Lista de Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Seja A T uma matriz 4 × 7 com

N u c A T = s p a n { 1,0 , 0,0 , 0,0 , 0 , 1,0 , 1,0 , 0,0 , 0 , 0,0 , 0,1 , 0,0 , 0 } . Marque a alternativa verdadeira:

a dim ⁡ N u c A = 3

b dim ⁡ I m A = 4

c dim ⁡ E s p a ç o   l i n h a A = 3

d p o s t o A T = 2

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Encontre uma base para o espaço linha e coluna da matriz abaixo e de a dimensão do núcleo.

A = 1 3 - 2 1 2 1 3 2 3 4 5 6

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Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.

Considere uma matriz elementar E , uma matriz que ao multiplicar uma outra matriz A , aplica uma operação elementar nela. Por exemplo, se você fizer E ⋅ A , é como se tivesse trocado duas linhas de lugar, por exemplo.

  1. O espaço gerado de v 1 , … , v n é o espaço coluna da matriz cujos vetores coluna são v 1 , … , v n
  2. O espaço coluna de uma matriz A é o conjunto solução de A x = b
  3. O conjunto de vetores linha não nulos de uma matriz A é uma base do espaço linha de A .
  4. Se E for uma matriz elementar m × m e A uma matriz m × n , então o espaço nulo de E A é igual ao espaço nulo de A
  5. Se E for uma matriz elementar m × m e A uma matriz m × n , então o espaço linha de E A é igual ao espaço linha de A
  6. Se E for uma matriz elementar m × m e A uma matriz m × n , então o espaço coluna de E A é igual ao espaço coluna de A

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Seja A uma matriz 3 × 3 , e U = 1 0 2 0 3 1 0 0 6 sua forma escalonada. Marque a alternativa verdadeira:

  1. N u c A ≠ N u c U
  2. I m A = s p a n 1,0 , 0 , 0,3 , 0 , 2,1 , 6
  3. I m A T = s p a n { 3,0 , 6 , 0,6 , 2 , 0,0 , 1 }
  4. Nenhuma das alternativas acima.

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Assinale a alternativa FALSA:

a   Seja A uma matriz 8 × 10 e o núcleo de A um espaço de dimensão 2 . O sistema A x = b pode não ter solução.

b   Se A x = b sempre tem pelo menos uma solução então a única solução de A T x = 0 → é x = 0 → .

c   Seja A uma matriz 10 × 8 e o núcleo de A um espaço de dimensão 2 . O sistema A x = b pode não ter solução.

d   Se A e A T tem o mesmo núcleo então a matriz A é quadrada.

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Seja A uma matriz quadrada n × n . Lembrar que A 2 = A A . Pode-se afirmar que:

a   N u c A 2 ⊂ N u c A e I m A ⊂ I m A 2 .

b   N u c A 2 ⊂ N u c A e I m A 2 ⊂ I m A .

c   N u c A ⊂ N u c A 2 e I m A 2 ⊂ I m A .

d   N u c A 2 ⊂ N u c A e I m A ⊂ I m A 2 .

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Seja A uma matriz m × n , com m < n , tal que a dimensão da imagem de A é igual a m .

  1. A x → = b → nem sempre tem solução.
  2. Quando A x → = b → tem solução, a solução não é única.

( a ) I e I I são verdadeiras.

b   I é falsa, mas I I é verdadeira.

( c ) I e I I são falsas.

( d ) I é verdadeira, mas I I é falsa.

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Considere as seguintes afirmações:

I   Se a matriz aumentada do sistema A x → = b → tiver mais colunas linearmente independentes do que a matriz A , então o sistema não tem solução.

I I Se a matriz aumentada do sistema A x → = b → tiver mais linhas linearmente independentes do que a matriz A , então o sistema não tem solução.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

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Seja A uma matriz 5 × 4 e R uma forma escalonada de A . Se R possui 3 pivôs, então:

I A dimensão do Núcleo de A é 1

I I A dimensão da Imagem de A é 3

a   I é verdadeira e I I é falsa.

b   I é verdadeira e I I é verdadeira.

c   I é falsa e I I é falsa.

d   I é falsa e I I é verdadeira.

