Matrizes Elementares

Teoria Completa

Introdução

Você já deve ter estudado como se escalona uma matriz, não é mesmo? Além de escalonarmos uma matriz aplicando as operações elementares diretamente nela, podemos também fazer isso de um jeito um pouco indireto. Mas como?? Multiplicando matrizes!

Por exemplo, nessa matriz aqui embaixo:

Para escalonar ela tivemos que aplicar essas operações aqui, NESTA ORDEM!

  1. L 2 ← - 1 2 L 2
  2. L 2 ↔ L 1
  3. L 2 ← L 2 + 2 L 1
  4. L 3 ← L 3 - L 1
  5. L 3 ← L 3 + L 2

Agora se você quisesse escalonar essa matriz, bastaria aplicar essas operações ai em cima não é? Mas a grande coisa é que podemos fazer isso multiplicando matrizes! MAS COMO ISSO?

É assim: Basta você aplicar as operações elementares em uma matriz identidade! Hã como assim?

Matrizes elementares

Matrizes elementares são as matrizes identidades que sofreram alguma operação elementar.

Vamos chamar de E 1 ,   E 2 ,   E 3 ,   E 4 ,   E 5 as matrizes elementares correspondentes às operações elementares descritas.Assim, a primeira operação corresponde a E 1 , a segunda a E 2 e assim por diante…

A nossa matriz E 1 vai ser uma matriz identidade com a primeira operação aplicada, que foi L 2 ← - 1 2 L 2 ou seja, multiplicar a segunda coluna por - 1 2 . Da mesma forma, iremos multiplicar a segunda linha da matriz identidade por - 1 2 :

Agora a matriz E 2 vai ser uma matriz identidade com a segunda operação aplicada, L 2 ↔ L 1 , que seria trocar a segunda linha da matriz identidade com a primeira:

Agora a matriz E 3 vai ser uma matriz identidade com a terceira operação aplicada, L 2 ← L 2 + 2 L 1 , onde multiplicamos a primeira linha por dois e somamos com a segunda linha :

Agora a matriz... Ahh já deu pra entender né? Vamos encontrar as matrizes E 4   e   E 5 a partir da matriz identidade com as operações indicadas na introdução. Então as outras matrizes vão ficar assim:

E agora, como faço pra achar a matriz escalonada? Basta multiplicar as matrizes na ordem das operações apresentadas!

OBS: Vamos chamar a matriz escalonada de U

E 5 E 4 E 3 E 2 E 1 A = U

Se você efetuar essa multiplicação verá que:

Prático não??!

Mas e se a gente só tivesse a matriz escalonada U e as operações aplicadas na matriz A , como descobriremos quem é a matriz A ??? Olhe a nossa equação ali em cima! Vamos isolar a matriz A !

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 U

Se tivermos as inversas das matrizes elementares o problema seria resolvido.

Antes de se preocupar como acharemos essas matrizes inversas, repare que para isolarmos A , tivemos que multiplicar pelas matrizes inversas À ESQUERDA! Lembre-se que em matrizes importa o lado que você multiplica as matrizes. Fazendo isso, a ordem se altera então fique atento a isso!!

Matrizes elementares inversas

Tá, agora como eu acho a matriz inversa? Bom aí vem a dica:

  1. Se você multiplicar uma linha por uma constante k , L i ← k ⋅ L i , para achar a matriz inversa basta dividir a linha L i da matriz identidade por k ∈ R .
  2. Se você permutar duas linhas L i ↔ L j ,   i ≠ j , a matriz inversa será igual a matriz elementar original!
  3. Se você fizer a operação L i ← L i + k ⋅ L j , então a matriz inversa será a matriz elementar só que o k possui sinal trocado.

Vamos fazer o caminho inverso com a nossa matriz acima.

