Escalonamento
Teoria
Operações Elementares
É bom você saber que esse nome, “operação” não tem nada a ver com adição, multiplicação, etc. Na verdade, as operações elementares de uma matriz são essas:
- Trocar linhas de lugar - ;
- Multiplicar linhas por um escalar (diferente de zero) - ;
- Trocar uma linha por uma combinação linear dela com outra linha - ;
- Descartar uma linha que tenha só zeros.
Se você fizer uma dessas operações em uma matriz qualquer, terá uma matriz equivalente à que você tinha antes. Mas equivalente não quer dizer igual, hein! Denotamos matrizes equivalentes com o símbolo . Olha só:
Todas as quatro matrizes acima são equivalentes!
Consegue ver quais operações elementares eu usei para gerar cada uma?
Vou te ajudar:
- No passo eu multipliquei a 2ª linha por . Toda vez que eu fizer essa operação, vou indicar assim:
- No passo eu troquei a 1ª linha de lugar com a 3ª, vou indicar assim:
- No passo eu troquei a 3ª linha por . Mas de onde eu tirei isso? Se você reparar, , e logo é uma combinação linear da 2ª com a 3ª linha. Vou indicar assim:
(Essa notação significa que a nova linha 2 foi substituída pela metade da antiga)
(Significa que a nova linha 3 é a antiga linha 3 menos a antiga linha 2)
Se acostume com essas notações, pois vamos usar as operações elementares o tempo inteiro!
Eliminação de Gauss (Escalonamento)
Esse aí é o nome verdadeiro do método, mas para os íntimos é escalonamento. Mas o que é isso?
Escalonar uma matriz significa usar as operações elementares até gerar uma matriz equivalente que esteja na sua forma escalonada.
Deu na mesma, pois talvez você nem saiba o que é a forma escalonada ¬¬’
Nada mais simples de entender. Vamos definir!
Uma matriz “na forma escalonada” é uma matriz triangular superior.
(P.S.: pra você lembrar, é aquela que a segunda linha começa com um zero, a terceira começa com dois zeros, assim sucessivamente.)
Tá bom, mas por que vamos precisar fazer isso?
Bom, primeiramente, para simplificar nossas matrizes, e portanto nossas vidas hahaha. Mas principalmente porque esse método vai ser muito importante pra nos ajudar a verificar a dependência linear de um conjunto de vetores, os vetores que estão nas linhas das matrizes. Ou seja, conseguimos, através do escalonamento, descobrir se um conjunto é ou . Mas como??
Paciência, gafanhoto, você vai entender daqui a pouquinho.
Vamos ver alguns exemplos de como escalonar uma matriz que nem o velho Gauss fazia, usando as operações elementares.
Vamos lá. Veja a matriz abaixo:
Esse exemplo é fácil! Se trocarmos a primeira com a segunda linha, temos:
E pronto! Já está na sua forma escalonada!
Olhe pra essa:
Bom, queremos gerar um zero no local indicado. E aí, como eu faço isso?
A ideia é usar a terceira operação elementar, e tentar achar uma combinação linear de e que tenha na primeira coordenada desses vetores (se é que podemos chamar eles assim).
Pensa aí.
Pensou?
Uma solução para isso é fazer .
Agora podemos trocar a segunda linha (pois ela estava sem o zero) por . Veja:
Bom, o método é esse.
Mas eu quero que isso seja automático e que você faça rapidinho, sem pensar muito!
Acho que você também quer isso, não é verdade? Então vamos treinar o algoritmo.
O Algoritmo
Um algoritmo é tudo o que você quer nessa hora. Para quem não sabe um algoritmo é um método para resolver algo.
Mas antes você vai precisar saber o que é um pivô.
Pivô: É o primeiro elemento não nulo de cada linha
Notação: Vamos chamar o pivô de
Agora vamos esquematizar!
Os passos são esses:
- Encontrar o pivô da 1ª linha
- Zerar todos os elementos abaixo desse pivô
- Encontrar o pivô da 2ª linha
- Zerar todos os elementos abaixo desse pivô
- Encontrar o pivô da 3ª linha
- Zerar todos os... ah, por favor, você já sabe o resto. Faz isso até acabarem as linhas da matriz.
