Axiomas do Produto Interno

Teoria Completa

Você provavelmente já viu alguma coisa sobre produto interno no ensino médio, principalmente em física, onde trabalhamos muito com vetores.

Bom, existem vários jeitos de denotar o produto interno entre dois vetores. Você provavelmente trabalhou com algum desses:

  • 〈 u , v 〉
  • u v
  • u ⋅ v

A que nós usaremos aqui será a primeira, mas você poderá encontrar qualquer uma dessas em livros.

Cuidado: Perceba que a notação que usaremos é igual à notação de espaço gerado, mas elas nem de longe são a mesma coisa!! Pelo contexto da questão estará sempre claro se essa notação quer dizer espaço gerado ou produto interno, então preste atenção para não confundir!

Cálculo do Produto Interno

Dando uma lembrada agora em como calculamos ele. Nós multiplicamos as primeiras coordenadas dos vetores e depois somamos com o produto das segundas coordenadas e assim em diante certo? Se liga:

1,2 , 3 , 4,5 , 6 = 1.4 + 2.5 + 3.6 = 4 + 10 + 18 = 32

Bom, a novidade aqui é que não existe só esse produto interno que te ensinaram a vida toda! Aquele é o que nós chamamos de produto interno usual, também conhecido como produto escalar.

Vamos dar uma viajada na matéria agora. Lembra de espaço vetorial? Lá nós podíamos inventar somas e produtos e depois verificávamos se continuava sendo um espaço vetorial. Você pode pensar que o produto interno funciona mais ou menos da mesma forma!

Nós podemos inventar produtos internos não usuais e verificar se ele obedece aos axiomas do produto interno:

  • Simetria: u , v = 〈 v , u 〉
  • Homogeneidade: λ u , v = λ u , v
  • Aditividade: u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉
  • Positividade: u , u > 0 , para todo u ≠ 0
  • u , u = 0 ⇔ u = 0

E é isso aí, essas são as propriedades que definem o produto interno. Basta que alguma operação que você invente obedeça todas elas para ser considerada um produto interno.

Vamos ver um exemplo pras coisas ficarem um pouquinho mais claras:

Sendo u = x 1 , y 1 e v = ( x 2 , y 2 ) vetores do R 2 verifique se u , v = 2 x 1 x 2 - y 1 y 2 é um produto interno sobre o R 2 .

Testando a simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

2 x 1 x 2 - y 1 y 2 = 2 x 2 x 1 - y 2 y 1     ✔

Testando a homogeneidade:

λ u , v = λ u , v

2 λ x 1 x 2 - λ y 1 y 2 = λ 2 x 1 x 2 - y 1 y 2   ✔

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = ( x 3 , y 3 )

2 x 1 + x 3 x 2 - ( y 1 + y 3 ) y 2 = 2 x 1 x 2 - y 1 y 2 + 2 x 3 x 2 - y 3 y 2

2 x 1 x 2 + 2 x 3 x 2 - y 1 y 2 - y 3 y 2 = 2 x 1 x 2 - y 1 y 2 + 2 x 3 x 2 - y 3 y 2   ✔

Testando a positividade:

u , u > 0

2 x 1 x 1 - y 1 y 1 > 0 ⟹ 2 x 1 2 - y 1 2 > 0   ✗

É possível que y 1 2 seja maior que 2 x 1 2 , o que daria um resultado negativo, tornando a afirmativa acima falsa. Assim, essa operação falha no axioma e por isso não é um produto interno.

Mas, só para terminar:

u , u = 0 ⇔ u = 0

2 x 1 2 - y 1 2 = 0 ⇎ u = 0   ✗

É possível que o resultado seja zero sem que u   seja o vetor nulo, logo, aqui também falha.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 143. – 4

Sejam V = R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 , z 1 e v = x 2 , y 2 , z 2 .

Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 .

Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.

a   u ∙ v = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2

b   u ∙ v = 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2

c   u ∙ v = 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2

d   u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2

e   u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2

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Passo 1

Bom, não tem jeito, vamos ter que testar todos os axiomas em todas as letras. Vamos lá então:

a   u ∙ v = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 = x 2 x 1 + 3 y 2 y 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

( λ x 1 ) x 2 + 3 ( λ y 1 ) y 2 = λ ( x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 )       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

( x 1 + x 3 ) x 2 + 3 y 1 + y 3 y 2 = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 + x 3 x 2 + 3 y 3 y 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

x 1 x 1 + 3 y 1 y 1 = x 1 2 + 3 y 1 2 > 0       ✓

u , u = 0 ⇔ u = 0

x 1 2 + 3 y 1 2 = 0 ⇔ x 1 , y 1 = 0,0       ‼

Opa, temos um problema. O que esse axioma diz é que se o produto interno de um vetor com ele mesmo for zero, o vetor deve ser o vetor nulo.

No entanto, para esse produto interno, quando temos u , u = 0 , isso nos garante apenas que as duas primeiras coordenadas de u são iguais a zero. Logo poderíamos ter u = 0,0 , 4 .

Logo, essa função não é um produto interno pois não respeita o último axioma.

Passo 2

b   u ∙ v = 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 = 3 x 2 x 1 + 5 y 2 y 1 + 2 z 2 z 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

3 λ x 1 x 2 + 5 λ y 1 y 2 + 2 ( λ z 1 ) z 2 = λ 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

3 x 1 + x 3 x 2 + 5 y 1 + y 3 y 2 + 2 ( z 1 + z 3 ) z 2 =

= 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 + 3 x 3 x 2 + 5 y 3 y 2 + 2 z 3 z 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

3 x 1 2 + 5 y 1 2 + 2 z 1 2 > 0       ✓

u , u = 0 ⇔ u = 0

3 x 1 2 + 5 y 1 2 + 2 z 1 2 = 0 ⇔ x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0       ✓

Essa função de fato satisfaz todos os axiomas, então temos um produto interno.

Passo 3

c   u ∙ v = 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2 = 2 x 2 2 y 2 2 + 3 x 1 2 y 1 2 + z 2 2 z 1       ‼

Olhando bem pra essa equação, conseguimos ver que não necessariamente o lado direito da equação que achamos é igual ao lado esquerdo, certo?

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

2 λ x 1 2 λ y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + λ z 1 2 z 2 = λ 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2

2 λ 4 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + λ 2 z 1 2 z 2 = 2 λ x 1 2 y 1 2 + 3 λ x 2 2 y 2 2 + λ z 1 2 z 2       ‼

Repara que do lado esquerdo temos 2 λ 4 x 1 2 y 1 2 enquanto do lado direito temos 2 λ x 1 2 y 1 2 ,   logo essa igualdade não é válida!

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

2 x 1 + x 3 2 y 1 + y 3 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 + z 3 2 z 2 =

= 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2 + 2 x 3 2 y 3 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 3 2 z 2       ‼

Poxa, se a gente expandir aqueles quadrados ali do lado direito não vamos chegar no mesmo resultado do lado esquerdo, pois vão aparecer alguns termos cruzados. Então essa propriedade não é válida.

Positividade:

u , u > 0

2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 > 0

5 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 > 0       ‼ !

Repara que 5 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 < 0 se x 1 = y 1 = 1 e z 1 = - 2 , por exemplo, então essa inequação de cara não é verdadeira!

u , u = 0 ⇔ u = 0

5 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 = 0 ⇎ x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0       ‼

Como temos um termo ao cubo, se z 1 3 = - 5 x 1 2 y 1 2 , então a inequação é verdadeira. E pra isso acontecer, não necessariamente esses termos são todos nulos!

Essa função, por outro lado, não respeita nenhum dos três axiomas!

Portanto, ela não é, de forma alguma, um produto interno.

Passo 4

d   u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 - z 2 z 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

λ x 1 x 2 + λ y 1 y 2 - λ z 1 z 2 = λ x 2 x 1 + y 2 y 1 - z 2 z 1       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

( x 1 + x 3 ) x 2 + y 1 + y 3 y 2 - z 1 + z 3 z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2 + x 3 x 2 + y 3 y 2 - z 3 z 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

x 1 2 + y 1 2 - z 1 2 > 0       ‼

u , u = 0 ⇔ u = 0

x 1 2 + y 1 2 - z 1 2 = 0 ⇎ x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0       ‼

Novamente, a função não é um produto interno pois falha nos dois últimos axiomas.

