Escalonamento

Teoria Completa

Operações Elementares

É bom você saber que esse nome, “operação” não tem nada a ver com adição, multiplicação, etc. Na verdade, as operações elementares de uma matriz são essas:

  • Trocar linhas de lugar - L i ↔ L j ;
  • Multiplicar linhas por um escalar (diferente de zero) - L i ← k ⋅ L i ;
  • Trocar uma linha por uma combinação linear dela com outra linha - L i ← L i + k ⋅ L j ,   i ≠ j ;
  • Descartar uma linha que tenha só zeros.

Se você fizer uma dessas operações em uma matriz qualquer, terá uma matriz equivalente à que você tinha antes. Mas equivalente não quer dizer igual, hein! Denotamos matrizes equivalentes com o símbolo ~ . Olha só:

2 2 1 4 2 6 1 - 1 1 ~ ⏟ ( i ) 2 2 1 2 1 3 1 - 1 1 ~ ⏟ ( i i ) 1 - 1 1 2 1 3 2 2 1 ~ ⏟ ( i i i ) 1 - 1 1 2 1 3 0 1 - 2

Todas as quatro matrizes acima são equivalentes!

Consegue ver quais operações elementares eu usei para gerar cada uma?

Vou te ajudar:

  • No passo ( i ) eu multipliquei a 2ª linha por 1 2 . Toda vez que eu fizer essa operação, vou indicar assim:
  • L 2 ← 1 2 L 2

    (Essa notação significa que a nova linha 2 foi substituída pela metade da antiga)

  • No passo ( i i ) eu troquei a 1ª linha de lugar com a 3ª, vou indicar assim:
  • L 1 ↔ L 3

  • No passo ( i i i ) eu troquei a 3ª linha por ( 0 ,   1 ,   - 2 ) . Mas de onde eu tirei isso? Se você reparar, 0 ,   1 ,   - 2 = 2 ,   2 ,   1 - 2 ,   1 ,   3 , e logo é uma combinação linear da 2ª com a 3ª linha. Vou indicar assim:
  • L 3 ← L 3 - L 2

    (Significa que a nova linha 3 é a antiga linha 3 menos a antiga linha 2)

    Se acostume com essas notações, pois vamos usar as operações elementares o tempo inteiro!

    Eliminação de Gauss (Escalonamento)

    Esse aí é o nome verdadeiro do método, mas para os íntimos é escalonamento. Mas o que é isso?

    Escalonar uma matriz significa usar as operações elementares até gerar uma matriz equivalente que esteja na sua forma escalonada.

    Deu na mesma, pois talvez você nem saiba o que é a forma escalonada ¬¬’

    Nada mais simples de entender. Vamos definir!

    Uma matriz “na forma escalonada” é uma matriz triangular superior.

    (P.S.: pra você lembrar, é aquela que a segunda linha começa com um zero, a terceira começa com dois zeros, assim sucessivamente.)

    Tá bom, mas por que vamos precisar fazer isso?

    Bom, primeiramente, para simplificar nossas matrizes, e portanto nossas vidas hahaha. Mas principalmente porque esse método vai ser muito importante pra nos ajudar a verificar a dependência linear de um conjunto de vetores, os vetores que estão nas linhas das matrizes. Ou seja, conseguimos, através do escalonamento, descobrir se um conjunto é L I ou L D . Mas como??

    Paciência, gafanhoto, você vai entender daqui a pouquinho.

    Vamos ver alguns exemplos de como escalonar uma matriz que nem o velho Gauss fazia, usando as operações elementares.

    Vamos lá. Veja a matriz abaixo:

    0 2 1 1 1 2

    Esse exemplo é fácil! Se trocarmos a primeira com a segunda linha, temos:

    1 1 2 0 2 1

    E pronto! Já está na sua forma escalonada!

    Olhe pra essa:

    2 2 2 1 2 3 ~ ? ? ? 0 ? ?

    Bom, queremos gerar um zero no local indicado. E aí, como eu faço isso?