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Seja A uma matriz n × n . p o s t o A é a dimensão da imagem de A . Considere as afirmativas:

  1. A x → = 0 → se e somente se A T A x → = 0 →
  2. p o s t o A = p o s t o A T A

a   A afirmativa I é verdadeira e a I I é falsa

b   A afirmativa I é falsa e a I I é falsa

c   A afirmativa I é verdadeira e a I I é verdadeira

d A afirmativa I é falsa e a I I é verdadeira

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Classifique em verdadeira ou falsa as afirmativas abaixo para uma matriz A , m × n , onde m < n :

  1. Sempre existe um subconjunto linearmente independente de R n que gera o núcleo de A .
  2. A imagem de A é um subconjunto de R n .

a   I é verdadeira e I I é falsa

b   I é verdadeira e I I é verdadeira

c   I é falsa e I I é verdadeira

d   I é falsa e I I é falsa

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Seja A uma matriz 4 × 4 tal que existem dois vetores distintos u → e v → satisfazendo A u → = A v → . Podemos SEMPRE afirmar que:

  1. A dimensão do núcleo de A é maior que 0
  2. A dimensão da imagem de A é menor que 3

a   I e I I são falsas

b   I é falsa e I I é verdadeira

c   I é verdadeira e I I é falsa

d   I e I I são verdadeiras

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a Considere três plano α , β , γ que se interceptam numa reta r . Tomando o sistema linear formado pelas equações cartesianas destes planos, quais são os pontos e as nulidades da matriz de coeficientes e da matriz aumentada do sistema?

b A matriz

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

poderia ser a matriz de coeficientes do sistema acima (item a )? Como deveria ser a matriz de termos independentes, neste caso?

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A transposta de A é uma matriz 19 × 34 , cujas linhas geram um espaço de dimensão a 14 . Qual a dimensão do Núcleo de A .

( a ) 5

( b ) 14

( c ) 20

( d ) 15

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Seja A = 1 0 2 2 - 3 1 - 5 - 4 2 - 3 1 - 1 .

Então, a dimensão do núcleo de A é igual a:

( a ) 2

( b ) 1

( c ) 3

( d ) 0

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A   é uma matriz 10 × 7 cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a 3. Qual a dimensão do Núcleo de A ?

a)   7

b)   6

c) 5

d)   4

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Seja A uma matriz 3 × 4 :

(a) É possível que N ( A ) seja a união de duas retas distintas de R 4 e I m ( A ) seja um plano de R 3

(b) É possível que N A seja { 0 → } e I m ( A ) seja um subespaço de dimensão 4

(c) É possível que N ( A ) seja uma reta de R 4 e I m ( A ) seja um plano de R 3

(d) É possível que N ( A ) seja um plano de R 4 e I m A seja um plano de R 3

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Seja C = A B , onde

A = 1 1 1 2 2 a , B = 1 2 2 4 3 b

Selecione a alternativa INCORRETA:

(a) Se C é sobrejetiva, então C é bijetiva

(b) Se a = 2 então C não é sobrejetiva

(c) Se C é injetiva, então b ≠ 6

(d) Se b ≠ 6 então C   é injetiva

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A é uma matriz 8 × 3   cujas colunas geram um espaço de dimensão 1. Qual a dimensão do Núcleo de A ?

(a)1

(b)2

(c)3

(d)4

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Considere as afirmativas abaixo:

I - Se A é uma matriz 5   ×   3 injetiva, então D i m ( N ( A ) )   =   2 .

II - Se B é uma matriz 3   ×   5 sobrejetiva, então D i m ( N ( B ) )   =   2 .

(a) I é falsa e I I é verdadeira.

(b) I é verdadeira e I I é falsa.

(c) Ambas são verdadeiras.

(d) Ambas são verdadeiras.

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Considere a matriz

A = 1 3 5 2 4 6

(a) D i m N u c A = 2 e D i m I m A = 2

(b) D i m N u c A = 1 e D i m I m A = 1

(c) D i m N u c A = 2 e D i m I m A = 1

(d) D i m N u c A = 1 e D i m I m A = 2

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Seja A uma matriz 9 × 7 cujas colunas geram um espaço de dimensão 3. A dimensão do núcleo de A é:

(a) 2

(b) 3

(c) 4

(d) 5

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Seja A uma matriz 3 × 3 cujo núcleo é ⟨ 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   0 ⟩ e cuja imagem é 3 ,   2 ,   1 . Se a entrada a 12 da matriz A é igual a 6 , antão a 33 é:

a) -2

b) -3

c) -4

d) -6

e) Não sei.

