Norma de um Vetor e Distância entre dois Vetores

Teoria Completa

Norma de um Vetor

Primeira coisa, norma é a mesma coisa que módulo de um vetor. Vou chamar o módulo dele de norma até o final do capítulo, então não se espante quando eu falar “a norma de um vetor”.

Vamos calcular o produto interno de um vetor com ele mesmo, sendo u = ( u 1 , … , u n ) :

u , u = u 1 . u 1 + … + u n . u n ⇒

u , u = u 1 2 + … + u n 2

Mas, pera, qual a definição da norma, ou módulo, de um vetor mesmo??

u = u 1 2 + … + u n 2 ⇒

u 2 = u 1 2 + … + u n 2

Ahh então se igualarmos as duas equações:

u , u = u 2 ⇒

u = u , u

Assim podemos definir a norma de um vetor de outro jeito:

Obs: Dizemos que se u = 1 , então o vetor é unitário.

Obs2: Quando a norma do vetor for diferente de 1 , para normalizá-lo basta dividir o vetor pela sua norma. Dizemos que u ^ é a normalização de u :

u ^ = u u

Por exemplo:

Vamos pegar o vetor v = ( 0,2 , 5,4 )

v = ( 0 ,   2 ,   5 ,   4 ) = 0 2 + 2 2 + 5 2 + 4 2 = 45 = 3 5

Assim podemos dizer que v não é unitário. Para torná-lo unitário, basta dividi-lo pela sua norma. Assim, o unitário de v é o vetor:

v ^ = 1 3 5 ( 0,2 , 5,4 )

Observe que quando você normaliza um vetor você apenas multiplica por um número real positivo. Ou seja, o vetor normalizado e o vetor original possuem a mesma direção e sentido! É como se tivéssemos comprimido o vetor azul:

Mas se pegarmos o vetor ( 1,0 , 0 ) , podemos ver que:

( 1,0 , 0 ) = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1

Logo o vetor ( 1,0 , 0 ) é unitário.

Fácil, não?

Distância entre dois Vetores

Definimos a distância entre dois vetores u e v por d u , v = u - v .

Na prática, o que fazemos é pegar o tamanho do vetor que dá a diferença entre eles. Por exemplo, a distância entre os vetores u = 7,3 e v = 1 , - 5 é dada por:

d u , v = 7,3 - 1 , - 5 = 6,8 = 6,8 , 6,8 = 36 + 64 = 100 = 10

Visualmente seria algo desse tipo:

Propriedades da Norma e da Distância

Só pra encerrar, separei aqui algumas propriedades bem fáceis e intuitivas em geral, só pra constar mesmo haha:

  • 0 = 0 (vetor nulo tem norma zero)
  • v = 0 se, e somente se, v = 0 (o único vetor com norma zero é o vetor zero)
  • α v = α ∙ v para todo α ∈ R (vetor multiplicado por escalar tem norma modificada por módulo do escalar)
  • d u , v = 0 se, e somente se, u = v
  • d u , v ≥ 0
  • d v , 0 = v
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Exercício Resolvido #1

UFRJ-2013.2-14

Considere o produto interno usual de R 4 e sejam u → = ( 2,0 ,   1 , - 1 ) e   v → = ( 2 ,   1 ,   1 ,   1 ) .

Calcule a distância de u → a v → .

a   5

b   5

c   1

d - 1

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Passo 1

A distância é dada pela norma de u → - v → .

Fica assim:

u → - v → = 2 - 2,0 - 1 ,   1 - 1 ,   - 1 - 1

u → - v → = ( 0 ,   - 1 ,   0 ,   - 2 )

u → - v → = 0 2 + - 1 2 + 0 + - 2 2

u → - v → = 5

Resposta

Letra a

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 143. – 6

Se

u = a 1 b 1 c 1 d 1   e   v = a 2 b 2 c 2 d 2

são matrizes quaisquer de M 2 × 2 , a seguinte fórmula define um produto interno nesse espaço:

u ∙ v = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2

Dados os vetores

u = 1 2 - 1 1   e   v = 0 2 1 1

determinar u + v

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Passo 1

-

Temos que:

u + v = 1 2 - 1 1 + 0 2 1 1 = 1 4 0 2

Agora precisamos calcular u + v :

u + v = u + v , u + v = 1 2 + 4 2 + 0 2 + 2 2 = 21

Resposta

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 143. – 5

Consideremos o seguinte produto interno em P 2 : p ∙ q = a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 b 0 , sendo p = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e q = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 . Dados os vetores p 1 = x 2 - 2 x + 3 , p 2 = 3 x - 4 e p 3 = 1 - x 2 , calcular:

a   p 1 ∙ p 2

b   ‖ p 1 ‖ e p 3

c   p 1 + p 2

d p 2 p 2

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Passo 1

a Pelo produto interno definido, temos que:

p 1 ∙ p 2 = 1 ∙ 0 + - 2 ∙ 3 + 3 ∙ - 4 = - 6 - 12 = - 18

Passo 2

b Sabemos que p = p , p . Então:

p 1 = 1 2 + - 2 2 + 3 2 = 14

p 3 = ( - 1 ) 2 + 0 2 + 1 2 = 2

Passo 3

c Primeiro achamos p 1 + p 2 :

p 1 + p 2 = x 2 - 2 x + 3 + 3 x - 4 = x 2 + x - 1

Agora a norma:

p 1 + p 2 = x 2 + x - 1 = x 2 + x - 1 , x 2 + x - 1 = 1 2 + 1 2 + - 1 2 = 3

Passo 4

d Temos que p 2 = 3 x - 4 e que a norma dele é:

p 2 = 0 2 + 3 2 + - 4 2 = 25 = 5

Portanto:

p 2 p 2 = 3 x - 4 5

Resposta

a - 18

b   14 e 2

c   3

d   3 x - 4 5

Exercício Resolvido #4

UFRJ – 2015.2 - Lista 5

Seja u = A v . Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo:

A Cada componente de u é o produto interno de v com uma linha de A

B   Se tanto v quanto as linhas de A são vetores unitários, então todas as componentes de u tem módulo menor que 1

C   Se v é não-nulo e pertence à imagem de A , então u nunca será o vetor nulo

D   Se v pertence ao núcleo de A , então u sempre será o vetor nulo

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Passo 1

Vamos verificar letra por letra então ;)

A   Cada componente de u é o produto interno de v com uma linha de A

Bom, o que fazemos quando multiplicamos uma matriz por um vetor? Vamos tomar A uma matriz 2 × 2 e v um vetor do R 2 :

u 1 u 2 = a b c d v 1 v 2

u 1 u 2 = v 1 a + v 2 b v 1 c + v 2 d

Logo:

u 1 = a , b , v 1 , v 2

u 2 = c , d , v 1 , v 2