Axiomas do Produto Interno

Resumo Completo

Você provavelmente já viu alguma coisa sobre produto interno no ensino médio, principalmente em física, onde trabalhamos muito com vetores.

Bom, existem vários jeitos de denotar o produto interno entre dois vetores. Você provavelmente trabalhou com algum desses:

  • u , v
  • u v
  • u v

A que nós usaremos aqui será a primeira, mas você poderá encontrar qualquer uma dessas em livros.

Cuidado: Perceba que a notação que usaremos é igual à notação de espaço gerado, mas elas nem de longe são a mesma coisa!! Pelo contexto da questão estará sempre claro se essa notação quer dizer espaço gerado ou produto interno, então preste atenção para não confundir!

Cálculo do Produto Interno

Dando uma lembrada agora em como calculamos ele. Nós multiplicamos as primeiras coordenadas dos vetores e depois somamos com o produto das segundas coordenadas e assim em diante certo? Se liga:

1,2 , 3 , 4,5 , 6 = 1.4 + 2.5 + 3.6 = 4 + 10 + 18 = 32

Bom, a novidade aqui é que não existe só esse produto interno que te ensinaram a vida toda! Aquele é o que nós chamamos de produto interno usual, também conhecido como produto escalar.

Vamos dar uma viajada na matéria agora. Lembra de espaço vetorial? Lá nós podíamos inventar somas e produtos e depois verificávamos se continuava sendo um espaço vetorial. Você pode pensar que o produto interno funciona mais ou menos da mesma forma!

Nós podemos inventar produtos internos não usuais e verificar se ele obedece aos axiomas do produto interno:

  • Simetria: u , v = v , u
  • Linearidade: λ u , v = λ u , v
  • Linearidade: u + w , v = u , v + w , v
  • Positividade: u , u > 0 , para todo u 0
  • u , u = 0 u = 0

E é isso aí, essas são as propriedades que definem o produto interno. Basta que alguma operação que você invente obedeça todas elas para ser considerada um produto interno.

Vamos ver um exemplo pras coisas ficarem um pouquinho mais claras:

Sendo u = x 1 , y 1 e v = ( x 2 , y 2 ) vetores do R 2 verifique se u , v = 2 x 1 x 2 - y 1 y 2 é um produto interno sobre o R 2 .

Testando a simetria:

u , v = v , u

2 x 1 x 2 - y 1 y 2 = 2 x 2 x 1 - y 2 y 1    

Testando a linearidade:

λ u , v = λ u , v

2 λ x 1 x 2 - λ y 1 y 2 = λ 2 x 1 x 2 - y 1 y 2  

u + w , v = u , v + w , v

w = ( x 3 , y 3 )

2 x 1 + x 3 x 2 - ( y 1 + y 3 ) y 2 = 2 x 1 x 2 - y 1 y 2 + 2 x 3 x 2 - y 3 y 2

2 x 1 x 2 + 2 x 3 x 2 - y 1 y 2 - y 3 y 2 = 2 x 1 x 2 - y 1 y 2 + 2 x 3 x 2 - y 3 y 2  

Testando a positividade:

u , u > 0

2 x 1 x 1 - y 1 y 1 > 0 2 x 1 2 - y 1 2 > 0  

É possível que y 1 2 seja maior que 2 x 1 2 , o que daria um resultado negativo, tornando a afirmativa acima falsa. Assim, essa operação falha no axioma e por isso não é um produto interno.

Mas, só para terminar:

u , u = 0 u = 0

2 x 1 2 - y 1 2 = 0 u = 0  

É possível que o resultado seja zero sem que u   seja o vetor nulo, logo, aqui também falha.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 143. – 4

Sejam V = R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 , z 1 e v = x 2 , y 2 , z 2 .

Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 .

Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.

a   u v = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2

b   u v = 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2

c   u v = 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2

d   u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2

e   u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, não tem jeito, vamos ter que testar todos os axiomas em todas as letras. Vamos lá então:

a   u v = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2

Simetria:

u , v = v , u

x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 = x 2 x 1 + 3 y 2 y 1      

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

( λ x 1 ) x 2 + 3 ( λ y 1 ) y 2 = λ ( x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 )      

u + w , v = u , v + w , v

w = x 3 , y 3 , z 3

( x 1 + x 3 ) x 2 + 3 y 1 + y 3 y 2 = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 + x 3 x 2 + 3 y 3 y 2      

Positividade:

u , u > 0

x 1 x 1 + 3 y 1 y 1 = x 1 2 + 3 y 1 2 > 0      

u , u = 0 u = 0

x 1 2 + 3 y 1 2 = 0 x 1 , y 1 = 0,0      

Opa, temos um problema. O que esse axioma diz é que se o produto interno de um vetor com ele mesmo for zero, o vetor deve ser o vetor nulo.

No entanto, para esse produto interno, quando temos u , u = 0 , isso nos garante apenas que as duas primeiras coordenadas de u são iguais a zero. Logo poderíamos ter u = 0,0 , 4 .

Logo, essa função não é um produto interno pois não respeita o último axioma.

Passo 2

b   u v = 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2

Simetria:

u , v = v , u

3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 = 3 x 2 x 1 + 5 y 2 y 1 + 2 z 2 z 1      

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

3 λ x 1 x 2 + 5 λ y 1 y 2 + 2 ( λ z 1 ) z 2 = λ 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2      

u + w , v = u , v + w , v

w = x 3 , y 3 , z 3

3 x 1 + x 3 x 2 + 5 y 1 + y 3 y 2 + 2 ( z 1 + z 3 ) z 2 =

= 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 + 3 x 3 x 2 + 5 y 3 y 2 + 2 z 3 z 2      

Positividade:

u , u > 0

3 x 1 2 + 5 y 1 2 + 2 z 1 2 > 0      

u , u = 0 u = 0

3 x 1 2 + 5 y 1 2 + 2 z 1 2 = 0 x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0      

Essa função de fato satisfaz todos os axiomas, então temos um produto interno.

