Ângulo Entre Dois Vetores

Teoria Completa

Já vimos que o produto interno usual pode ser definido da seguinte forma:

Além disso, existe outra fórmula para ele:

u , v = u . v . c o s ⁡ ( θ )

Este ângulo θ é o menor ângulo entre os dois vetores. Através dessa fórmula podemos achar o ângulo entre os dois vetores. Dando uma reorganizada, fica assim:

c o s ⁡ ( θ ) = u , v u . v

ou

θ = arccos ⁡ u , v u . v

Pode usar a que achar melhor ;)

Vamos ver um exemplo só pra deixar as coisas mais claras:

Qual o ângulo entre o vetor ( 1,1 ) e o vetor   ( 0,3 ) ?

É só aplicar a formulinha ali de cima, substituindo   u e v pelos vetores em questão:

θ = arccos ⁡ ( 1,1 ) , ( 0,3 ) ( 1,1 ) . ( 0,3 )

θ = arccos ⁡ 1 ∙ 0 + 1 ∙ 3 1 2 + 1 2 . 0 2 + 3 2

θ = arccos ⁡ 3 3 2 = arccos ⁡ 2 2 = 45 °   o u   π 4

Vetores Ortogonais

Bom, primeiro de tudo, o que são vetores ortogonais??

Vamos calcular o produto interno entre os vetores ( 1,0 ) , ( 0,1 ) :

1,0 , 0,1 = 1 × 0 + 0 × 1 = 0

Repara que o produto interno deu 0 ! Quando isso acontece dizemos que os vetores são ortogonais, ou seja, são perpendiculares, fazem um ângulo de 90 ° entre eles. Tente visualizar no R 2 esses vetores!

Agora que sabemos o que significa um conjunto de vetores serem ortogonais, podemos definir também um conjunto de vetores ortonormais! Um conjunto de vetores ortonormais quer dizer que esses vetores são ortogonais entre si e todos eles são unitários.

Observe agora os conjuntos de vetores { 1,0 , 0,1 } e { 1 ,   1 ,   1 , - 1 } .

Repare que em ambos os casos temos:

a   1,0 , 0,1 = 0

b   1,1 , 1 , - 1 = 1 × 1 + 1 × - 1 = 0

Repare que o produto interno desses vetores dá 0 , e que eles são L I !

Logo, podemos concluir que vetores ortogonais são L I ! Isso fica claro se visualizarmos esses vetores. Se forem perpendiculares eles nunca podem fazer parte da mesma reta, portanto, são L I .

Cuidado!! É verdade que vetores ortogonais são L I , mas o contrário não é verdade! Nem todos os vetores L I são ortogonais!

Obs.: Uma observação importante voltando a falar um pouco da norma do vetor é que, para u e v ortogonais, temos que:

u 2 + v 2 = u + v 2

Isso acontece porque para u e v ortogonais, temos que u + v é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos u e v ! Essa fórmula aí em cima é simplesmente a aplicação de Pitágoras!

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Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 164 – Ext 5.5

Seja R θ uma rotação do plano de ângulo θ . Sabendo que R θ 3 , - 1 = 2,0 e R θ 3 , 1 = 1 , 3 , determine θ .

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Passo 1

Molezinha né gente. O enunciado deu esse monte de informação só pra tentar te confundir. Tudo o que você precisa saber é que R θ 3 , - 1 = 2,0 .

Como a rotação é no plano, o ângulo de rotação é igual ao ângulo entre os vetores, logo:

cos ⁡ θ = 3 , - 1 , 2,0 3 , - 1 ∙ 2,0

3 , - 1 , 2,0 = 2 3

3 , - 1 = 3 2 + - 1 2 = 2

2,0 = 2 2 + 0 2 = 2

Dessa forma:

cos ⁡ θ = 2 3 2 ∙ 2 = 3 2

θ = 30 °

Resposta

θ = 30 °

Exercício Resolvido #2

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 163 – Prob 5.6

Seja T : R 3 → R 3 uma rotação em relação ao eixo 1,0 , 1 . Sabe-se que T 0,1 , 0 = - 1 2 , 0 , - 1 2 . Determine o ângulo de rotação.

