Escalonamento de Matrizes

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Teoria

Fala aí! Bora conversar sobre escalonamento de matrizes?

Uma matriz escalonada é uma matriz triangular superior. Ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isso é, iguais a zero, assim:

Matriz escalonada
Matriz escalonada

-Mas por que fazemos o escalonamento de matrizes?

Excelente pergunta! O escalonamento é um método que facilita (e muito) a resolução de sistemas lineares complexos!

O método que a gente vai aprender para escalonar matrizes é chamado de Eliminação de Gauss e para isso vamos usar as operações lineares.

Se liga nesse videozinho com tudo o que você precisa saber sobre escalonamento de matrizes 👇

Ou segue no textinho comigo! 😉

Como Escalonar uma Matriz?

Vamos aprender o passo a passo de como escalonar uma matriz na prática! 😁

Queremos escalonar a seguinte matriz:

Matriz a ser escalonada
Matriz a ser escalonada

Ou seja, teremos esse processo aqui:

Escalonamento: Resultado final
Escalonamento: Resultado final

-Beleza, mas como a gente faz isso? Que ferramentas vamos usar!?

É o que vamos ver agora!

Regras do Jogo: Operações Lineares

Pra a gente conseguir escalonar a matriz vamos usar as operações lineares, que nada mais são do que operações feitas nas linhas da matriz que não a alteram.

Vamos usar as seguintes Operações Lineares:

  • Trocar linhas de lugar:
    • ;
  • Multiplicar linhas por um escalar (diferente de zero)
    • ;
  • Trocar uma linha por uma combinação linear dela com outra linha
    • ;
  • Descartar uma linha que tenha só zeros.

Se você ainda esta desconfiado que a matriz realmente não vai mudar, eu vou te dar um exemplo que a gente usa bastante nas continhas do dia a dia!

Para isso esquece a matriz por um segundo! Vamos pensar em uma equação qualquer tipo:

Poderíamos multiplicar ou dividir o lado esquerdo e direito por um escalar qualquer e a equação continuaria igual, certo?

No nosso exemplo, vamos dividir o lado esquerdo e o direito por :

Se resolvemos a equação nos dois casos, o valor de vai ser igual a , certo?! Isso significa que a equação não mudou!

As operações lineares seguem exatamente a mesma lógica!

Passo 1: Selecionar o Pivô da Linha 1

A ideia é zerar os elementos abaixo da diagonal principal, coluna por coluna. Então vamos começar a trabalhar os elementos da coluna .

O objetivo aqui é selecionar um pivô para a linha e fazer as operações lineares a partir dele!

Para a nossa primeira linha, escolhemos o seguinte pivô:

Pivô: Linha 1
Pivô: Linha 1

Talvez esteja meio confuso, mas confia em mim que vai ficar mais claro ao longo do processo e você vai aprender como selecionar esse pivô de uma forma esperta! 😉

Passo 2: Zerar todos os Elementos abaixo do Pivô da linha 1

Queremos zerar todos os elementos abaixo do pivô:

Pivô: Linha 1
Pivô: Linha 1

Se multiplicarmos a por teremos os valores , ai a gente pode somar linha com a linha e a seguinte mágica vai acontecer:

Operação linear: Linha 2
Operação linear: Linha 2

Opa! Zeramos um elemento multiplicando a linha por um escalar e trocando a linha por uma combinação linear dela com a linha . Duas operações lineares que aprendemos lá em cima!

Agora vamos zerar o próximo elemento usando as seguintes operações lineares:

Operação Linear: Linha 3
Operação Linear: Linha 3

Awee! Foi outro!

Agora o último elemento:

Operação Linear: Linha 4
Operação Linear: Linha 4

Entendeu porque o foi um pivô inteligente de se escolher?

Ele é um valor fácil de ser multiplicado por um escalar que depois irá zerar o elemento de interesse sem dificuldades! 😉

Passo 3: Selecionar o Pivô da Linha 2

Agora a nossa matriz tá com essa carinha aqui:

Matriz a ser escalonada
Matriz a ser escalonada

Agora, se não fizermos nenhuma operação linear, o pivô vai ser , mas ele não é um pivô tão bom…

Mas e se a gente dividir a linha por ?