A matriz que vamos usar como exemplo é essa:
PASSO 1: ENCONTRAR O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA
Nesse caso, o primeiro pivô da primeira linha é o .
PASSO 2: ZERAR TODOS OS ELEMENTOS ABAIXO DESSE PIVÔ
Pega aquela primeira coluna, .
Queremos zerar o , e o usando o como pivô. Quê que eu faço, então?
Simples! Pra zerar o multiplica o por e soma! (Afinal, , num é?)
Só que não é pra você fazer isso só com o , é pra fazer com a linha do .
O que você tem que fazer é: (Linha do )Linha do. Naquela nossa notação:
Assim a nova linha vai ficar .
Vamos fazer a mesma coisa com o !
Queremos zerá-lo usando o como pivô, então basta fazer (Linha do )Linha do.
A nova linha vai ficar .
E por último com o , é só fazer (Linha do )Linha do.
A nova linha 4 vai ficar
Aí nossa matriz equivalente fica:
Zeramos os elementos da primeira coluna abaixo do primeiro pivô da linha ! Qual o próximo passo?
PASSO 3: ENCONTRAR O PIVÔ DA SEGUNDA LINHA
E aí, qual é?
Como sabemos, o pivô é o primeiro elemento da linha que é diferente de zero. Nesse caso é o . Entretanto...
Perceba que podemos dividir toda essa linha por , e que com isso seu pivô será o , ficando muito mais fácil de se trabalhar no futuro.
A 2ª linha é toda divisível por , então esse passo intermediário vai simplificar sua vida.
Pronto. Nem sempre a linha vai ser divisível, mas sempre que puder “transformar” seu pivô em ou , seja multiplicando linhas, dividindo ou trocando de lugar, faça! (Se não der, paciência... )
Voltando aos passos...
PASSO 4: ZERAR TODOS OS ELEMENTOS ABAIXO DESSE PIVÔ
Aaah, como o pivô é , isso é fácil! :D
Multiplica por (que é o número na coluna logo abaixo) e soma, que nem fizemos no passo (só que agora estamos usando o pivô da linha 2). Em notação:
Assim a nova linha 3 será .
E por fim multiplicamos por e somamos com a última linha:
A nova linha 4 será .
Opa, a linha zerou!! Sabe o que isso significa? Que o conjunto de vetores que estão nas linhas, é. Além disso, podemos tirar mais uma conclusão: o conjunto é porque o vetor é dos demais.
Ué, mas de onde veio isso???
Veio do fato que foi a linha desse vetor que foi zerada!! Então, quando uma linha é zerada no escalonamento, quer dizer que o vetor que se encontrava nela na matriz original é combinação linear dos vetores das outras linhas, tornando os vetores linha um conjunto.
Além disso, podemos retirar a linha zerada da matriz, então tcharaaam, nossa matriz escalonada:
Método de Gauss-Jordan
Esse método com nome estranho é na verdade uma continuação do anterior!
Só que em vez de deixar a matriz na forma escalonada, vamos deixá-la na forma totalmente escalonada (alguns chamam de forma escalonada reduzida).
E o que é isso?
Uma matriz em sua forma totalmente escalonada tem que obedecer o seguinte:
Cuidado com esta última! Não vai ficar achando que o pivô só possui elementos abaixo dele, podem ter acima também!
Vamos exemplificar com a matriz que usamos antes:
A forma totalmente escalonada dela seria assim:
O método de Gauss-Jordan consiste nos seguintes passos:
PASSO 1: COLOQUE A MATRIZ NA FORMA ESCALONADA
Esse passo já está feito!
PASSO 2: TODOS OS PIVÔS DEVEM SER 1
Observe que o pivô da primeira e coluna já é , só falta o pivô da segunda e da terceira!
Vamos resolver isso! Fazendo e :
Agora só falta transformar o , o e o em zero (pois eles estão nas colunas que tem pivô).
PASSO 3: ZERAR A ÚLTIMA COLUNA COM PIVÔ, USANDO O PIVÔ
Aqui é a mesma coisa que fizemos para deixar na forma escalonada, só que ao contrário.