A primeira operação, nós dividimos uma linha por uma constante, então na matriz inversa vamos multiplicar a linha por essa constante, ou seja, vamos fazer L 2 ← - 2 L 2

A segunda permutamos duas linhas, então ficará igual a matriz elementar original:

E 2 - 1 = E 2

As últimas três operações são do tipo: L i ← L i + k ⋅ L j

Vou botar aqui as matrizes elementares originais:

Repare que na matriz E 3 k = 2 . Na matriz E 4 k = - 1 . E na matriz E 5 k = 1 . Agora as duas inversas são iguaizinhas só que o k possui sinal trocado! Logo:

Assim, pegar essas matrizes e fizer a seguinte operação:

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 U

Terá a sua matriz A original. :D

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Escreva as matrizes elementares referentes às operações elementares usadas para escalonar a matriz abaixo:

A = 1 0 1 1 1 2 1 1 1

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Passo 1

Primeira coisa é escalonar a matriz A :

1 0 1 0 1 1 1 1 1 L 2 ← L 2 - L 1

1 0 1 0 1 1 0 1 0 L 3 ← L 3 - L 1

1 0 1 0 1 1 0 0 - 1 L 3 ← L 3 - L 2

Passo 2

Agora vamos montar as matrizes elementares.

Para montar as matrizes elementares temos que aplicar cada um das operações elementares em uma matriz identidade:

L 2 ← L 2 - L 1 :

E 1 = 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1

L 3 ← L 3 - L 1 :

E 2 = 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1

L 3 ← L 3 - L 2 :

E 3 = 1 0 0 0 1 0 0 - 1 1

Resposta

E 1 = 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1

E 2 = 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1

E 3 = 1 0 0 0 1 0 0 - 1 1

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Sabendo que foram usadas as seguintes operações elementares para escalonar totalmente uma matriz A 3 × 3 :

L 2 ← L 2 - 2 L 1

L 3 ← L 3 - 2 L 1

L 3 ↔ L 2

L 3 ← - L 3

L 2 ← L 2 + L 1

L 1 ← L 1 - L 3

Ache a matriz A .

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Passo 1

O que sabemos até agora é que aplicamos essas 6 operações elementares em uma matriz A e como consequência obtivemos a matriz identidade, já que foi totalmente escalonada.

E 6 E 5 E 4 E 3 E 2 E 1 ⋅ A = I

Como queremos saber quem é a matriz A , vamos isolá-la:

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 E 6 - 1 ⋅ I

Como a matriz identidade não altera nada:

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 E 6 - 1

Sendo assim, basta inverter as matrizes elementares e depois multiplicá-las na ordem apresentada!

Passo 2

Tá, então agora vamos montar as matrizes elementares:

E 1 = 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

E 2 = 1 0 0 0 1 0 - 2 0 1

E 3 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

E 4 = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

E 5 = 1 0 0 1 1 0 0 0 1

E 6 = 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Agora que já temos as matrizes elementares, vamos inverter as matrizes:

E 1 - 1 = 1 0 0 2 1 0 0 0 1

E 2 - 1 = 1 0 0 0 1 0 2 0 1

E 3 - 1 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

E 4 - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

E 5 - 1 = 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1

E 6 - 1 = 1 0 1 0 1 0 0 0 1

Agora é só multiplicar as matrizes:

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 E 6 - 1 = 1 0 1 2 0 1 1 1 1

Resposta

A = 1 0 1 2 0 1 1 1 1

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Considerando que para escalonar uma matriz foram utilizados os seguintes procedimentos:

L 1 → L 1 + L 2

L 3 → L 3 + 2 L 1

L 2 → L 2 + L 3

Escreva as matrizes elementares relacionadas a esse escalonamento.

