Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

Teoria Completa

Relacionando Espaço Linha e Espaço Coluna

Antes de ver a relação entre núcleo e imagem de uma matriz, te pergunto: O que seria o espaço linha??? Bom... é a mesma ideia do espaço coluna:

Espaço linha: O espaço-linha de uma matriz A é o espaço gerado pelos vetores linha dessa matriz.

Exemplo:

O espaço-linha da matriz A = 1 0 2 1 é:

s p a n { ( 1,0 ) ,   ( 2,1 ) }

Vamos relacionar tudo que aprendemos com a matriz transposta.

  • O espaço linha de uma matriz A é igual ao espaço coluna da transposta ( A T )
  • O espaço coluna (ou imagem) de uma matriz A é igual ao espaço linha da transposta ( A T )

  • O espaço linha e o espaço coluna de uma matriz A m × n possuem a mesma dimensão.
  • O posto de A é igual a dimensão de seu espaço linha

Uma outra consequência, desses dois últimos fatos é que o posto de uma matriz é a dimensão tanto do espaço coluna quanto do espaço linha, afinal suas dimensões são iguais não é mesmo?

E como acho uma base para o espaço-linha?????

É só escalonar normalmente XD.

Tá, mas e o espaço nulo de A e o espaço nulo de A T ??

Não tem nada em comum!

Teorema do Núcleo-Imagem

Esse teorema é muito importante e muito fácil de aprender e vai ser usado durante o curso todo praticamente, então se liga no que tá escrito ai embaixo!

Considere uma matriz A m × n , sendo n o número de colunas e m o de linhas, então:

dim ⁡ N u c A + dim ⁡ I m A = n

Podemos escrevê-lo de outra forma:

dim ⁡ N u c A + p o s t o ( A ) = n

É, eu sei... mas fica tranquilo, que é muito fácil de por em prática esse teorema aí.

Um exemplo: será que existe uma matriz A 11 × 11 de forma que posto A = d i m ⁡ ( Nuc A ) ?

Vamos lá. Se k é o valor do posto de A , então

dim ⁡ Nuc A = k

k + k = n ,

Onde n é o número de colunas da matriz.

Mas n = 11 . Então:

2 k = 11

O que é impossível, pois não existe dimensão fracionária!!!!

Logo essa matriz que sugeri não existe.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Encontre uma base para o espaço linha e coluna da matriz abaixo e de a dimensão do núcleo.

A = 1 3 - 2 1 2 1 3 2 3 4 5 6

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Passo 1

Bom, vamos começar achando uma base para o espaço linha, assim basta que escalonemos a matriz como sempre fizemos.

1 3 - 2 1 2 1 3 2 3 4 5 6

1 3 - 2 1 0 - 5 7 0 3 4 5 6 L 2 ← L 2 - 2 L 1

1 3 - 2 1 0 - 5 7 0 0 - 5 11 3 L 3 ← L 3 - 3 L 1

1 3 - 2 1 0 - 5 7 0 0 0 4 3 L 3 ← L 3 - L 2

Como podemos ver, nenhuma linha acabou se anulando e portanto uma possível base α se para o espaço linha é:

α = 1,3 , - 2,1 , 0 , - 5,7 , 0 , 0,0 , 4,3

E com isso já podemos dizer a dimensão do núcleo! Sabemos que a dimensão do espaço linha é 3 , que é igual a do espaço coluna (ou imagem), então usando o teorema núcleo imagem:

dim ⁡ N u c A + dim ⁡ I m A = n

Sendo n o número de colunas. Como n = 4 e dim ⁡ I m A = 3 :

dim ⁡ N u c A + 3 = 4 ⇒

dim ⁡ N u c A = 1

Passo 2

Agora só falta achar uma base para o espaço coluna! Vamos escalonar a sua transposta!