Operações lineares: Mudança no Pivô
Operações lineares: Mudança no Pivô

Agora o nosso pivô é o , um valor tão bom quanto o !

Passo 4: Zerar todos os Elementos abaixo do Pivô da linha 2

Agora que você já entendeu o mecanismo, eu quero que você tente fazer esse passo sozinho! 😉

Depois compara com esse resultado aqui:

Operação linear: Linhas 3 e 4
Operação linear: Linhas 3 e 4

Olha que legal que aconteceu, sem querer a linha ficou inteira zerada!!

Isso vai poupar o trabalho dos próximos passos, porque nossa matriz já esta escalonada! 😍

Se tivéssemos um valor diferente de no último elemento da coluna , teríamos que passar pelos seguintes passos 👇👇👇

Passo 5: Selecionar o Pivô da Linha 3

Sem mistério! Aqui faríamos a mesma coisa dos passos e .

Passo 6: Zerar todos os Elementos abaixo do Pivô da linha 3

Já aqui faríamos a mesma coisa dos passos e .

Agora vamos praticar com exercícios?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Escalona Aí a seguinte matriz:

J = 1 2 3 2 2 2 3 2 1

Passo 1

Então, meu (minha) caro(a), sabemos que a primeira coisa a se fazer é achar o pivô da primeira linha de J , tranquilo?

Show! Neste caso a gente vê que é o 1, já que é o primeiro número da primeira linha, e que é diferente de 0. Daí agora é só zerar todos os números abaixo do 1 fazendo combinações lineares. Saca só:

1 2 3 2 2 2 3 2 1

Daí eu faço L 2 2 , vou ter:

1 2 3 1 1 1 3 2 1

Passo 2

Agora, podemos fazer L 2 - L 1 e também L 3 - 3 L 1 . E aí, teremos:

1 2 3 0 - 1 - 2 0 - 4 - 8

Multiplicando as linhas 2 e 3 por -1 pras coisas ficarem mais bonitas, vamos ter:

1 2 3 0 1 2 0 4 8

Procurando o nosso pivô, nessa vez na 2ª linha, achamos o número 1. Daí, temos que zerar tudo abaixo do 1.

Fazendo a operação L 3 - 4 L 2 , teremos...

1 2 3 0 1 2 0 0 0

Opa! Nem tem mais o que fazer. Nossa matriz já está escalonada, temos uma matriz triangular superior bonitinha aí. Lembrando que existem várias formas de se escalonar uma matriz, logo existem várias respostas. :D

Resposta

J E s c a l o n a d o = 1 2 3 0 1 2 0 0 0

Exercício Resolvido #2

Coloque a matriz abaixo em sua forma escalonada

1 2 1 1 4 3 0 1 1 0 1 0

Passo 1

ENCONTRAR O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA

Qual o primeiro elemento não-nulo da primeira linha?

É o 1 !

Encontrado.

Passo 2

ZERAR A PRIMEIRA COLUNA (USANDO O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA)

Nesse caso só precisamos zerar o 1 logo abaixo do pivô, pois os outros elementos já são zero.

Fazendo L 2 ← L 1 - L 2 :

1 2 1 0 - 2 - 2 0 1 1 0 1 0

Passo 3

ENCONTRAR O PIVÔ DA SEGUNDA LINHA

O primeiro elemento não nulo da segunda linha é o - 2 .

Esse é o momento de dar um stop no que você tá fazendo para ver se tem como transformar o pivô em 1 !

