Lista de Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna
Encontre uma base para o espaço linha e coluna da matriz abaixo e de a dimensão do núcleo.
Ver solução completaDetermine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
Considere uma matriz elementar , uma matriz que ao multiplicar uma outra matriz , aplica uma operação elementar nela. Por exemplo, se você fizer , é como se tivesse trocado duas linhas de lugar, por exemplo.
- O espaço gerado de é o espaço coluna da matriz cujos vetores coluna são
- O espaço coluna de uma matriz é o conjunto solução de
- O conjunto de vetores linha não nulos de uma matriz é uma base do espaço linha de .
- Se for uma matriz elementar e uma matriz , então o espaço nulo de é igual ao espaço nulo de
- Se for uma matriz elementar e uma matriz , então o espaço linha de é igual ao espaço linha de
- Se for uma matriz elementar e uma matriz , então o espaço coluna de é igual ao espaço coluna de
Seja uma matriz , e sua forma escalonada. Marque a alternativa verdadeira:
- Nenhuma das alternativas acima.
Assinale a alternativa FALSA:
Seja uma matriz e o núcleo de um espaço de dimensão . O sistema pode não ter solução.
Se sempre tem pelo menos uma solução então a única solução de é .
Seja uma matriz e o núcleo de um espaço de dimensão . O sistema pode não ter solução.
Se e tem o mesmo núcleo então a matriz é quadrada.
Ver solução completaSeja uma matriz , com , tal que a dimensão da imagem de é igual a .
- nem sempre tem solução.
- Quando tem solução, a solução não é única.
e são verdadeiras.
é falsa, mas é verdadeira.
e são falsas.
é verdadeira, mas é falsa.
Ver solução completaConsidere as seguintes afirmações:
Se a matriz aumentada do sistema tiver mais colunas linearmente independentes do que a matriz , então o sistema não tem solução.
Se a matriz aumentada do sistema tiver mais linhas linearmente independentes do que a matriz , então o sistema não tem solução.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
A afirmativa é verdadeira e é falsa.
A afirmativa é falsa e é falsa.
A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.
A afirmativa é falsa e é verdadeira.
Ver solução completaSeja uma matriz e uma forma escalonada de . Se possui pivôs, então:
A dimensão do Núcleo de é
A dimensão da Imagem de é
é verdadeira e é falsa.
é verdadeira e é verdadeira.
é falsa e é falsa.
é falsa e é verdadeira.
Ver solução completaSeja uma matriz . é a dimensão da imagem de . Considere as afirmativas:
- se e somente se
A afirmativa é verdadeira e a é falsa
A afirmativa é falsa e a é falsa
A afirmativa é verdadeira e a é verdadeira
A afirmativa é falsa e a é verdadeira
Ver solução completaClassifique em verdadeira ou falsa as afirmativas abaixo para uma matriz , , onde :
- Sempre existe um subconjunto linearmente independente de que gera o núcleo de .
- A imagem de é um subconjunto de .
é verdadeira e é falsa
é verdadeira e é verdadeira
é falsa e é verdadeira
é falsa e é falsa
Ver solução completaSeja uma matriz tal que existem dois vetores distintos e satisfazendo . Podemos SEMPRE afirmar que:
- A dimensão do núcleo de é maior que
- A dimensão da imagem de é menor que
e são falsas
é falsa e é verdadeira
é verdadeira e é falsa
e são verdadeiras
Ver solução completaConsidere três plano , , que se interceptam numa reta . Tomando o sistema linear formado pelas equações cartesianas destes planos, quais são os pontos e as nulidades da matriz de coeficientes e da matriz aumentada do sistema?
A matriz
poderia ser a matriz de coeficientes do sistema acima (item )? Como deveria ser a matriz de termos independentes, neste caso?
Ver solução completaA transposta de é uma matriz , cujas linhas geram um espaço de dimensão a . Qual a dimensão do Núcleo de .
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é uma matriz cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a 3. Qual a dimensão do Núcleo de
a)
b)
c) 5
d)
Ver solução completaSeja uma matriz :
(a) É possível que seja a união de duas retas distintas de e seja um plano de
(b) É possível que seja e seja um subespaço de dimensão 4
(c) É possível que seja uma reta de e seja um plano de
(d) É possível que seja um plano de e seja um plano de
Ver solução completaSeja , onde
Selecione a alternativa INCORRETA:
(a) Se é sobrejetiva, então é bijetiva
(b) Se então não é sobrejetiva
(c) Se é injetiva, então
(d) Se então é injetiva
Ver solução completaé uma matriz cujas colunas geram um espaço de dimensão 1. Qual a dimensão do Núcleo de
(a)1
(b)2
(c)3
(d)4
Ver solução completaConsidere as afirmativas abaixo:
I - Se é uma matriz injetiva, então .
II - Se é uma matriz sobrejetiva, então .
(a) é falsa e é verdadeira.
(b) é verdadeira e é falsa.
(c) Ambas são verdadeiras.
(d) Ambas são verdadeiras.
Ver solução completaSeja A uma matriz cujas colunas geram um espaço de dimensão 3. A dimensão do núcleo de A é:
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
Ver solução completaSeja uma matriz cujo núcleo é e cuja imagem é . Se a entrada da matriz é igual a , antão é:
a) -2
b) -3
c) -4
d) -6
e) Não sei.
Ver solução completaConsidere as afirmativas:
- tem solução única se e só se as colunas de são linearmente independentes.
- tem solução para todo se e só se as linhas de são linearmente independentes.
e são verdadeiras.
e são falsas.
é verdadeira, mas é falsa.
é falsa, mas é verdadeira.
Ver solução completaSuponha que a matriz e o vetor são tais que a solução geral de tem duas variáveis livres. Se podemos afirmar que:
A solução geral de pode ter apenas uma variável livre.
A solução geral de sempre tem duas variáveis livres.
pode não ter solução.
pode ter uma única solução.
Ver solução completaé uma matriz cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a . Qual a dimensão do núcleo de ?
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Seja uma matriz sobrejetiva, cujo núcleo tem dimensão e cuja imagem tem dimensão . Quais as dimensões da matriz ?
é
é
é
é
Ver solução completaSeja uma matriz tal que o conjunto-solução de é e o de é . Estas informações não nos permitem concluir que:
O conjunto-solução de é .
O núcleo de é
O conjunto-solução de é o conjunto vazio.
A imagem de contém também vetores que não são gerados por e .
Ver solução completaé uma matriz cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a . Qual é a dimensão do Núcleo de ?
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A matriz :
É bijetiva.
É sobrejetiva.
É injetiva.
Não é nem sobrejetiva, nem injetiva.
Ver solução completaSeja uma matriz cujo núcleo tem dimensão . Pode-se afirmar que:
A imagem de tem dimensão .
tem infinitas soluções para todo .
é a única solução de .
As linhas de são linearmente dependentes.
Ver solução completaConsidere as afirmativas abaixo sobre , um sistema linear com duas equações incompatíveis.
- não é sobrejetiva
- pode ser injetiva
Ambas são verdadeiras
Ambas são falsas
é falsa e é verdadeira
é verdadeira e é falsa
Ver solução completaConsidere as afirmativas abaixo:
Existe uma matriz cujo núcleo é a reta e cuja imagem é o plano
Existe uma matriz cujo núcleo é a reta e cuja imagem é a reta
é verdadeira e é verdadeira.
é verdadeira e é falsa.
é falsa e é verdadeira.
é falsa e é falsa.
Ver solução completaSeja , e , não nulo, tal que . Considere as afirmativas abaixo:
- Existe , não nulo, tal que