A T = 1 2 3 3 1 4 - 2 3 5 1 2 6

1 2 3 0 - 5 - 5 - 2 3 5 1 2 6 L 2 ← L 2 - 3 L 1

1 2 3 0 - 5 - 5 0 7 11 1 2 6 L 3 ← L 3 + 2 L 1

1 2 3 0 - 5 - 5 0 7 11 0 0 3 L 4 ← L 4 - L 1

1 2 3 0 - 5 - 5 0 0 4 0 0 3 L 3 ← L 3 + 7 5 L 2

1 2 3 0 - 5 - 5 0 0 4 0 0 0 L 4 ← L 4 - 3 4 L 3

Assim, uma possível base para o espaço coluna de A é:

β = 1,2 , 3 , 0 , - 5 , - 5 , 0,0 , 4

Resposta

Base do espaço linha:

α = 1,3 , - 2,1 , 0 , - 5,7 , 0 , 0,0 , 4,3

Base do espaço coluna:

β = 1,2 , 3 , 0 , - 5 , - 5 , 0,0 , 4

dim ⁡ N u c A = 1

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Seja A uma matriz 3 × 3 , e U = 1 0 2 0 3 1 0 0 6 sua forma escalonada. Marque a alternativa verdadeira:

  1. N u c A ≠ N u c U
  2. I m A = s p a n 1,0 , 0 , 0,3 , 0 , 2,1 , 6
  3. I m A T = s p a n { 3,0 , 6 , 0,6 , 2 , 0,0 , 1 }
  4. Nenhuma das alternativas acima.
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Passo 1

Letra a)

Sabemos que U é a forma escalonada de A , logo A e U são equivalentes. Se as matrizes são equivalentes, então os sistemas A x = b e U x = b são equivalentes. Como o núcleo é a solução do sistema A x = 0 e esse é equivalente ao sistema U x = 0 , podemos dizer que os seus núcleos são iguais e portanto a letra a) é falsa.

Letra b)

Embora A e U sejam equivalentes, isso não implica que seus espaços colunas sejam iguais, que é o que está escrito. Portanto a letra b) é falsa.

Passo 2

Letra c)

Sabemos que a imagem da transposta de A é a mesma coisa que o espaço linha de A . Também sabemos que para achar uma base para o espaço linha basta escalonarmos a matriz, já que o que queremos achar é algum vetor que é uma combinação linear dos demais. Então a imagem da transposta é exatamente o espaço linha de U . Mas não esta escrito isso na letra c)!! Calma, vamos analisar calmamente. Podemos ver que os vetores geradores são múltiplos dos vetores do espaço linha de U

3,0 , 6 = 3 1,0 , 2 ; 0,6 , 2 = 2 0,3 , 1 ; 0,0 , 1 = 1 6 0,0 , 6

Portanto é a mesma coisa! E assim, podemos ver que a letra c) é verdadeira

Resposta

Letra c)

Exercício Resolvido #3

Elaboraçao própria

Seja A T uma matriz 4 × 7 com

N u c A T = s p a n { 1,0 , 0,0 , 0,0 , 0 , 1,0 , 1,0 , 0,0 , 0 , 0,0 , 0,1 , 0,0 , 0 } . Marque a alternativa verdadeira:

a dim ⁡ N u c A = 3

b dim ⁡ I m A = 4

c dim ⁡ E s p a ç o   l i n h a A = 3

d p o s t o A T = 2

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Passo 1

Letra ( a )

Nessa temos que achar a dimensão do núcleo de A , sendo que só nos foi dado informações sobre a atransposta. Sabendo que N u c ( A T ) é igual ao espaço gerado indicado, utilizando o teorema do núcleo e imagem podemos ver que:

3 + dim ⁡ I m A T = 7 ⇒

dim ⁡ I m A T = 4

Sendo assim, sabemos que o espaço coluna de A T é igual ao espaço linha de A . E também sabemos que a dimensão do espaço linha e coluna de uma mesma matriz são iguais, logo:

dim ⁡ I m A T = dim ⁡ E s p a ç o   l i n h a A = dim ⁡ E s p a ç o   c o l u n a A

E pelo teorema do núcleo imagem sabemos que:

dim ⁡ N u c A + 4 = 4 ⇒

dim ⁡ N u c A = 0

Assim, podemos ver que a letra ( a ) é falsa.

Passo 2

Usando as informações achadas na letra ( a ) , já sabemos que dim ⁡ E s p a ç o   l i n h a A = 4 e assim podemos descartar letra ( c ) .

Também sabemos que o posto é igual ao número de linhas não nulas de uma matriz, após ser escalonada. Sendo assim, como o posto é igual a dimensão do espaço coluna da matriz, também podemos descartar a letra ( d ) .

Agora por eliminação a correta é a letra ( b ) , entretanto já tínhamos achado a resposta pois ao falar que dim ⁡ I m A T = dim ⁡ E s p a ç o   c o l u n a A = 4

Sabemos que o espaço coluna é igual a imagem de A , então já tinha achado que

dim ⁡ I m A = 4

Resposta

Letra ( b )

Exercício Resolvido #4

Livro Álgebra Linear com Aplicações 10 ed, Howard Anton e Chris Rorres, Capitulo 4.7, verdadeiro/falso

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.