Passo 5

e   u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 + z 2 z 1 - x 1 y 2 - x 2 y 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

λ x 1 x 2 + λ y 1 y 2 + λ z 1 z 2 - λ x 2 y 1 - λ x 1 y 2 =

= λ x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

( x 1 + x 3 ) x 2 + y 1 + y 3 y 2 + z 1 + z 3 z 2 - x 2 y 1 + y 3 - x 1 + x 3 y 2 =

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2 + x 3 x 2 + y 3 y 2 + z 3 z 2 - x 2 y 3 - x 3 y 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 - x 1 y 1 - x 1 y 1 > 0     ✓

Essa é um pouco mais dicícil de reparar que é de fato verdade, então aqui vai uma ajudinha:

Sabemos que x 1 - y 1 2 > 0 . E x 1 - y 1 2 = x 1 2 - 2 x 1 y 1 + y 1 2

Logo:

x 1 2 - 2 x 1 y 1 + y 1 2 > 0 ⇒ x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 - x 1 y 1 - x 1 y 1 > 0

u , u = 0 ⇔ u = 0

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 - x 1 y 1 - x 1 y 1 = 0

x 1 - y 1 2 + z 1 2 = 0 ⇎ x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0       ‼

Nesse caso, basta termos x 1 = y 1 e z 1 = 0 para que u , u = 0

Logo, também não é um produto interno pois falha no último axioma.

Resposta

a Não é produto interno. Falha no último axioma.

b É produto interno.

c Não é produto interno. Falha em todos os axiomas.

d Não é produto interno. Falha nos dois últimos axiomas.

e Não é produto interno. Falha no último axioma.

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 144. – 9

Seja a função

f : R 2 × R 2 → M 1,1

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 → x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2

Mostre que f é um produto interno em R 2

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Passo 1

Para mostrarmos que f é um produto interno basta verificarmos que ele satisfaz todos os axiomas.

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 = x 2 , y 2 1 1 1 2 x 1 y 1

x 1 , y 1 x 2 + y 2 x 2 + 2 y 2 = x 2 , y 2 x 1 + y 1 x 1 + 2 y 1

x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2 = x 2 x 1 + y 1 + y 2 x 1 + 2 y 1

x 1 x 2 + x 1 y 2 + y 1 x 2 + 2 y 1 y 2 = x 2 x 1 + x 2 y 1 + y 2 x 1 + 2 y 2 y 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

λ x 1 , λ y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 = λ x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2

λ x 1 x 2 + y 2 + λ y 1 x 2 + 2 y 2 = λ x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3

x 1 + x 3 , y 1 + y 3 1 1 1 2 x 2 y 2 = x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 + x 3 , y 3 1 1 1 2 x 2 y 2

( x 1 + x 3 ) x 2 + y 2 + y 1 + y 3 x 2 + 2 y 2 =

= x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2 + x 3 x 2 + y 2 + y 3 x 2 + 2 y 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

x 1 , y 1 1 1 1 2 x 1 y 1 > 0

x 1 x 1 + y 1 + y 1 x 1 + 2 y 1 > 0

x 1 2 + x 1 y 1 + x 1 y 1 + 2 y 1 2 > 0

x 1 2 + 2 x 1 y 1 + y 1 2 + y 1 2 > 0

x 1 + y 1 2 + y 1 2 > 0       ✓

u , u = 0 ⇔ u = 0

x 1 + y 1 2 + y 1 2 = 0 ⇔ x 1 , y 1 = 0,0       ✓

Prontinho, está mostrado.

Resposta

Exercício Resolvido #3

Apostila Produto Interno – Engenharia Fácil

Encontre o produto interno entre os vetores v → = ( 1 ,   2 ,   3 ,   7 ,   1 ) e u → = ( 2 ,   2 ,   3 ,   - 1 ,   - 1 ) ⊂ R 5 .

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Passo 1

Antes de tudo: sempre que o exercício fala pra calcularmos o produto interno mas não define qual é, vamos usar o produto interno usual, aquele escalar sabe?

