Teoria Completa
Norma de um Vetor
Primeira coisa, norma é a mesma coisa que módulo de um vetor. Vou chamar o módulo dele de norma até o final do capítulo, então não se espante quando eu falar “a norma de um vetor”.
Vamos calcular o produto interno de um vetor com ele mesmo, sendo :
Mas, pera, qual a definição da norma, ou módulo, de um vetor mesmo??
Ahh então se igualarmos as duas equações:
Assim podemos definir a norma de um vetor de outro jeito:
Obs: Dizemos que se , então o vetor é unitário.
Obs2: Quando a norma do vetor for diferente de , para normalizá-lo basta dividir o vetor pela sua norma. Dizemos que é a normalização de :
Por exemplo:
Vamos pegar o vetor
Assim podemos dizer que não é unitário. Para torná-lo unitário, basta dividi-lo pela sua norma. Assim, o unitário de é o vetor:
Observe que quando você normaliza um vetor você apenas multiplica por um número real positivo. Ou seja, o vetor normalizado e o vetor original possuem a mesma direção e sentido! É como se tivéssemos comprimido o vetor azul:
Mas se pegarmos o vetor , podemos ver que:
Logo o vetor é unitário.
Fácil, não?
Distância entre dois Vetores
Definimos a distância entre dois vetores e por .
Na prática, o que fazemos é pegar o tamanho do vetor que dá a diferença entre eles. Por exemplo, a distância entre os vetores e é dada por:
Visualmente seria algo desse tipo:
Propriedades da Norma e da Distância
Só pra encerrar, separei aqui algumas propriedades bem fáceis e intuitivas em geral, só pra constar mesmo haha:
- (vetor nulo tem norma zero)
- se, e somente se, (o único vetor com norma zero é o vetor zero)
- para todo (vetor multiplicado por escalar tem norma modificada por módulo do escalar)
- se, e somente se,
Exercício Resolvido #1
Considere o produto interno usual de e sejam e .
Calcule a distância de a .
Passo 1
A distância é dada pela norma de .
Fica assim:
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #2
Se
são matrizes quaisquer de , a seguinte fórmula define um produto interno nesse espaço:
Dados os vetores
determinar
Passo 1
Temos que:
Agora precisamos calcular :
Resposta
Exercício Resolvido #3
Consideremos o seguinte produto interno em , sendo e . Dados os vetores , e , calcular:
e
Passo 1
Pelo produto interno definido, temos que:
Passo 2
Sabemos que . Então:
Passo 3
Primeiro achamos :
Agora a norma:
Passo 4
Temos que e que a norma dele é:
Portanto:
Resposta
e
Exercício Resolvido #4
Seja . Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo:
Cada componente de é o produto interno de com uma linha de
Se tanto quanto as linhas de são vetores unitários, então todas as componentes de tem módulo menor que
Se é não-nulo e pertence à imagem de , então nunca será o vetor nulo
Se pertence ao núcleo de , então sempre será o vetor nulo
Passo 1
Vamos verificar letra por letra então ;)
Cada componente de é o produto interno de com uma linha de
Bom, o que fazemos quando multiplicamos uma matriz por um vetor? Vamos tomar uma matriz e um vetor do :
Logo:
Fiz com vetores do e uma matriz quadrada pra facilitar o entendimento, mas não é difícil perceber que isso vale para qualquer produto matriz vetor. Logo, essa afirmativa é verdadeira.
Passo 2
Se tanto quanto as linhas de são vetores unitários, então todas as componentes de tem módulo menor que
Óbviamente não. Vamos pegar um exemplo qualquer:
Todas as linhas de são vetores unitários, assim como o vetor . No entanto, o módulo da primeira componente de vale . Logo, não possui módulo menor que .
Logo, falsa.
Passo 3
Se é não-nulo e pertence à imagem de , então nunca será o vetor nulo
Essa é chatinha. Vou te dar um contra-exemplo pra provar que é falsa.
Bom, claramente não é o vetor nulo. Além disso, temos que:
Logo, pertence à imagem de . No entanto, vemos que é o vetor nulo. Portanto, a afirmativa é falsa.
Passo 4
Se pertence ao núcleo de , então sempre será o vetor nulo
Verdadeira. Se tiver marcado falsa vou até sua casa te bater rapá. Por definição, se pertence ao núcleo de , temos . Logo, sempre será o vetor nulo.
Resposta
V
F
F
V
Exercício Resolvido #5
Em um espaço com o produto interno usual, assinale o vetor que possui a menor norma:
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O produto interno usual é aquele escalar mais normalzão beleza? A gente vai calcular a norma de cada alternativa a partir desse produto interno pra aí sabermos qual dos vetores tem a menor norma :)
Vamos lá!
Passo 2
a) A norma desse vetor é dada por:
b) Fazendo o mesmo processo:
c) O penúltimo, vamo que vamo:
d) E por fim:
Agora é só vermos qual tem a menor norma :) no caso é a letra A, certo? É isso aí! :D
Resposta
a) (norma )
Exercício Resolvido #6
Dados os vetores , e , sabe-se que , , é unitário, , . Qual o comprimento do vetor ?
Passo 1
Sabemos que
Fazendo a distributiva:
Substituindo os valores dados pelo enunciado:
Então, colocando raíz quadrada dos dois lados, temos
Resposta
Exercício Resolvido #7
Dada a matriz
Seja o produto interno definido por
Calcule a norma do vetor .
Passo 1
Vimos que para calcular a norma de um vetor, vamos fazer a raíz, quadrada do produto interno dele com ele mesmo certo? Logo:
Aí é só aplicarmos o produto interno dado pelo enunciado :D
Passo 2
Aplicando o produto interno:
Multiplicando as matrizes:
Logo, a norma do vetor é:
Resposta
Exercício Resolvido #8
Considere os vetores e . Assinale abaixo o vetor que está na direção de e possui o mesmo tamanho de :
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Calculando o tamanho de :
Agora bora calcular a norma de :
Passo 2
Sabemos que se multiplicarmos/dividirmos um vetor por qualquer escalar, ele vai manter a sua direção. Então a nossa resposta vai ser o vetor multiplicado ou dividido por algum escalar certo?
Se dividirmos o vetor por , vamos ter um vetor unitário na direção .
Opa, mas não queremos um vetor unitário, queremos que ele tenha o tamanho de !!
Legal, então é só multiplicar o vetor unitário que temos pela norma de , ou seja, .
Então a alternativa correta é a letra B de bola :D
Resposta
b)