    A ideia é usar a terceira operação elementar, e tentar achar uma combinação linear de ( 2 ,   2 ,   2 ) e ( 1 ,   2 ,   3 ) que tenha 0 na primeira coordenada desses vetores (se é que podemos chamar eles assim).

    Pensa aí.

    Pensou?

    Uma solução para isso é fazer 2 ∙ 1 ,     2 ,     3 + - 1 ∙ 2 ,     2 ,     2 = ( 0 ,   2 ,   4 ) .

    Agora podemos trocar a segunda linha (pois ela estava sem o zero) por ( 0 ,   2 ,   4 ) . Veja:

    2 2 2 1 2 3 ~ 2 2 2 0 2 4

    Bom, o método é esse.

    Mas eu quero que isso seja automático e que você faça rapidinho, sem pensar muito!

    Acho que você também quer isso, não é verdade? Então vamos treinar o algoritmo.

    O Algoritmo

    Um algoritmo é tudo o que você quer nessa hora. Para quem não sabe um algoritmo é um método para resolver algo.

    Mas antes você vai precisar saber o que é um pivô.

    Pivô: É o primeiro elemento não nulo de cada linha

    Notação: Vamos chamar o pivô de p

    Agora vamos esquematizar!

    Os passos são esses:

  1. Encontrar o pivô da 1ª linha
  2. Zerar todos os elementos abaixo desse pivô
  3. Encontrar o pivô da 2ª linha
  4. Zerar todos os elementos abaixo desse pivô
  5. Encontrar o pivô da 3ª linha
  6. Zerar todos os... ah, por favor, você já sabe o resto. Faz isso até acabarem as linhas da matriz.

A matriz que vamos usar como exemplo é essa:

1 2 3 - 1   2 2 1 1     6 4 1 6

PASSO 1: ENCONTRAR O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA

Nesse caso, o primeiro pivô da primeira linha é o 1 .

PASSO 2: ZERAR TODOS OS ELEMENTOS ABAIXO DESSE PIVÔ

Pega aquela primeira coluna, 1 2 3 - 1 .

Queremos zerar o 2 , 3 e o - 1   usando o 1 como pivô. Quê que eu faço, então?

Simples! Pra zerar o 2 , multiplica o 1 por - 2 e soma! (Afinal, - 2 ⋅ 1 + 2 = 0 , num é?)

Só que não é pra você fazer isso só com o 2 , é pra fazer com a linha do 2 .

O que você tem que fazer é: (Linha do 1 ) × ( - 2 ) + Linha do   2 . Naquela nossa notação:

L 2 ← - 2 L 1 + L 2

Assim a nova linha 2 vai ficar - 2 1,2 , 6 + ( 2,2 , 4 ) = ( 0 , -   2 , -   8 ) .

Vamos fazer a mesma coisa com o 3 !

Queremos zerá-lo usando o 1 como pivô, então basta fazer (Linha do 1 ) × ( - 3 ) + Linha do   3 .

L 3 ← - 3 L 1 + L 3

A nova linha 3 vai ficar - 3 1,2 , 6 + ( 3,1 , 1 ) = ( 0 , -   5 , -   17 ) .

E por último com o - 1 , é só fazer (Linha do 1 ) × ( 1 ) + Linha do   - 1 .

L 4 ← L 1 + L 4

A nova linha 4 vai ficar 1 1,2 , 6 + ( - 1,1 , 6 ) = ( 0,3 , 12 )

Aí nossa matriz equivalente fica:

1 0 0 0   2 - 2 - 5 3     6 - 8 - 17 12

Zeramos os elementos da primeira coluna abaixo do primeiro pivô da linha 1 ! Qual o próximo passo?

PASSO 3: ENCONTRAR O PIVÔ DA SEGUNDA LINHA

E aí, qual é?

Como sabemos, o pivô é o primeiro elemento da linha que é diferente de zero. Nesse caso é o - 2 . Entretanto...

Perceba que podemos dividir toda essa linha por 2 , e que com isso seu pivô será o - 1 , ficando muito mais fácil de se trabalhar no futuro.