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Passo 1

Vamos ver, no primeiro procedimento foi realizado L 1 → L 1 + L 2 , então a primeira matriz elementar vai ser uma matriz identidade onde a primeira linha é a soma de L 1 com L 2 :

E 1 = 1 1 0 0 1 0 0 0 1

Já no segundo procedimento, foi realizado L 3 → L 3 + 2 L 1 , então a matriz elementar vai ser uma matriz identidade onde L 3 é a soma de L 3 com 2 L 1 :

E 2 = 1 0 0 0 1 0 2 0 1

Analogamente, no último procedimento, onde L 2 → L 2 + L 3 :

E 3 = 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Prontinhoo, achamos nossas matrizes elementares :D

Resposta

E 1 = 1 1 0 0 1 0 0 0 1

E 2 = 1 0 0 0 1 0 2 0 1

E 3 = 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Considere as afirmativas abaixo:

I – As matrizes 0 1 1 0 e 3 4 0 0 1 são ambas elementares.

II – A matriz 2 0 0 0 5 0 0 0 1 é uma matriz elementar.

III – Matrizes elementares quaisquer multiplicadas por uma matriz A sempre vão resultar em uma matriz escalonada.

Estão corretas, apenas:

a) I e II

b) I

c) II e III

d) III

e) I, II e III

f) II

g) I e III

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Passo 1

Bora lá analisar cada uma das afirmativas:

I – Na primeira matriz, percebemos que ela é a matriz identidade com as linhas trocadas, ou seja, com a operação elementar L 1 ⇔ L 2 , portanto ela é elementar. Na segunda matriz, vemos que ela é a matriz identidade com a primeira linha multiplicada por 3 4 , ou seja, L 1 → 3 4 L 1 , então ela também é elementar. Looogo, essa afirmativa é verdadeira :D

II – A matriz 2 0 0 0 5 0 0 0 1 é a matriz identidade com a primeira linha multiplicada por 2 e a segunda linha multiplicada por 5. Epaa, peraí! Essa matriz passou por DUAS operações elementares. E pra ser elementar de verdade só podia passar por uma :/ Então essa afirmativa é falsa!

III – Faaalso galera! A afirmativa ta falando que se pegarmos matrizes elementares QUAISQUER multiplicarmos por outra matriz A , vamos ter uma matriz escalonada. Mas não é bem assim, não podemos tirar matrizes elementares da nossa cabeça, tem que ser as matrizes elementares que condizem com o escalonamento daquela matriz A belezinha?

Só a afirmativa I está correta, então a alternativa correta é a b de bola :D

Resposta

b) I

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Seja a matriz A :

A = 1 2 1 - 1

Escreva as matrizes elementares referentes ao seu escalonamento.

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Passo 1

Pra encontrarmos as matrizes elementares, primeiro vamos escalonar a matriz A :

A = 1 2 1 - 1

O primeiro passo vai ser fazer L 1 → L 1 - L 2 :

A = 0 3 1 - 1

Agora vamos fazer L 1 ⇔ L 2 :

A = 1 - 1 0 3

Boaa! Nossa matriz está escalonada!! :D

Agora vamos escrever as matrizes elementares.

Passo 2

No primeiro passo, fizemos L 1 → L 1 - L 2 , então nossa primeira matriz elementar vai ser a primeira linha da matriz identidade 2 x 2 menos a segunda:

E 1 = 1 - 1 0 1

Já a segunda matriz elementar, vai ser a matriz identidade com as linhas trocadas, já que fizemos L 1 ⇔ L 2 :

E 2 = 0 1 1 0

Prontinhoo, encontramos nossas matrizes elementares :D

Lembrando que fizermos a multiplicação E 2 . E 1 . A , teremos a matriz A escalonada ;)

Resposta

E 1 = 1 - 1 0 1

E 2 = 0 1 1 0

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Considere a matriz:

1 2 - 1 0 3 2 1 0 1

Escreva as matrizes elementares relacionadas ao escalonamento dessa matriz.

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Passo 1

Antes de tudo, vamos escalonar a matriz

1 2 - 1 0 3 2 1 0 1

O primeiro passo vai ser L 3 → L 3 - L 1 :

1 2 - 1 0 3 2 0 - 2 2

Agora vamos fazer L 2 → 2 3 L 2 :

1 2 - 1 0 2 4 3 0 - 2 2

Por fim, vamos fazer L 3 → L 3 + L 2 :

1 2 - 1 0 2 4 3 0 0 10 3

Enfimm, escalonada hehe

Agora vamos escrever as matrizes elementares.