Temos que zerar o e o agora, utilizando o pivô logo abaixo deles.
Fazendo a operação , a nova linha fica:
Agora devemos zerar o , então fazemos :
Nossa matriz fica:
PASSO 4: ZERAR A PENÚLTIMA COLUNA COM PIVÔ, USANDO O PIVÔ
Queremos zerar o ali em cima!
Então basta fazer . Vai ficar:
Assim a matriz ficará:
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria
Escalona Aí a seguinte matriz:
Passo 1
Então, meu (minha) caro(a), sabemos que a primeira coisa a se fazer é achar o pivô da primeira linha de , tranquilo?
Show! Neste caso a gente vê que é o 1, já que é o primeiro número da primeira linha, e que é diferente de 0. Daí agora é só zerar todos os números abaixo do 1 fazendo combinações lineares. Saca só:
Daí eu faço , vou ter:
Passo 2
Agora, podemos fazer e também . E aí, teremos:
Multiplicando as linhas 2 e 3 por -1 pras coisas ficarem mais bonitas, vamos ter:
Procurando o nosso pivô, nessa vez na 2ª linha, achamos o número 1. Daí, temos que zerar tudo abaixo do 1.
Fazendo a operação , teremos...
Opa! Nem tem mais o que fazer. Nossa matriz já está escalonada, temos uma matriz triangular superior bonitinha aí. Lembrando que existem várias formas de se escalonar uma matriz, logo existem várias respostas. :D
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Coloque a matriz abaixo em sua forma escalonada
Passo 1
ENCONTRAR O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA
Qual o primeiro elemento não-nulo da primeira linha?
É o !
Encontrado.
Passo 2
ZERAR A PRIMEIRA COLUNA (USANDO O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA)
Nesse caso só precisamos zerar o logo abaixo do pivô, pois os outros elementos já são zero.
Fazendo :
Passo 3
ENCONTRAR O PIVÔ DA SEGUNDA LINHA
O primeiro elemento não nulo da segunda linha é o .
Esse é o momento de dar um stop no que você tá fazendo para ver se tem como transformar o pivô em !
Fazendo:
A nossa matriz fica:
Passo 4
ZERAR A SEGUNDA LINHA
Agora que o nosso pivô já é , é só fazermos
Aí a matriz fica:
Já está em sua forma escalonada, mas vamos nos acostumar sempre a descartar as linhas nulas:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 60 – Prob. 2.4
Determine a forma totalmente escalonada das matrizes abaixo:
Passo 1
Letra
Podemos ver que nosso pivô é igual a , então vamos zerar todo mundo abaixo dele:
Agora vamos olhar pra segunda linha. O pivô dela é o , logo vamos zerar todo mundo em baixo dele:
Antes de continuar vamos já ajeitar esse nosso pivô ai da segunda linha, e transformá-lo em :
Agora, só zerar os elementos acima do pivô da segunda linha:
Pronto é isso aí.
Passo 2
Letra
Só fazer a mesma coisa da letra anterior.
Agora vamos dar uma ajeitada nos pivôs:
Passo 3
Agora vamos zerar as entradas acima dos pivôs:
Ufa!
Resposta
Exercício Resolvido #4
UFRJ-P1-2016.1
A partir de uma matriz e através da seguinte sequência de operações elementares:
;
;
;
,
Obtém-se a matriz .
Qual dentre as seguintes é a matriz ?
Obs.: Na notação utilizada, indica que a -ésima é substituída por ela mesma acrescida de vezes a -ésima linha e indica a troca das linhas e .
Passo 1
Bom, tudo o que precisamos fazer aqui é seguir a operação inversa de tudo o que foi feito com a matriz né! Se liga:
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #5
USP, Aula de sistemas lineares - Adaptado
Encontre uma matriz escalonada equivalente à seguinte matriz:
Passo 1
Vamos por partes. O primeiro pivô não nulo da primeira linha é o . Temos que zerar tudo que estiver embaixo dele, no caso só falta o da terceira linha né?
Pra zerar esse , podemos fazer , vai ficar assim:
Passo 2
Agora bora achar o primeiro pivô não nulo da segunda linha. É o certo??