Fazendo:

L 2 ← - 1 2 L 2

A nossa matriz fica:

1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0

Passo 4

ZERAR A SEGUNDA LINHA

Agora que o nosso pivô já é 1 , é só fazermos

L 3 ← L 3 - L 2

L 4 ← L 4 - L 2

Aí a matriz fica:

1 2 1 0 1 1 0 0 0 0 0 - 1

Já está em sua forma escalonada, mas vamos nos acostumar sempre a descartar as linhas nulas:

1 2 1 0 1 1 0 0 - 1

Resposta

1 2 1 0 1 1 0 0 - 1

Exercício Resolvido #3

Determine a forma totalmente escalonada das matrizes abaixo:

a   1 2 3 4 4 5 6 7 6 7 8 9

b   1 3 5 7 3 5 7 9 5 7 9 1

Passo 1

Letra ( a )

Podemos ver que nosso pivô é igual a 1 , então vamos zerar todo mundo abaixo dele:

L 2 ← L 2 - 4 L 1 1 2 3 4 0 - 3 - 6 - 9 6 7 8 9

L 3 ← L 3 - 6 L 1 1 2 3 4 0 - 3 - 6 - 9 0 - 5 - 10 - 15

Agora vamos olhar pra segunda linha. O pivô dela é o - 3 , logo vamos zerar todo mundo em baixo dele:

L 3 ← L 3 - 5 3 L 2 1 2 3 4 0 - 3 - 6 - 9 0 0 0 0

Antes de continuar vamos já ajeitar esse nosso pivô ai da segunda linha, e transformá-lo em 1 :

L 2 ← 1 - 3 L 2 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 0 0

Agora, só zerar os elementos acima do pivô da segunda linha:

L 1 ← L 1 - 2 L 2 1 0 - 1 - 2 0 1 2 3 0 0 0 0

Pronto é isso aí.

Passo 2

Letra ( b )

Só fazer a mesma coisa da letra anterior.

L 2 ← L 2 - 3 L 1 1 3 5 7 0 - 4 - 8 - 12 5 7 9 1

L 3 ← L 3 - 5 L 1 1 3 5 7 0 - 4 - 8 - 12 0 - 8 - 16 - 34

L 3 ← L 3 - 2 L 2 1 3 5 7 0 - 4 - 8 - 12 0 0 0 - 10

Agora vamos dar uma ajeitada nos pivôs:

L 2 ← 1 - 4 L 2 1 3 5 7 0 1 2 3 0 0 0 - 10

L 3 ← 1 - 10 L 3 1 3 5 7 0 1 2 3 0 0 0 1

Passo 3

Agora vamos zerar as entradas acima dos pivôs:

L 1 ← L 1 - 3 L 2 1 0 - 1 - 2 0 1 2 3 0 0 0 1

L 1 ← L 1 + 2 L 3 1 0 - 1 0 0 1 2 3 0 0 0 1

L 2 ← L 2 - 3 L 3 1 0 - 1 0 0 1 2 0 0 0 0 1

Ufa!

Resposta

  1. 1 0 - 1 - 2 0 1 2 3 0 0 0 0
  2. 1 0 - 1 0 0 1 2 0 0 0 0 1

Exercício Resolvido #4

A partir de uma matriz A e através da seguinte sequência de operações elementares:

L 1 ↔ L 2 ;

L 2 ← L 2 - 3 L 3 ;

L 3 ↔ L 2 ;

L 3 ← L 3 - 2 L 1 ,

Obtém-se a matriz B = 1 4 - 1 0 3 2 0 0 5 .

Qual dentre as seguintes é a matriz A ?

Obs.: Na notação utilizada, L i ← L i + α L j indica que a i -ésima é substituída por ela mesma acrescida de α vezes a j -ésima linha e L i ↔ L j indica a troca das linhas i e j .

a   2 17 9 1 4 - 1 0 3 2

b   - 2 - 2 - 12 - 1 5 - 1 0 - 4 - 2

c   2 - 4 13 1 - 5 2 0 2 4

d   - 2 - 14 - 17 - 1 - 4 - 1 0 - 2 - 3

Passo 1

Bom, tudo o que precisamos fazer aqui é seguir a operação inversa de tudo o que foi feito com a matriz né! Se liga:

1 4 - 1 0 3 2 0 0 5

L 3 ← L 3 + 2 L 1 1 4 - 1 0 3 2 2 8 3

L 3 ↔ L 2 1 4 - 1 2 8 3 0 3 2

L 2 ← L 2 + 3 L 3 1 4 - 1 2 17 9 0 3 2

L 1 ↔ L 2 2 17 9 1 4 - 1 0 3 2

Resposta

Letra a  

Exercício Resolvido #5

Encontre uma matriz escalonada equivalente à seguinte matriz:

1 - 2 1 0 2 - 8 - 4 5 9

Passo 1

Vamos por partes. O primeiro pivô não nulo da primeira linha é o 1 . Temos que zerar tudo que estiver embaixo dele, no caso só falta o - 4 da terceira linha né?