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Considere as afirmativas:

  1. A x → = 0 → tem solução única se e só se as colunas de A são linearmente independentes.
  2. A x → = b → tem solução para todo b → se e só se as linhas de A são linearmente independentes.

a I e I I são verdadeiras.

b I e I I são falsas.

c I é verdadeira, mas I I é falsa.

d I é falsa, mas I I é verdadeira.

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Suponha que a matriz A 6 × 8 e o vetor b ∈ R 6 são tais que a solução geral de A x = b tem duas variáveis livres. Se b ≠ c ∈ R 6 podemos afirmar que:

( a ) A solução geral de A x = c pode ter apenas uma variável livre.

( b ) A solução geral de A x = c sempre tem duas variáveis livres.

( c ) A x = c pode não ter solução.

( d ) A x = c pode ter uma única solução.

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A é uma matriz 8 × 6 cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a 4 . Qual a dimensão do núcleo de A ?

a   2

b   3

c   1

d   4

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Seja A uma matriz sobrejetiva, cujo núcleo tem dimensão 4 e cuja imagem tem dimensão 3 . Quais as dimensões da matriz A ?

a   A é 3 × 7

b   A é 7 × 3

c   A é 7 × 7

d   A é 4 × 4

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Sejam u e v vetores-coluna não nulos de R 3 . Qual a dimensão da imagem da matriz A = u v T

( a ) 1

( b ) 3

( c ) 6

( d ) 0

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Dado A = 1 2 b 3 a 9 2 4 6 e sabendo que o Núcleo A tem dimensão igual a 2 , qual o valor de a + b ?

( a ) a + b = 6

( b ) a + b = 2

( c ) a + b = 9

( d ) a + b = 4

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Seja A uma matriz 4 × 4 tal que o conjunto-solução de A x → = 1,2 , - 1 , - 2 é 1,2 , 3,4 + 1,1 , 1,1 e o de A x → = 3,1 , 2,4 é 2,1 , 1,4 + 1,1 , 1,1 . Estas informações não nos permitem concluir que:

( a ) O conjunto-solução de A x → = 3 , - 4,7 , 1 4 é 1 , - 4 , - 7 , - 4 + 1,1 , 1,1 .

( b ) O núcleo de A é 1 , 1,1 , 1

( c ) O conjunto-solução de A x → = 3 , - 4,7 , 15 é o conjunto vazio.

( d ) A imagem de A contém também vetores que não são gerados por 1 , 2 , - 1 , - 2 e 3,1 , 2,4 .

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A é uma matriz 8 × 6 cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a 4 . Qual é a dimensão do Núcleo de A ?

a   1

b   3

c   2

d   4

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A matriz A = 1 2 3 4 5 6 :

a   É bijetiva.

b É sobrejetiva.

c   É injetiva.

d   Não é nem sobrejetiva, nem injetiva.

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Seja A uma matriz 5 × 7 cujo núcleo tem dimensão 2 . Pode-se afirmar que:

a   A imagem de A tem dimensão 3 .

b   A x → = b → tem infinitas soluções para todo b → .

c   0 → é a única solução de A x → = 0 → .

d   As linhas de A são linearmente dependentes.

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Considere as afirmativas abaixo sobre A x → = b → , um sistema linear com duas equações incompatíveis.

  1. A não é sobrejetiva
  2. A pode ser injetiva

a   Ambas são verdadeiras

b   Ambas são falsas

c   I é falsa e I I é verdadeira

d   I é verdadeira e I I é falsa

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Considere as afirmativas abaixo:

I Existe uma matriz 3 × 2 cujo núcleo é a reta x + y = 0 e cuja imagem é o plano x + y + z = 0

I I Existe uma matriz 3 × 2 cujo núcleo é a reta x + y = 0 e cuja imagem é a reta t 1,1 , 1 , t ∈ R

a   I é verdadeira e I I é verdadeira.

b   I é verdadeira e I I é falsa.

c   I é falsa e I I é verdadeira.

d   I é falsa e I I é falsa.

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Seja A , 3 × 3 e v → , não nulo, tal que A v → = 0 → . Considere as afirmativas abaixo:

  1. Existe w → , não nulo, tal que A T w → = 0 →