Considere uma matriz elementar E , uma matriz que ao multiplicar uma outra matriz A , aplica uma operação elementar nela. Por exemplo, se você fizer E ⋅ A , é como se tivesse trocado duas linhas de lugar, por exemplo.

  1. O espaço gerado de v 1 , … , v n é o espaço coluna da matriz cujos vetores coluna são v 1 , … , v n
  2. O espaço coluna de uma matriz A é o conjunto solução de A x = b
  3. O conjunto de vetores linha não nulos de uma matriz A é uma base do espaço linha de A .
  4. Se E for uma matriz elementar m × m e A uma matriz m × n , então o espaço nulo de E A é igual ao espaço nulo de A
  5. Se E for uma matriz elementar m × m e A uma matriz m × n , então o espaço linha de E A é igual ao espaço linha de A
  6. Se E for uma matriz elementar m × m e A uma matriz m × n , então o espaço coluna de E A é igual ao espaço coluna de A
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Passo 1

Letra a)

O espaço coluna de uma matriz que possui os vetores coluna v 1 , … , v n e exatamente o espaço gerado desses vetores, por definição. Verdadeira

Letra b)

Falso. Além de sabermos a definição de espaço coluna e vermos que é diferente, vamos pegar um exemplo:

1 2 3 4 5 6 ⋅ 1 1 = 7 8 9

Se o espaço coluna fosse esse conjunto solução, os vetores teriam duas coordenadas apenas, enquanto sabemos que ele é o espaço gerado dos vetores coluna da matriz, que possuem 3 coordendas. O que seria um absurdo! Além disso, sabemos que o sistema A x = b tem solução quando b pertence ao espaço gerado das colunas da matriz, ou seja, o espaço coluna e assim seria de novo uma incoerência, pois b que possui 3 coordeandas iria pertencer a um espaço gerado de vetores com 2 coordenadas!

Passo 2

Letra c)

Vamos pegar por exemplo uma mátria aleatória.

A = 1 0 0 1 2 3 2 0 0

Se seguirmos o enunciado uma base para o espaço linha seria:

1,0 , 0 , 1,2 , 3 , 2,0 , 0

O que é mentira pois temos dois vetores múltiplos. Logo a afirmativa é falsa. O correto seria falar que o conjunto dos vetores linha não nulos da matriz A , APÓS SER ESCALONADA, pois já teria sido eliminado os vetores que eram C L dos demais.

Letra d)

O espaço nulo é a solução do sistema A x = 0 . Logo como matrizes equivalentes, ou seja após serem escalonadas, possuem a mesma solução de um sistema então o espaço nulo de E A é igual ao de A . Verdadeiro.

Passo 3

Letra e)

Para achar uma base para o espaço linha devemos aplicar várias operações elementares na matriz e assim os vetores resultantes formam a nossa base. Entretanto, se soubéssemos antes quais vetores eram C L dos demais já poderíamos ter descoberto a base. Logo, após uma operação elementar a matriz continua tendo o mesmo espaço linha da matriz original.

Exemplo:

A = 1 0 0 1 2 3 2 0 0

Forma escalonada:

A = 1 0 0 0 2 3 0 0 0

O espaço linha seria:

1,0 , 0 , 0,2 , 3

Mas poderíamos ter descoberto antes, pois já sabíamos que o vetor ( 2 , 0,0 ) era descartável e poderíamos ter escolhido a base:

1,0 , 0 , 1,2 , 3

Já que:

0,2 , 3 = 1,2 , 3 - 1,0 , 0

Verdadeira

Passo 4

Letra f)

Vamos usar o exemplo anterior:

A = 1 0 0 1 2 3 2 0 0

Após uma operação elementar:

E A = 1 0 0 1 2 3 0 0 0

Espaço coluna de A :

s p a n 1,1 , 2 , 0,2 , 0 , 0,3 , 0

Espaço coluna de E A :

s p a n 1,1 , 0 , 0,2 , 0 , 0,3 , 0

Como podemos ver os espaços gerados são diferentes e portanto os espaços colunas também logo a afirmativa é falsa. Lembre que para achar uma base para o ESPAÇO COLUNA deve-se escalonar A T .

Resposta

V, F, F, V, V, F

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