Precisamos zerar esse da terceira linha, afinal, o objetivo é zerar tudo que estiver embaixo do pivô ;) Pra facilitar nossa vida, vamos transformar o pivô em e o em também beleza? Pra isso vamos fazer as operações:
Isso vai nos dar:
Passo 3
Agora que o pivô da segunda linha é e embaixo dele também temos um , as coisas ficam mais fácil pra zerarmos o , vamos fazer a operação :
Prontinhoo, matriz escalonada :D
Resposta
Exercício Resolvido #6
USP, Aula de sistemas lineares - Adaptado
Dada a matriz
Dê sua forma escalonada.
Passo 1
Antes de tudo, acho que pra todos nós é mais complicadinho trabalhar com números decimais né? Então pra facilitar nossa vida, vamos multiplicar todas as linhas por :
Agora vamos dividir a primeira linha por , pois todos os elementos dela são múltiplos de :
Agora sim, podemos começar hehe
Passo 2
O primeiro pivô não nulo da primeira linha é . Vamos zerar todos os elementos abaixo dele.
Pra zerarmos o , podemos fazer . Eu não tirei isso da cartola, é porque vamos pensar no seguinte: queremos sumir com o , pra isso, devemos subtrair ele mesmo. Mas nenhuma linha tem outro , então o que a gente faz? Uma um múltiplo comum e multiplica cada linha por ele. Por exemplo, no caso, um múltiplo comum de e é . Então multiplicamos a primeira linha por e a segunda por para termos o mesmo número e podermos sumir com o que está embaixo do pivô
Voltando, vamos fazer então o :
Passo 3
Agora temos que sumir com o da terceira linha. Vamos fazer analogamente ao passo 2: um múltiplo comum entre e é , então multiplicamos a primeira linha por e a terceira por , então vamos fazer a operação
Passo 4
Agora vamos encontrar o primeiro pivô não nulo da segunda linha. É o certo? Então vamos sumir com o embaixo dele. Pra isso vamos fazer
Repara que essa matriz ta meio diferente das escalonadas normalmente. Mas ela ta escalonada sim viu? Mais pra frente vamos ver o que significa esse escalonamento esquisitão hehe
Resposta
Exercício Resolvido #7
Elaboração própria
Dada a matriz
Sabendo que sua forma escalonada é, quais são os valores de , e ?
Passo 1
Vamos escalonar a matriz então. O primeiro pivô não nulo da primeira linha é o certo? Então vamos zerar tudo que estiver embaixo dele, começando pelo da segunda linha.
Pra zerarmos o , podemos fazer , afinal, , vamos ficar com isso:
Agora vamos zerar esse da terceira linha, podemos fazer :
Passo 2
Agora vamos encontrar o primeiro pivô não nulo da segunda linha. É o certo? Vamos zerar o que ta embaixo dele, pra isso vamos fazer :
Opa, essa matriz escalonada é diferentona hehe a gente vai ver mais sobre essa situação lá em sistemas lineares.
Mass, de qualquer forma, encontramos os valores de , e , que são:
Resposta
Exercício Resolvido #8
Elaboração própria
Considere as afirmativas abaixo:
I – A matriz não pode ser escalonada, pois não é uma matriz quadrada.
II – Se escalonarmos completamente a matriz , vamos ter como resultado uma matriz identidade de ordem 4
III – Para escalonar uma matriz, temos que encontrar os pivôs e ir realizando operações entre as linhas até encontrarmos uma matriz triangular inferior.
Estão corretas apenas:
a) I
b) II
c) III
d) I e III
e) I e II
f) II e III
Passo 1
Vamos lá analisar cada uma das afirmativas:
I – Falsa. Não são só as matrizes quadradas que podem ser escalonadas viu galera?
II – Bora escalonar essa matrizona hehe
Para escalonar completamente, vamos dividir as linhas 2, 3 e 4 por :
Opaa, chegamos numa matriz identidade de ordem 4, então essa afirmativa é verdadeira :)
III – Falsa. Queremos chegar em uma matriz triangular SUPERIOR hehe
Como só a afirmativa II é verdadeira, a alternativa correta é a letra b!!
Resposta
b) II
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