Passo 3

c   u v = 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2

Simetria:

u , v = v , u

2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2 = 2 x 2 2 y 2 2 + 3 x 1 2 y 1 2 + z 2 2 z 1      

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

2 λ x 1 2 λ y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + λ z 1 2 z 2 = λ 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2

2 λ 4 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + λ 2 z 1 2 z 2 = 2 λ x 1 2 y 1 2 + 3 λ x 2 2 y 2 2 + λ z 1 2 z 2      

u + w , v = u , v + w , v

w = x 3 , y 3 , z 3

2 x 1 + x 3 2 y 1 + y 3 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 + z 3 2 z 2 =

= 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2 + 2 x 3 2 y 3 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 3 2 z 2      

Positividade:

u , u > 0

2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 > 0

5 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 > 0       !

u , u = 0 u = 0

5 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 = 0 x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0      

Essa função, por outro lado, não respeita nenhum dos axiomas! Portanto, ela não é, de forma alguma, um produto interno.

Passo 4

d   u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2

Simetria:

u , v = v , u

x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 - z 2 z 1      

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

λ x 1 x 2 + λ y 1 y 2 - λ z 1 z 2 = λ x 2 x 1 + y 2 y 1 - z 2 z 1      

u + w , v = u , v + w , v

w = x 3 , y 3 , z 3

( x 1 + x 3 ) x 2 + y 1 + y 3 y 2 - z 1 + z 3 z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2 + x 3 x 2 + y 3 y 2 - z 3 z 2      

Positividade:

u , u > 0

x 1 2 + y 1 2 - z 1 2 > 0      

u , u = 0 u = 0

x 1 2 + y 1 2 - z 1 2 = 0 x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0      

Novamente, a função não é um produto interno pois falha nos dois últimos axiomas.

Passo 5

e   u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2

Simetria:

u , v = v , u

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 + z 2 z 1 - x 1 y 2 - x 2 y 1      

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

λ x 1 x 2 + λ y 1 y 2 + λ z 1 z 2 - λ x 2 y 1 - λ x 1 y 2 =

= λ x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2      

u + w , v = u , v + w , v

w = x 3 , y 3 , z 3

( x 1 + x 3 ) x 2 + y 1 + y 3 y 2 + z 1 + z 3 z 2 - x 2 y 1 + y 3 - x 1 + x 3 y 2 =

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2 + x 3 x 2 + y 3 y 2 + z 3 z 2 - x 2 y 3 - x 3 y 2      

Positividade:

u , u > 0

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 - x 1 y 1 - x 1 y 1 > 0    

Essa é um pouco mais dicícil de reparar que é de fato verdade, então aqui vai uma ajudinha:

Sabemos que x 1 - y 1 2 > 0 . E x 1 - y 1 2 = x 1 2 - 2 x 1 y 1 + y 1 2

Logo:

x 1 2 - 2 x 1 y 1 + y 1 2 > 0 x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 - x 1 y 1 - x 1 y 1 > 0

u , u = 0 u = 0

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 - x 1 y 1 - x 1 y 1 = 0

x 1 - y 1 2 + z 1 2 = 0 x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0      

Nesse caso, basta termos x 1 = y 1 e z 1 = 0 para que u , u = 0

Logo, também não é um produto interno pois falha no último axioma.

Resposta

a Não é produto interno. Falha no último axioma.

b É produto interno.

c Não é produto interno. Falha em todos os axiomas.

d Não é produto interno. Falha nos dois últimos axiomas.

e Não é produto interno. Falha no último axioma.

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 144. – 9

Seja a função

f : R 2 × R 2 M 1,1

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2

Mostre que f é um produto interno em R 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para mostrarmos que f é um produto interno basta verificarmos que ele satisfaz todos os axiomas.

Simetria:

u , v = v , u

x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 = x 2 , y 2 1 1 1 2 x 1 y 1

x 1 , y 1 x 2 + y 2 x 2 + 2 y 2 = x 2 , y 2 x 1 + y 1 x 1 + 2 y 1

x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2 = x 2 x 1 + y 1 + y 2 x 1 + 2 y 1

x 1 x 2 + x 1 y 2 + y 1 x 2 + 2 y 1 y 2 = x 2 x 1 + x 2 y 1 + y 2 x 1 + 2 y 2 y 1      

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

λ x 1 , λ y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 = λ x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2

λ x 1 x 2 + y 2 + λ y 1 x 2 + 2 y 2 = λ x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2      

u + w , v = u , v + w , v

w = x 3 , y 3

x 1 + x 3 , y 1 + y 3 1 1 1 2 x 2 y 2 = x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 + x 3 , y 3 1 1 1 2 x 2 y 2

( x 1 + x 3 ) x 2 + y 2 + y 1 + y 3 x 2 + 2 y 2 =

= x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2 + x 3 x 2 + y 2 + y 3 x 2 + 2 y 2      

Positividade:

u , u > 0

x 1 , y 1 1 1 1 2 x 1 y 1 > 0

x 1 x 1 + y 1 + y 1 x 1 + 2 y 1 > 0

x 1 2 + x 1 y 1 + x 1 y 1 + 2 y 1 2 > 0

x 1 2 + 2 x 1 y 1 + y 1 2 + y 1 2 > 0

x 1 + y 1 2 + y 1 2 > 0      

u , u = 0 u = 0

x 1 + y 1 2 + y 1 2 = 0 x 1 , y 1 = 0,0      

Prontinho, está mostrado.

Resposta

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