Pra zerar esse - 4 , podemos fazer L 3 → L 3 + 4 L 1 , vai ficar assim:

1 - 2 1 0 2 - 8 0 - 3 13

Passo 2

Agora bora achar o primeiro pivô não nulo da segunda linha. É o 2 certo??

Precisamos zerar esse - 3 da terceira linha, afinal, o objetivo é zerar tudo que estiver embaixo do pivô ;) Pra facilitar nossa vida, vamos transformar o pivô 2 em 1 e o - 3 em 1 também beleza? Pra isso vamos fazer as operações:

L 2 → L 2 2

L 3 → L 3 3

Isso vai nos dar:

1 - 2 1 0 1 - 4 0 - 1 13 3

Passo 3

Agora que o pivô da segunda linha é 1 e embaixo dele também temos um 1 , as coisas ficam mais fácil pra zerarmos o - 1 , vamos fazer a operação L 3 → L 3 + L 2 :

1 - 2 1 0 1 - 4 0 0 1 3

Prontinhoo, matriz escalonada :D

Resposta

1 - 2 1 0 1 - 4 0 0 1 3

Exercício Resolvido #6

Dada a matriz

1 - 0.4 - 0.6 - 0.6 0.9 - 0.2 - 0.4 - 0.5 0.8

Dê sua forma escalonada.

Passo 1

Antes de tudo, acho que pra todos nós é mais complicadinho trabalhar com números decimais né? Então pra facilitar nossa vida, vamos multiplicar todas as linhas por 10 :

1 0 - 4 - 6 - 6 9 - 2 - 4 - 5 8

Agora vamos dividir a primeira linha por 2 , pois todos os elementos dela são múltiplos de 2 :

5 - 2 - 3 - 6 9 - 2 - 4 - 5 8

Agora sim, podemos começar hehe

Passo 2

O primeiro pivô não nulo da primeira linha é 5 . Vamos zerar todos os elementos abaixo dele.

Pra zerarmos o - 6 , podemos fazer L 2 → 5 L 2 + 6 L 1 . Eu não tirei isso da cartola, é porque vamos pensar no seguinte: queremos sumir com o 6 , pra isso, devemos subtrair ele mesmo. Mas nenhuma linha tem outro 6 , então o que a gente faz? Uma um múltiplo comum e multiplica cada linha por ele. Por exemplo, no caso, um múltiplo comum de 5 e 6 é 30 . Então multiplicamos a primeira linha por 6 e a segunda por 5 para termos o mesmo número e podermos sumir com o que está embaixo do pivô

Voltando, vamos fazer então o L 2 → 5 L 2 + 6 L 1 :

5 - 2 - 3 0 33 - 28 - 4 - 5 8

Passo 3

Agora temos que sumir com o - 4 da terceira linha. Vamos fazer analogamente ao passo 2: um múltiplo comum entre 4 e 5 é 20 , então multiplicamos a primeira linha por 4 e a terceira por 5 , então vamos fazer a operação L 3 → 4 L 1 + 5 L 3

5 - 2 - 3 0 33 - 28 0 - 33 28

Passo 4

Agora vamos encontrar o primeiro pivô não nulo da segunda linha. É o 33 certo? Então vamos sumir com o - 33 embaixo dele. Pra isso vamos fazer L 3 → L 3 + L 2

5 - 2 - 3 0 33 - 28 0 0 0

Repara que essa matriz ta meio diferente das escalonadas normalmente. Mas ela ta escalonada sim viu? Mais pra frente vamos ver o que significa esse escalonamento esquisitão hehe

Resposta

5 - 2 - 3 0 33 - 28 0 0 0

Exercício Resolvido #7

Dada a matriz

1 2 - 1 2 - 1 3 4 3 1

Sabendo que sua forma escalonada é   a 2 c 0 - 5 5 0 0 b , quais são os valores de a , b e c ?

