Distância entre Ponto e Plano

Teoria Completa

Já pode até comemorar que o capítulo tá quaseee acabando!!

Vamos começar logo então! Entender a distância entre um ponto e um plano!

Se tivermos um ponto P = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) e um plano π com equação geral:

a x + b y + c z + d = 0

Se observamos bem, existem várias possíveis distâncias entre o ponto p e p plano π , por exemplo:

Beleza?!

A distância entre o ponto P e o plano π , será sempre a menor distância possível! E para isso acontecer, teremos que pegar a distância que ficará perpendicular ao plano usando o vetor normal:

Suponha um plano π com equação geral: a x + b y + c z + d = 0 e um ponto P = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) , A distância entre o ponto e o plano é:

E é só essa formulinha aí!

Para fechar, vamos fazer um exemplo!

Considere o plano π : 2 x + y - z + 5 = 0 e o ponto P = ( 3 ,   2 ,   1 ) . Qual é a distância entre eles??

Bom, galera é só aplicar a fórmula! Olha só:

Da equação do plano, temos a = 2 ,   b = 1 ,   c = - 1 ,   d = 5 e sabemos que P = 3 ,   2 ,   1 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Agora só falta substituir na fórmula!

d P ,   π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

d P ,   π = 2 × 3 + 1 × 2 + - 1 × 1 + 5 2 2 + 1 2 + - 1 2

Logo, d P ,   π = 12 6      

Prontinho!

Nossa teoria fica por aqui! Mas não se esquece de fazer os exercícios para ir se acostumando com a cara das fórmulas!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 224-1.

Calcule a distância do ponto P = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) ao plano π : 3 x - 4 y - 5 z + 1 = 0 .

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Passo 1

Vamos esquentar bem os motores??!!

O enunciado nos dá o ponto P = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) e a equação geral do plano π : 3 x - 4 y - 5 z + 1 = 0 e pede para calcularmos a distância entre o ponto e o plano. Opa!! Essa é a única fórmula que decorei!! Então, bora aplicá-la!!

Passo 2

Vimos na teoria que a fórmula para calcular a distância entre ponto e plano é:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Sendo que x 0 ,   y 0 ,   z 0 são as coordenadas do ponto e a ,   b ,   c e d são os coeficientes da equação geral do plano. Então, temos que:

P = 1 ,   2 ,   - 1 = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 )

π : 3 ,   - 4 ,   - 5 ,   1 = ( a ,   b ,   c ,   d )

Passo 3

Então, agora, só falta colocar os valores na fórmula e calcular:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2 = 3.1 + - 4 . 2 + - 5 . - 1 + 1 3 2 + ( - 4 ) 2 + ( - 5 ) 2

Resolvendo:

d P , π = 3 - 8 + 5 + 1 50 = 1 5 2 = 2 10

Pronto!! Chegamos na solução:

d P , π = 2 10

Resposta

d P , π = 2 10

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 198-5.

Calcular a distância do ponto P 0 = ( - 4 ,   2 ,   5 ) ao plano π : 2 x + y + 2 z + 8 = 0 .

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Passo 1

Belezoca, o moço já deu para gente o vetor normal do plano e o plano! Agora é só jogar esses valores da formulinha marota e partir para o abraço!

Vamos lá!

Passo 2

O nosso vetor normal é   n → = ( 2,1 ,   2 ) e d = 8 , o ponto é P 0 = ( - 4 ,   2 ,   5 ) . Vamos substituir esses valores na fórmula aí de baixo

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Ficaremos com:

d P , π = 2 × ( - 4 ) + 1 × 2 + 2 × 5 + 8 2 2 + 1 2 + 2 2

d P , π = 12 9 = 12 3 = 4   u . c

Resposta

d P , π = 4   u . c

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 202-6.

Determinar a distância do ponto P = ( 2 ,   - 1 ,   2 ) a cada um dos planos:

  1. π : 2 x - 2 y - z + 3 = 0
  2. π : x + y + z = 0
  3. π : 2 x + y = 3
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Passo 1

Mais uma vez usaremos nossa formulinha marota:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Começando pela letra a, temos que   n → = ( 2 ,   - 2 ,   - 1 ) e d = 3 . Também sabemos que que

P = 2 ,   - 1 ,   2 .

Colocando na fórmula,

d P , π = 2 × 2 + ( - 2 ) × ( - 1 ) + ( - 1 ) × 2 + 3 2 2 + ( - 2 ) 2 + ( - 1 ) 2 = 7 3   u . c

Passo 2

Vamos fazer a letra b agora!

O nosso vetor normal é   n → = ( 1 , 1 ,   1 ) e d = 0 , o ponto é o mesmo. Vamos substituir esses valores na fórmula aí de baixo

Ficaremos com:

d P , π = 1 × 2 + 1 × ( - 1 ) + 1 × 2 + 0 1 2 + 1 2 + 1 2

d P , π = 3 3 = 3   u . c

Passo 3

Falto só a letra c! Bora terminar esse exercício!!

n → = ( 2 ,   1 ,   0 ) e d = - 3 , o ponto continua o mesmíssimo.

A “formulosa” fica assim ô:

d P , π = 2 × 2 + 1 × ( - 1 ) + 0 × 2 + ( - 3 ) 2 2 + 1 2 + 0 2 = 0

Resposta

  1. 7 3 u . c
  2. 3 u . c
  3. 0

Exercício Resolvido #4

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 202-7.

Achar a distância do ponto P = ( 2 ,   - 3 ,   5 ) ao plano π : 3 x + 2 y + 6 z - 2 = 0

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Passo 1

Outra vez, usaremos a “formulosa”:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Você já deve estar careca de saber essa fórmula!

Nesse problema temos que   n → = ( 3 ,   2 ,   6 ) e d = - 2 . Também sabemos que que

P = 2 ,   - 3 ,   5 .

Colocando na fórmula,

d P , π = 3 × 2 + 2 × - 3 + 6 × 5 - 2 3 2 + 2 2 + 6 2 = 28 49