Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

Teoria Completa

Espaço coluna ou Imagem

Bom, para matrizes dizemos que a Imagem é igual ao espaço-coluna dela. Mas o que é o espaço-coluna???

Espaço-coluna: É o espaço gerado pelos vetores coluna dessa matriz

Por exemplo, o espaço-coluna ou imagem da matriz   A = 1 0 2 1 é o espaço gerado:

I m A = s p a n 1 2 , 0 1

o u

I m A = s p a n { 1,2 , 0,1 }

E como esses dois vetores colunas são L I uma possível base é 1 2 , 0 1 .

Tá essa foi fácil... E se a matriz fosse muito maior, como acharia uma base para a imagem??

Bom, daria pra ficar vendo no olho mas isso pode demorar muito... Para isso existe um jeito muito prático! Lembra que para acharmos se um conjunto de vetores é L I ou L D basta botarmos eles em linha em uma matriz e escalonar até as linhas zerarem???

Sim?!! Então vamos usar exatamente esse fato! Porém agora queremos saber uma base para os vetores coluna, assim não podemos escalonar em linhas, se você quiser escalonar com as colunas vá em frente! Não tem problema! Eu particularmente acho muito estranho rs e não recomendaria fazer isso.

Tá então já sabemos que não podemos escalonar em linhas para achar uma base do espaço-coluna, logo temos que pegar esses vetores e botarmos em linha para escalonar. Que coisa em álgebra linear transforma colunas em linhas?? A transposição!!

Dica: Para achar uma base para o espaço-coluna de uma matriz A , basta escalonar A T (a transposta de A )

Exemplo:

Encontre uma base para a imagem de A = 2 2 - 1 0 - 1 - 1 2 0 1 1 - 2 0 0 0 1 0 .

Basta escalonar a transposta:

A T = 2 - 1 1 0 2 - 1 1 0 - 1 2 - 2 1 0 0 0 0

Escalona aí!

Fez?

Se você escalonou, deve ter encontrado 2 - 1 1 0 0 3 2 - 3 2 1 .

Mas e aí, qual a base para a imagem?

A base para a imagem é 2 - 1 1 0 , 0 3 2 - 3 2 1 .

Ou seja,

I m A = s p a n 2 - 1 1 0 , 0 3 2 - 3 2 1

o u

I m A = s p a n 2 , - 1,1 , 0 , 0 , 3 2 , - 3 2 , 1  

O que fizemos aí foi achar o posto da matriz A T , mas o que é o posto de uma matriz???

Posto: É número de linhas não nulas de uma matriz após ser escalonada. Ou, em outras palavras, a dimensão da imagem da matriz.

Então quando escalonamos A T , achamos o seu posto que no caso é 2 . Então, podemos dizer que o posto de A T é igual à dimensão do espaço-coluna de A .

Obs.: Para encontrarmos uma base para a imagem é indispensável que escalonemos a A T e usemos as linhas de A T escalonada como base da imagem. Isso se deve ao fato de que ao escalonarmos uma matriz o espaço gerado pelas linhas permanece o mesmo, mas o gerado pelas colunas muda lembra?

No entanto, se o objetivo for unicamente descobrir a dimensão da imagem podemos escalonar tanto a matriz A quanto a matriz A T . Não há a necessidade de transpormos a matriz. A dimensão será o número de linhas ou colunas não zeradas da matriz escalonada. Isso se deve ao fato de que o número de linhas e colunas L I de uma matriz é sempre igual ;)

Sobrejetividade

Uma peculiaridade importante é quando a matriz é sobrejetiva? Acho que você deve estar lembrando desse nome, né? Dizemos que uma f : V ⟶ W é sobrejetiva, quando I m f = W   (contra-domínio). Maaaas de novo, podemos aplicar esses conceitos a matrizes de outro jeito. Calma, que isso tudo em álgebra ainda vai ser explicado. É só esperar chegar a transformações lineares.

Assim, vamos dizer que uma matriz m × n é sobrejetiva quando:

I m A = R m

o u

dim ⁡ I m A = m

Sendo m o número de linhas.

Vale ressaltar que uma matriz só pode ser sobrejetiva se seu número de colunas for maior ou igual ao seu número de linhas! Ênfase naquele pode! Nem toda matriz que obedece isso é sobrejetiva, mas toda matriz sobrejetiva obedece isso.

Relacionando isso às soluções do sistema associado à matriz temos que, quando a matriz é sobrejetiva, o sistema A x = b sempre terá solução. Repare que ele pode ter solução única ou várias soluções! O importante aqui é que ele sempre terá solução.