L 2 ← 1 2 L 2

A 2ª linha é toda divisível por 2 , então esse passo intermediário vai simplificar sua vida.

1 0 0 0   2 - 1 - 5 3     6 - 4 - 17 12

Pronto. Nem sempre a linha vai ser divisível, mas sempre que puder “transformar” seu pivô em 1 ou - 1 , seja multiplicando linhas, dividindo ou trocando de lugar, faça! (Se não der, paciência... )

Voltando aos passos...

PASSO 4: ZERAR TODOS OS ELEMENTOS ABAIXO DESSE PIVÔ

Aaah, como o pivô é - 1 , isso é fácil! :D

Multiplica por - 5 (que é o número na coluna logo abaixo) e soma, que nem fizemos no passo 1 (só que agora estamos usando o pivô da linha 2). Em notação:

L 3 ← - 5 L 2 + L 3

Assim a nova linha 3 será - 5 0 , - 1 , - 4 + ( 0 , - 5 , - 17 ) = ( 0 ,   0 ,   3 ) .

E por fim multiplicamos por 3 e somamos com a última linha:

L 4 ← 3 L 2 + L 4

A nova linha 4 será   3 0 , - 1 , - 4 + ( 0 ,   3 ,   12 ) = ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Opa, a linha zerou!! Sabe o que isso significa? Que o conjunto de vetores que estão nas linhas, 1,2 , 6 ,   2,2 , 4 ,   3 ,   1 ,   1 ,   ( - 1 ,   1 ,   6 é   L D . Além disso, podemos tirar mais uma conclusão: o conjunto é L D porque o vetor ( - 1 ,   1 ,   6 é C L dos demais.

Ué, mas de onde veio isso???

Veio do fato que foi a linha desse vetor que foi zerada!! Então, quando uma linha é zerada no escalonamento, quer dizer que o vetor que se encontrava nela na matriz original é combinação linear dos vetores das outras linhas, tornando os vetores linha um conjunto   L D .

Além disso, podemos retirar a linha zerada da matriz, então tcharaaam, nossa matriz escalonada:

1 0 0   2 - 1 0   6 - 4 3

Método de Gauss-Jordan

Esse método com nome estranho é na verdade uma continuação do anterior!

Só que em vez de deixar a matriz na forma escalonada, vamos deixá-la na forma totalmente escalonada (alguns chamam de forma escalonada reduzida).

E o que é isso?

Uma matriz em sua forma totalmente escalonada tem que obedecer o seguinte:

  • Todos os pivôs são 1
  • Todos os elementos na coluna do pivô (sem contar com ele mesmo) são zero
  • Cuidado com esta última! Não vai ficar achando que o pivô só possui elementos abaixo dele, podem ter acima também!

    Vamos exemplificar com a matriz que usamos antes:

    1 0 0   2 - 1 0   6 - 4 3

    A forma totalmente escalonada dela seria assim:

    1 0 0     0 1 0     0 0 1

    O método de Gauss-Jordan consiste nos seguintes passos:

    PASSO 1: COLOQUE A MATRIZ NA FORMA ESCALONADA

    Esse passo já está feito!

    PASSO 2: TODOS OS PIVÔS DEVEM SER 1

    Observe que o pivô da primeira e coluna já é 1 , só falta o pivô da segunda e da terceira!

    Vamos resolver isso! Fazendo L 2 ← - L 2 e L 3 ← 1 3 L 3 :

    1 0 0     2 1 0     6 4 1

    Agora só falta transformar o 2 , o 4 e o 6 em zero (pois eles estão nas colunas que tem pivô).

    PASSO 3: ZERAR A ÚLTIMA COLUNA COM PIVÔ, USANDO O PIVÔ

    Aqui é a mesma coisa que fizemos para deixar na forma escalonada, só que ao contrário.

    Temos que zerar o 4 e o 6 agora, utilizando o pivô logo abaixo deles.

