Núcleo e Injetividade de uma Matriz

Teoria Completa

Introdução

Lembra do sistema linear homogêneo??? Então, vamos ver nesse capítulo que ele é muito importante! E, além disso, vamos dar um nome especial para a solução dele.

Núcleo ou Espaço nulo

O núcleo, ou espaço nulo, de uma matriz A (vou denotar por Nuc ( A ) ) é o conjunto-solução do sistema homogêneo

A x = 0

Isso te lembra alguma coisa? O termo A x não te lembra um sistema linear? E o que acontece quando igualamos ele a zero mesmo? Ahh sim, chamamos ele de sistema linear homogêneo. Então calcular o núcleo de uma matriz, é só achar a solução do sistema linear homogêneo daquela matriz?? SIM!!

Exemplo 1:

Calcule o núcleo da matriz A abaixo:

A = 1 0 2 1

Basta resolver o sistema:

A x = 0

Sendo:

x = x 1 x 2

1 0 2 1 ⋅ x 1 x 2 = 0 ⇒

x 1 = 0 2 x 1 + x 2 = 0 ⇒ x 2 = 0

Assim o núcleo da matriz é o vetor solução 0 0

N u c A = 0 0

Exemplo 2:

Calcule o núcleo da matriz A abaixo:

A = 1 2 2 4

Achar o núcleo é só achar a solução do sistema homogêneo:

1 2 2 4 ⋅ x y = 0 ⇒

x + 2 y = 0 ⇒ x = - 2 y 2 x + 4 y = 0 ⇒ x + 2 y

Como a segunda equação era igual a primeira, podemos eliminá-la. Sedo assim, o núcleo fica:

x , y = - 2 y , y = y - 2,1

N u c A = s p a n - 2,1   o u   N u c A = - 2,1

Lembra, que o sistema homogêneo só pode ter a solução trivial (vetor nulo) ou infinitas soluções (um espaço gerado)? Então, foi exatamente esses dois exemplos. No primeiro caso, a dimensão do Núcleo será 0 e no segundo será maior que 0, além disso, podemos chamar essa dimensão do núcleo de nulidade. Esse termo não é muito utilizado, mas é sempre bom saber ;D.

Injetividade

Se liga naquele caso do exemplo 1 . Então, quando você só encontrar o vetor nulo vamos chamar a matriz de injetiva, pode ser? Esse normalmente é um caso especial, e por isso damos esse nome.

Acho que você deve estar pensando, mas injetividade não era aquela parada de funções que:

f x 1 = f x 2 ⇒ x 1 = x 2

Bom, mas a verdade é que uma matriz também pode ser considerada uma função e ai podemos aplicar todas essas coisas. Mas ficar verificando essa implicação ai em cima seria muito chato e trabalhoso. É por isso que existe um teorema que nos poupa muito trabalho!

Ele nos diz que se o núcleo é o vetor nulo ou se a dimensão dele for 0, então ela é injetiva, sacou? E é isso que vamos usar.

Teorema: Se N u c A = { 0 } , então a matriz é injetiva

Uma observação útil é que a matriz só pode ser injetiva se o número de linhas for maior ou igual ao número de colunas! Cuidado com esse pode, ele quer dizer que toda matriz injetiva obedece isso, mas nem toda matriz que obedece isso é injetiva.

Isso acontece porque nesse caso, o numero de equações é maior ou igual ao número de variáveis, dando a possibilidade( não é certo pois não sabemos se as equações são L I ) de termos 0 variáveis livres e portanto um espaço de dimensão nula como solução.

Relacionando isso com a solução do sistema associado à matriz temos que quando N u c A ≠ 0 a matriz não é injetiva e portanto o sistema A x = b nunca possui solução única. Repare que nada impede que ele não tenha solução! Mas caso tenha, ela não será única.

Além disso, tenho um bizú que pode te ajudar também:

Seja A uma matriz quadrada. São equivalentes os fatos abaixo:

  • N u c A ≠ { 0 }
  • dim ⁡ N u c A ≠ 0
  • A não é injetiva
  • Colunas(ou linhas) de A são L D
  • A não é inversível

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P1-2016.1

Seja A = 1 0 - 1 2 - 3 1 4 - 4 2 - 3 - 5 - 1 .

Então a dimensão do núcleo de A é igual a:

a 1

b 2

c 0

d 3

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Passo 1

Vamos pegar o sistema homogêneo e escalonar.