Agora já sabemos classificar uma matriz em injetiva e em sobrejetiva. Acontece que quando a matriz for injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo ela recebe outra classificação: bijetiva.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 85 – Fix. 3.3

Considere o sistema A x = b

  1. Se não tem solução, então b ___ ( ∈ , ∉ ) ____ ( I m A ,   N u c A )
  2. Se a solução não é única, então N u c ( A ) ____ ( = , ≠ ) _____ ( I m A , 0 )
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Passo 1

Letra a)

Sabemos que um sistema linear não tem solução quando b não pode ser escrito como uma C L dos vetores colunas de A . Sendo assim, b ∉ I m ( A )

Letra b)

O único jeito de termos infinitas soluções é com o sistema homogêneo associado tendo infinitas soluções, pois a solução geral é da forma:

S = v 0 + S 0

Sendo v 0 uma solução particular e S 0 a solução do sistema homogêneo. Logo, como o N u c ( A ) é exatamente a solução do sistema homogêneo, então podemos concluir que N u c A ≠ { 0 }

Resposta

  1. ∉ ,   I m A
  2. ≠ ,   { 0 }

Exercício Resolvido #2

UFRJ- P3-2014.2

Qual das matrizes abaixo possui imagem contida no plano x + y + z = 0 ?

( a ) 1 - 1 1 1 1 - 1 - 1 1 1

( b ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3

( c ) 1 1 - 2 - 1 1 0 1 - 1 0

( d ) 1 - 1 1 1 1 - 1 - 2 0 0

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Passo 1

Beleza, o enunciado afirma que a imagem está contida no plano x + y + z = 0 . E sabemos que a imagem é o espaço gerado pelas colunas. Bom, se o espaço gerado pelas colunas está contido no plano x + y + z = 0 então as próprias colunas da matriz também têm de estar! Então o que vamos fazer é ver qual matriz possui as 3 colunas contidas nesse plano:

a 1 + 1 - 1 = 1 ≠ 0

b 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 0

c 1 - 1 + 1 = 1 ≠ 0

d 1 + 1 - 2 = 0

- 1 + 1 + 0 = 0

1 - 1 + 0 = 0

Todas as letras falharam logo na primeira coluna, menos a d , logo essa tem que ser a resposta! Conferi todas as colunas de d só pra garantir mesmo haha, você podia ter parado na primeira.

Resposta

Letra ( d )

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Seja a matriz F = 1 2 1 3 1 1 2 - 1 0 .

Calcule a imagem, o posto, o núcleo e sua dimensão de F .

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Passo 1

Para calcular a imagem, lembre que é só escalonar a transposta!

Fazendo:

1 3 2 2 1 - 1 1 1 0 ~ ⏟ L 2 ← 2 L 1 - L 2 1 3 2 0 5 5 1 1 0 ~ ⏟ L 3 ← L 1 - L 3 1 3 2 0 5 5 0 2 2 ~ ⏟ descartando linha múltipla 1 3 2 0 2 2

Assim, { 1 ,   3 ,   2 ,   0 ,   2 ,   2 } é uma base para Im ( F ) .

Como a base tem dois vetores, então dim ⁡ Im F = 2 , ou seja, posto F = 2 .

A imagem, então, é dada por:

Im F = 1 3 2 ,   0 2 2

Passo 2

E para calcular o núcleo é só calcular o sistema homogêneo associado à matriz:

1 2 1 3 1 1 2 - 1 0 x y z = 0 0 0

Para resolver esse sistema, podemos escalonar totalmente a matriz:

1 2 1 0 3 1 1 0 2 - 1 0 0 ~ ⏟ ( i ) 1 2 1 0 0 5 2 0 0 5 2 0 ~ ⏟ ( i i ) 1 2 1 0 0 5 2 0 ~ ⏟ ( i i i ) 1 2 1 0 0 1 2 5 0 ~ ⏟ ( i v ) 1 0 1 5 0 0 1 2 5 0

i : L 2 ← 3 L 1 - L 2   e   L 3 ← 2 L 1 - L 2

i i :   descartando a 3ª linha, que é múltipla da 2ª

i i i L 2 ← 1 5 L 2

i v   L 1 ← L 1 - 2 L 2

Fazendo isso, veja que temos uma única coluna sem pivô, logo a dimensão do núcleo é 1 .  

Para calcular o núcleo, é só substituir as equações:

x + 1 5 z = 0 → x = - 1 5 z

y + 2 5 z = 0 → y = - 2 5 z

Assim,

x y z = - 1 5 z - 2 5 z z

Nuc F =   - 1 5 - 2 5 1  

Resposta

Im F = 1 3 2 ,   0 2 2 ,   posto F = 2