Então é só a gente multiplicar cada coordenada e depois somar tudo :)

Passo 2

Calculando o produto interno usual:

⟨ v → ,   u → ⟩ = 1 ,   2 ,   3 ,   7 ,   1 . ( 2 ,   2 ,   3 ,   - 1 ,   - 1 )

⟨ v → ,   u → ⟩ = 1.2 + 2.2 + 3.3 + 7 . - 1 + 1 . ( - 1 )

⟨ v → ,   u → ⟩ = 2 + 4 + 9 - 7 - 1

Então o resultado desse produto interno é:

⟨ v → ,   u → ⟩ = 7

Resposta

⟨ v → ,   u → ⟩ = 7

Exercício Resolvido #4

Universidade de Lisboa, Lista de exercícios de Álgebra Linear, 2004/2005

No espaço linear real de todos os polinômios reais, determine se

⟨ p ,   q ⟩ = p 1 q ( 1 )

é um produto interno, e, em caso negativo, indique quais dos axiomas da definição de produto interno são violados.

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Passo 1

Bom, a gente viu que pra uma aplicação ser produto interno, ela deve cumprir os axiomas de simetria, linearidade na soma e na multiplicação e positividade.

Vamos testar esses 4 axiomas para verificar se a aplicação do enunciado é um produto interno beleza?

Começando pela simetria:

⟨ p ,   q ⟩ = ⟨ q ,   p ⟩

p 1 q 1 = q 1 p ( 1 )

Como a multiplicação é uma operação comutativa, então, de fato, p 1 q 1 = q 1 p ( 1 ) . Logo, o axioma da simetria é satisfeito certo? Vamos testar o da linearidade agora.

Passo 2

Linearidade na multiplicação:

⟨ λ p ,   q ⟩ = λ ⟨ p ,   q ⟩

Aplicando a operação do enunciado:

λ p 1 q 1 = λ ( p 1 q 1 )

De fato:

λ p 1 q 1 = λ p 1 q 1

Linearidade na soma:

Seja o polinômio s ( x ) :

⟨ p + s ,   q ⟩ = ⟨ p ,   q ⟩ + ⟨ s ,   q ⟩

Com a aplicação do enunciado:

p 1 + s 1 q 1 = p 1 q 1 + s 1 q 1

Fazendo a distributiva do lado esquerdo:

p 1 q 1 + s 1 q 1 = p 1 q 1 + s 1 q 1

Então, tanto a linearidade da soma como a da multiplicação são satisfeitas!! Agora só falta um axioma :D

Passo 3

Positividade:

p ,   p > 0

p 1 p 1 > 0

p 1 2 > 0

De fato, qualquer valor ao quadrado é positivo certo? Então o axioma da positividade também é satisfeito :D

Agora vamos provar que

p ,   p = 0 ⇔ p = 0

p ,   p = 0

p 1 p 1 = 0

p 1 2 = 0

Para um número ao quadrado ser 0, sabemos que esse número deve ser 0 também certo? Então, de fato: p ,   p = 0 ⇔ p = 0

Com todos os axiomas satisfeitos, temos que realmente ⟨ p ,   q ⟩ = p 1 q ( 1 ) representa um produto interno! Uhuuu

Resposta

É um produto interno :)

Exercício Resolvido #5

Álgebra Linear e suas aplicações, Petronio Pulino, Departamento de matemática aplicada da UNICAMP - Adaptado

Considere o espaço vetorial real C ( a ,   b ) . Mostre que a aplicação

f ,   g = ∫ a b f x g x d x             ∀   f ,   g   ∈   C ( a ,   b )

representa um produto interno.

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Passo 1

E vamos de demonstração dos axiomas de produto interno hahaha

Simetria:

⟨ f ,   g ⟩ = ⟨ g ,   f ⟩

∫ a b f x g x d x = ∫ a b g x f x d x

Ora, sabemos que a multiplicação é uma operação comutativa, então f x g x = g x f x , e aí o resultado das integrais com certeza vai ser o mesmo, certo? Então o axioma da simetria ta provado :D

Passo 2

Linearidade na multiplicação:

⟨ λ f ,   g ⟩ = λ ⟨ f ,   g ⟩

∫ a b λ f x g x d x = λ ∫ a b f x g x d x

Lá de cálculo 1, sabemos que uma constante pode ser tirada de dentro da integral. Opa! λ é uma constante né? Então vamos tirar ela da integral do lado esquerdo:

λ ∫ a b f x g x d x = λ ∫ a b f x g x d x