Passo 2

A primeira matriz elementar vai ser a matriz identidade 3 x 3 com a operação L 3 → L 3 - L 1

E 1 = 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1

Já a segunda matriz elementar, vai ser a matriz identidade com a operação L 2 → 2 3 L 2

E 2 = 1 0 0 0 2 3 0 0 0 1

E a terceira e última matriz elementar vai ter a operação L 3 → L 3 + L 2 em cima da matriz identidade:

E 3 = 1 0 0 0 1 0 0 1 1

E essas são as nossas matrizes elementares pra esse caso :)

Resposta

E 1 = 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1

E 2 = 1 0 0 0 2 3 0 0 0 1

E 3 = 1 0 0 0 1 0 0 1 1

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Dada a matriz:

1 2 - 1 1 2 4 - 2 3 - 3 - 6 2 - 1

Escreva as matrizes elementares do escalonamento dessa matriz.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Escalonando a matriz:

1 2 - 1 1 2 4 - 2 3 - 3 - 6 2 - 1

Primeiro vamos fazer L 3 → L 3 + 3 L 1 :

1 2 - 1 1 2 4 - 2 3 0 0 - 1 2

Agora vamos fazer L 2 → L 2 - 2 L 1 :

1 2 - 1 1 0 0 0 1 0 0 - 1 2

Enfim, vamos trocar a linha 2 com a linha 3:

1 2 - 1 1 0 0 - 1 2 0 0 0 1

Prontinhoo, ta escalonada!!

Agora vamos escrever as matrizes elementares.

Passo 2

A primeira matriz elementar vai ser a matriz identidade 3 x 3 com a operação L 3 → L 3 + 3 L 1

E 1 = 1 0 0 0 1 0 3 0 1

A segunda vai ser a matriz identidade com a operação L 2 → L 2 - 2 L 1

E 2 = 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

E a terceira vai ser a matriz identidade com a segunda e a terceira linha trocas:

E 3 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

E essas são as nossas matrizes elementares pra esse caso :)

Resposta

E 1 = 1 0 0 0 1 0 3 0 1

E 2 = 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

E 3 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria

Sabendo que para escalonar totalmente uma matriz A foram realizados os seguintes processos:

L 2 → L 2 - L 1 2

L 3 → L 3 - 6 L 2

Encontre a matriz A .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que esse escalonamento envolve 2 matrizes elementares (pois foram realizados apenas 2 processos). As matrizes elementares E 1 e E 2 satisfazem:

E 2 . E 1 . A = I

Onde I é a matriz identidade, já que a matriz A foi totalmente escalonada.

Para acharmos A , teremos:

A = E 1 - 1 . E 2 - 1 . I

Como a matriz identidade não muda nada, teremos apenas:

A = E 1 - 1 . E 2 - 1

Então só precisamos achar E 1 , E 2 e suas inversas fechou?

Passo 2

As matrizes E 1 e E 2 podem ser encontradas simplesmente com base nos processos dados pelo enunciado.

No caso, E 1 vai ser a matriz identidade 3 x 3 com a operação L 2 → L 2 - L 1 2 :

E 1 = 1 0 0 - 1 2 1 0 0 0 1

E E 2 vai ser a matriz identidade com L 3 → L 3 - 6 L 2 :

E 2 = 1 0 0 0 1 0 0 - 6 1

Agora é só invertermos essas matrizes :)

Passo 3

Pelas regrinhas que vimos lá na teoria, as matrizes invertidas vão ficar assim:

E 1 - 1 = 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1

E 2 - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 6 1

Agora é só aplicar em A = E 1 - 1 . E 2 - 1

Passo 4

Aplicando:

A = 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 . 1 0 0 0 1 0 0 6 1

Realizando essa multiplicação de matrizes, vamos ter:

A = 1 0 0 1 2 1 0 0 6 1

Resposta

A = 1 0 0 1 2 1 0 0 6 1

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