1 0 - 1 2 - 3 1 4 - 4 2 - 3 - 5 - 1 0 0 0 → L 2 ← L 2 + 3 L 1 L 3 ← L 3 - 2 L 1

1 0 - 1 2 0 1 1 2 0 - 3 - 3 - 5 0 0 0 → L 3 ← L 3 + 3 L 2

1 0 - 1 2 0 1 1 2 0 0 0 1 0 0 0

Beleza, são todas L I . Isso quer dizer que temos 3 equações e 4 variáveis. Como temos 1 variável livre, a dimensão do núcleo é 1 .

Resposta

Letra a  

Exercício Resolvido #2

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 127 – Fix. 4.15 (Adaptado)

Seja A uma matriz com m linhas e n colunas. Determine se é verdadeiro ou falso:

  1. Se m > n , então as colunas são L I
  2. Se m < n , então o núcleo de A contém uma reta.
  3. Se A é injetiva e U é a sua forma escalonada, então U é injetiva.
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Passo 1

Letra a)

Basta arrumar um contra-exemplo. Sei que isso normalmente é a parte difícil, mas tenta chutar a matriz mais simples possível satisfazendo as condições do enunciado.

1 1 2 2 3 3

Nesse caso, temos que o número de linhas é maior que o de colunas certo? Mas as colunas são iguais! Logo o conjunto é L D . Falso

Letra b)

Lembra que na teoria vimos que para uma matriz ser injetiva ( N u c A = 0 ), o número de linhas tem que ser maior ou igual ao número de colunas!

E nesse caso ele diz que o número de linhas é menor que o número de colunas! Nesse caso, a matriz não é injetiva e seu núcleo terá dimensão maior ou igual a 1 . Então ele sempre vai conter uma reta. Verdadeira.

Passo 2

Letra c)

Se A é injetiva, quer dizer que N u c A = { 0 } . Então a solução do sistema A x = 0 é a trivial. Como U a a forma escalonada de A , então são matrizes equivalente e, por isso, a solução dos sistemas lineares são equivalentes! Logo se A x = 0 possui somente a solução trivial, então U x = 0 também possui!! Portanto, N u c U = { 0 } e U é injetiva. Verdadeiro

Resposta

  1. Falso
  2. Verdadeiro
  3. Verdadeiro

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Ache o núcleo da matriz

A = 1 0 1 1 2 0 1 2 3

E decide se a matriz é ou não injetiva.

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Passo 1

Para achar o núcleo devemos resolver o sistema homogêneo associado a essa matriz:

A x = 0 ⇒

1 0 1 1 2 0 1 2 3 ⋅ x y z = 0 ⇒

x + z = 0 ⇒ x = - z ⇒ x = 0 x + 2 y = 0 ⇒ - z + 2 y = 0 ⇒ y = z 2 ⇒ y = 0 x + 2 y + 3 z = 0 ⇒ - z + z + 3 z = 0 ⇒ z = 0

Sendo assim,

N u c A = 0

E a matriz é injetiva.

Resposta

N u c A = { 0 }

É injetiva.

Exercício Resolvido #4

UFRJ-P2-2015.2.2

Considere as seguintes afirmações:

I Sejam A e B matrizes tal que o produto A B está definido. Se A B é injetiva, então a dimensão do núcleo de B é zero.

I I Sejam A e B matrizes tal que o produto A B está definido. Se A B é injetiva, então as colunas de B são linearmente independentes.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

a   A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

b   A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

c   A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

d   A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

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Passo 1

Uma coisa interessante dessa questão é que ambas as afirmações estão falando a mesma coisa de um jeito diferente!! As duas dizem, em outras palavras, que se A B é injetiva, então B também é injetiva! O que quer dizer que a dimensão do núcleo de B é zero e que as colunas de B são linearmente independentes!

Então na real é só verificar se A B injetiva implica em B injetiva. Bom, imagine que B não fosse injetiva. Nesse caso teríamos um vetor v ∈ N u c B , de forma que:

B v = 0

Então teríamos:

A B v = A 0 = 0

Logo, v também pertenceria ao núcleo de A B ! Ou seja, se B não for injetiva não tem como A B ser injetiva! Logo, se A B é injetiva, então B é injetiva. Ambas são verdadeiras.

Resposta

Letra a  

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