    Fazendo a operação L 2 ← L 2 - 4 L 3 , a nova linha 2 fica:

    0 1 0

    Agora devemos zerar o 6 , então fazemos L 1 ← L 1 - 6 L 3 :

    1 2 0

    Nossa matriz fica:

    1 0 0     2 1 0     0 0 1

    PASSO 4: ZERAR A PENÚLTIMA COLUNA COM PIVÔ, USANDO O PIVÔ

    Queremos zerar o 2 ali em cima!

    Então basta fazer L 1 ← L 1 - 2 L 2 . Vai ficar:

    ( 1 0 0 )

    Assim a matriz ficará:

    1 0 0     0 1 0     0 0 1

    Expandir

    Exercício Resolvido #1

    Elaboração própria

    Escalona Aí a seguinte matriz:

    J = 1 2 3 2 2 2 3 2 1

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Então, meu (minha) caro(a), sabemos que a primeira coisa a se fazer é achar o pivô da primeira linha de J , tranquilo?

    Show! Neste caso a gente vê que é o 1, já que é o primeiro número da primeira linha, e que é diferente de 0. Daí agora é só zerar todos os números abaixo do 1 fazendo combinações lineares. Saca só:

    1 2 3 2 2 2 3 2 1

    Daí eu faço L 2 2 , vou ter:

    1 2 3 1 1 1 3 2 1

    Passo 2

    Agora, podemos fazer L 2 - L 1 e também L 3 - 3 L 1 . E aí, teremos:

    1 2 3 0 - 1 - 2 0 - 4 - 8

    Multiplicando as linhas 2 e 3 por -1 pras coisas ficarem mais bonitas, vamos ter:

    1 2 3 0 1 2 0 4 8

    Procurando o nosso pivô, nessa vez na 2ª linha, achamos o número 1. Daí, temos que zerar tudo abaixo do 1.

    Fazendo a operação L 3 - 4 L 2 , teremos...

    1 2 3 0 1 2 0 0 0

    Opa! Nem tem mais o que fazer. Nossa matriz já está escalonada, temos uma matriz triangular superior bonitinha aí. Lembrando que existem várias formas de se escalonar uma matriz, logo existem várias respostas. :D

    Resposta

    J E s c a l o n a d o = 1 2 3 0 1 2 0 0 0

    Exercício Resolvido #2

    Elaboração Própria

    Coloque a matriz abaixo em sua forma escalonada

    1 2 1 1 4 3 0 1 1 0 1 0

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    ENCONTRAR O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA

    Qual o primeiro elemento não-nulo da primeira linha?

    É o 1 !

    Encontrado.

    Passo 2

    ZERAR A PRIMEIRA COLUNA (USANDO O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA)

    Nesse caso só precisamos zerar o 1 logo abaixo do pivô, pois os outros elementos já são zero.

    Fazendo L 2 ← L 1 - L 2 :

    1 2 1 0 - 2 - 2 0 1 1 0 1 0

    Passo 3

    ENCONTRAR O PIVÔ DA SEGUNDA LINHA

    O primeiro elemento não nulo da segunda linha é o - 2 .

    Esse é o momento de dar um stop no que você tá fazendo para ver se tem como transformar o pivô em 1 !

    Fazendo:

    L 2 ← - 1 2 L 2

    A nossa matriz fica:

    1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0

    Passo 4

    ZERAR A SEGUNDA LINHA

    Agora que o nosso pivô já é 1 , é só fazermos

    L 3 ← L 3 - L 2

    L 4 ← L 4 - L 2

    Aí a matriz fica:

    1 2 1 0 1 1 0 0 0 0 0 - 1

    Já está em sua forma escalonada, mas vamos nos acostumar sempre a descartar as linhas nulas:

    1 2 1 0 1 1 0 0 - 1

    Resposta

    1 2 1 0 1 1 0 0 - 1

    Exercício Resolvido #3

    Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 60 – Prob. 2.4

    Determine a forma totalmente escalonada das matrizes abaixo:

    a   1 2 3 4 4 5 6 7 6 7 8 9

    b   1 3 5 7 3 5 7 9 5 7 9 1

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Letra ( a )

    Podemos ver que nosso pivô é igual a