Dica: pense no plano perpendicular ao eixo de rotação.

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Passo 1

Beleza, então é só achar o ângulo entre o vetor e a transformação dele e ... NÃO! Não faça isso por favor haha.

Pensa comigo, a rotação gira em torno de um eixo certo? Isso quer dizer que o ângulo entre os dois vetores só será o ângulo de rotação se eles estiverem no mesmo plano!! Por isso a dica do enunciado ;D

Bom, se o vetor que foi rodado estiver no plano perpendicular ao eixo de rotação, teremos uma rotação no plano e poderemos usar nossa fórmula! Caso contrário teremos que arranjar outro modo.

Passo 2

Bom, o plano perpendicular ao eixo de rotação 1,0 , 1 é:

x + z = 0

Jogando nosso vetor que será rodado 0,1 , 0 na equação do plano:

0 + 0 = 0

Opa, então ele está no plano e podemos simplesmente encontrar o ângulo entre 0,1 , 0 e T 0,1 , 0 .

“Ué, então no final eu podia ter achado o ângulo de qualquer jeito?” Não é bem assim, se tivesse uma pegadinha aqui poderíamos ter errado. Demos sorte que eles estavam no plano perpendicular ao eixo.

Por outro lado, em uma discursiva seria necessário dar essa justificativa antes de continuarmos ;)

Passo 3

Tudo o que precisamos agora é encontrar o ângulo φ entre os vetores:

cos ⁡ φ = 0,1 , 0 , - 1 2 , 0 , - 1 2 0,1 , 0 ∙ - 1 2 , 0 , - 1 2

0,1 , 0 , - 1 2 , 0 , - 1 2 = 0

Opa, o numerador já deu 0 de cara, então:

cos ⁡ φ = 0

φ = 90 °

Resposta

O ângulo de rotação foi de 90 °

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 143. – 6

Se

u = a 1 b 1 c 1 d 1   e   v = a 2 b 2 c 2 d 2

são matrizes quaisquer de M 2 × 2 , a seguinte fórmula define um produto interno nesse espaço:

u ∙ v = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2

Dados os vetores

u = 1 2 - 1 1   e   v = 0 2 1 1

Determinar o ângulo entre u e v

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Passo 1

O ângulo θ entre u e v é dado por:

cos ⁡ θ = u , v u ∙ v

Temos que

u , v = 1 ∙ 0 + 2 ∙ 2 + - 1 ∙ 1 + 1 ∙ 1 = 4

E que

u = u , u = 1 2 + 2 2 + - 1 2 + 1 2 = 7

v = v , v = 0 2 + 2 2 + 1 2 + 1 2 = 6

Sendo assim,

cos ⁡ θ = 4 7 ∙ 6 = 4 42

θ = arccos ⁡ 4 42 ≅ 51,9 °

Resposta

θ = arccos ⁡ 4 42 ≅ 51,9 °

Exercício Resolvido #4

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 143. – 5

Consideremos o seguinte produto interno em P 2 : p ∙ q = a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 b 0 , sendo p = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e q = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 . Dados os vetores p 1 = x 2 - 2 x + 3 , p 2 = 3 x - 4 e p 3 = 1 - x 2 , calcular o cosseno do ângulo entre p 2 e p 3 .

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Passo 1

O cosseno do ângulo θ entre p 2 e p 3 é dado por:

cos ⁡ θ = p 2 , p 3 p 2 ∙ p 3

Pelo produto interno dado no enunciado, temos

p 2 , p 3 = 0 ∙ - 1 + 3 ∙ 0 + - 4 ∙ 1 = - 4