 1 0 2 4 3 0 0 10 3

Enfimm, escalonada hehe

Agora vamos escrever as matrizes elementares.

Passo 2

A primeira matriz elementar vai ser a matriz identidade 3 x 3 com a operação L 3 → L 3 - L 1

E 1 = 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1

Já a segunda matriz elementar, vai ser a matriz identidade com a operação L 2 → 2 3 L 2

E 2 = 1 0 0 0 2 3 0 0 0 1

E a terceira e última matriz elementar vai ter a operação L 3 → L 3 + L 2 em cima da matriz identidade:

E 3 = 1 0 0 0 1 0 0 1 1

E essas são as nossas matrizes elementares pra esse caso :)

Resposta

E 1 = 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1

E 2 = 1 0 0 0 2 3 0 0 0 1

E 3 = 1 0 0 0 1 0 0 1 1

Exercício Resolvido #7

Dada a matriz:

1 2 - 1 1 2 4 - 2 3 - 3 - 6 2 - 1

Escreva as matrizes elementares do escalonamento dessa matriz.

Passo 1

Escalonando a matriz:

1 2 - 1 1 2 4 - 2 3 - 3 - 6 2 - 1

Primeiro vamos fazer L 3 → L 3 + 3 L 1 :

1 2 - 1 1 2 4 - 2 3 0 0 - 1 2

Agora vamos fazer L 2 → L 2 - 2 L 1 :

1 2 - 1 1 0 0 0 1 0 0 - 1 2

Enfim, vamos trocar a linha 2 com a linha 3:

1 2 - 1 1 0 0 - 1 2 0 0 0 1

Prontinhoo, ta escalonada!!

Agora vamos escrever as matrizes elementares.

Passo 2

A primeira matriz elementar vai ser a matriz identidade 3 x 3 com a operação L 3 → L 3 + 3 L 1

E 1 = 1 0 0 0 1 0 3 0 1

A segunda vai ser a matriz identidade com a operação L 2 → L 2 - 2 L 1

E 2 = 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

E a terceira vai ser a matriz identidade com a segunda e a terceira linha trocas:

E 3 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

E essas são as nossas matrizes elementares pra esse caso :)

Resposta

E 1 = 1 0 0 0 1 0 3 0 1

E 2 = 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

E 3 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

Exercício Resolvido #8

Sabendo que para escalonar totalmente uma matriz A foram realizados os seguintes processos:

L 2 → L 2 - L 1 2

L 3 → L 3 - 6 L 2

Encontre a matriz A .

Passo 1

Sabemos que esse escalonamento envolve 2 matrizes elementares (pois foram realizados apenas 2 processos). As matrizes elementares E 1 e E 2 satisfazem:

E 2 . E 1 . A = I

Onde I é a matriz identidade, já que a matriz A foi totalmente escalonada.

Para acharmos A , teremos:

A = E 1 - 1 . E 2 - 1 . I

Como a matriz identidade não muda nada, teremos apenas:

A = E 1 - 1 . E 2 - 1

Então só precisamos achar E 1 , E 2 e suas inversas fechou?

Passo 2

As matrizes E 1 e E 2 podem ser encontradas simplesmente com base nos processos dados pelo enunciado.

No caso, E 1 vai ser a matriz identidade 3 x 3 com a operação L 2 → L 2 - L 1 2 :

E 1 = 1 0 0 - 1 2 1 0 0 0 1

E E 2 vai ser a matriz identidade com L 3 → L 3 - 6 L 2 :

E 2 = 1 0 0 0 1 0 0 - 6 1

Agora é só invertermos essas matrizes :)

Passo 3

Pelas regrinhas que vimos lá na teoria, as matrizes invertidas vão ficar assim:

E 1 - 1 = 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1

E 2 - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 6 1

Agora é só aplicar em A = E 1 - 1 . E 2 - 1

Passo 4

Aplicando:

A = 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 . 1 0 0 0 1 0 0 6 1

Realizando essa multiplicação de matrizes, vamos ter:

A = 1 0 0 1 2 1 0 0 6 1

Resposta

A = 1 0 0 1 2 1 0 0 6 1

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