Passo 1

Vamos escalonar a matriz então. O primeiro pivô não nulo da primeira linha é o 1 certo? Então vamos zerar tudo que estiver embaixo dele, começando pelo 2 da segunda linha.

Pra zerarmos o 2 , podemos fazer L 2 → L 2 - 2 L 1 , afinal, 2 - 2 * 1 = 0 , vamos ficar com isso:

1 2 - 1 0 - 5 5 4 3 1

Agora vamos zerar esse 4 da terceira linha, podemos fazer L 3 → L 3 - 4 L 1 :

1 2 - 1 0 - 5 5 0 - 5 5

Passo 2

Agora vamos encontrar o primeiro pivô não nulo da segunda linha. É o - 5 certo? Vamos zerar o - 5 que ta embaixo dele, pra isso vamos fazer L 3 → L 3 - L 2 :

1 2 - 1 0 - 5 5 0 0 0

Opa, essa matriz escalonada é diferentona hehe a gente vai ver mais sobre essa situação lá em sistemas lineares.

Mass, de qualquer forma, encontramos os valores de a , b e c , que são:

a = 1

b = 0

c = - 1

Resposta

a = 1

b = 0

c = - 1

Exercício Resolvido #8

Considere as afirmativas abaixo:

I – A matriz 1 - 2 3 2 5 6 não pode ser escalonada, pois não é uma matriz quadrada.

II – Se escalonarmos completamente a matriz 1 1 1 1 1 1 1 - 1 1 1 - 1 1 1 - 1 1 1 , vamos ter como resultado uma matriz identidade de ordem 4

III – Para escalonar uma matriz, temos que encontrar os pivôs e ir realizando operações entre as linhas até encontrarmos uma matriz triangular inferior.

Estão corretas apenas:

a) I

b) II

c) III

d) I e III

e) I e II

f) II e III

Passo 1

Vamos lá analisar cada uma das afirmativas:

I – Falsa. Não são só as matrizes quadradas que podem ser escalonadas viu galera?

II – Bora escalonar essa matrizona hehe

1 1 1 1 1 1 1 - 1 1 1 - 1 1 1 - 1 1 1

L 2 → L 2 - L 1 1 1 1 1 0 0 0 - 2 1 1 - 1 1 1 - 1 1 1

L 3 → L 3 - L 1 1 1 1 1 0 0 0 - 2 0 0 - 2 0 1 - 1 1 1

L 4 → L 4 - L 1 1 1 1 1 0 0 0 - 2 0 0 - 2 0 0 - 2 0 0

L 4 → L 4 - L 1 1 1 1 1 0 0 0 - 2 0 0 - 2 0 0 - 2 0 0

L 4 ⇔ L 2 1 1 1 1 0 - 2 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 - 2

Para escalonar completamente, vamos dividir as linhas 2, 3 e 4 por - 2 :

1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

L 1 → L 1 - L 2 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

L 1 → L 1 - L 3 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

L 1 → L 1 - L 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Opaa, chegamos numa matriz identidade de ordem 4, então essa afirmativa é verdadeira :)

III – Falsa. Queremos chegar em uma matriz triangular SUPERIOR hehe

Como só a afirmativa II é verdadeira, a alternativa correta é a letra b!!

Resposta

b) II

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Resolva o sistema abaixo, sabendo que 0abc : a x + a y + c z = a ² + c ² ² ²b x - a y + c z = c ² - b ² ² ²a x + c y - b z = a ² - c ² ² ²
Responda à questão análoga à anterior com respeito à reação x F e S + y O 2 → z F e 2 O 3 + t S 0 3 (geração de dióxido de enxofre a partir da pirita)
Obtenha as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares: c) x–2 y+z+t=1 2 x+y-2 z+2 t=0 x+6 y=- 2
Use escalonamento para mostrar que um sistema 3 × 3 cujas linhas ℓ1, ℓ2, ℓ3 são linearmente independentes possui uma única solução.
Obtenha as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares: