Distância entre Reta e Plano

Teoria Completa

Nesse tópico só vamos usar as fórmulas que já aprendemos, então não tem nada muitoo novo! UHULESSS!! Olha só:

Se uma reta r for transversal a um plano π , então a distância entre a reta e o plano é ZERO (já que a reta vai literalmente cruzar o plano).

Já se a reta for paralela ao plano, então faremos da seguinte maneira:

  • Escolheremos um ponto qualquer pertencente à reta
  • E então faremos a distância do ponto escolhido até o plano utilizando a fórmula da distância entre ponto e plano apresentada anteriormente.

Vamos fazer um exemplo!

Qual é a distância entre a reta r : x = - t y = 1 + t z = 1 - 2 t e o plano π : 4 x + 2 y - z + 1 = 0 ??

Primeiro escolhemos um ponto qualquer da reta! Eu vou escolher o ponto ( 0 ,   1 ,   1 )

Agora é só usar a fórmula de distância entre ponto e plano!

Não lembra?? Zero problemas, a gente relembra!

d P ,   π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Vamos colocar nossos valores na fórmula:

d P ,   π = 4 × 0 + 2 × 1 + ( - 1 ) × 1 + 1 4 2 + 2 2 + ( - 1 ) 2

Logo, d P ,   π = 2 21  

E essa é exatamente a distância entre a reta r e o plano π !!

Show de bolinhas!!! Acabamos essa teoria!!!

Se liga nos exercícios para ficar tudo chuchu no mel!!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Calcule a distância entre a reta r : X = 1 ,   1 ,   1 + t ( 2,1   , 2 ) e o plano π :   x + y + z = 0 .

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Passo 1

Queremos achar a distância entre uma reta e um plano! Como vimos na teoria é só pegar um ponto pertencente à reta e calcular a distância entre ponto e plano que já conhecemos. Na verdade estamos esquecendo de um passo primordial!! Você sabe qual é?

Lembra que lá na teoria falamos que a reta e o plano podem ser paralelos, então, podemos calcular a distância entre eles, mas se a reta e o plano forem transversais por definição a distância é ZERO?!

Passo 2

Assim, vamos primeiro checar qual a posição relativa entre o plano e a reta! Pela teoria sabemos que se r → = ( e ,   f ,   g ) e n → = a ,   b ,   c , então se:

a e + b f + c g ≠ 0

O plano e a reta são transversais. Se temos que r → = ( 2 ,   1 ,   2 ) e n → = ( 1 ,   1 ,   1 ) , então

2 + 1 + 2 ≠ 0

Portanto, a reta e o plano são transversais. Assim, a distância entre eles é ZERO.

Viu!! Um detalhe pode poupar tempo!! Então, nunca esqueça de fazer essa verificação se o enunciado não falar nada sobre a posição relativa entre a reta e o plano.

Resposta

d r ,   π = 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Ache a distância entre a reta r : x = 1 + t y = 3 + t z = - 2 + 3 t e o plano π : 2 x + y - z + 3 = 0 , sabendo que a reta é a paralela ao plano.

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Passo 1

Como o enunciado diz que a reta é paralela ao plano, podemos partir direto para o ataque! Se não fosse falado nada no enunciado, recomendo fortemente que você verifique se a reta e o plano são transversais ou não, porque isso pode te economizar tempo.

Passo 2

Partindo para o ataque, sabemos que   π : a ,   b ,   c ,   d = ( 2 ,   1 ,   - 1,3 ) e P r = 1 ,   3 ,   - 2 . Sabemos também a formulinha:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Logo,

d P r ,   π = 2 × 1 + 1 × 3 + - 1 × - 2 + 3 2 2 + 1 2 + ( - 1 ) 2 = 10 6 = 5 6 3 u . c

Resposta

5 6 3 u . c

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 203-12.

Determinar a distância da reta r : x = 3 y = 4

  1. Ao plano x O z
  2. Ao plano y O z
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Passo 1

Temos duas maneiras de resolver esse exercício, vamos resolver a letra “a” da forma mais tradicional (e mais longa) e a letra ”b” de uma forma mais rápida.

Mas vamos começar pela “a”

Lembrando lá da nossa “formulosa” (essa aqui de baixo), precisamos de um ponto da reta e da equação geral do plano.

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Um ponto da reta r pode ser P = ( 3 ,   4 ,   0 ) , mas quem é o meu plano??

Ahhh, maneiro. Mas qual é a equação dele mesmo??

Vamos descobrir, haha.

Olhando para reta do eixo x , tiramos que um vetor diretor é x → = ( 1 ,   0 ,   0 ) , fazendo o mesmo para o eixo z , temos   z → = 0 ,   0 ,   1 . Se a gente fizer   x → × z → vamos achar o vetor normal ao nosso plano x O z !

x → × z → = i → j → k → 1 0 0 0 0 1 = ( 0 ,   - 1 ,   0 )

Achamos   n → , agora vamos substituir na forma geral da equação do plano:

a x + b y + c z + d = 0

0 x + - 1 y + 0 z + d = 0

- y + d = 0

Para descobrir d , basta substituir um ponto do plano na equação acima. Um ponto de x O z é P p l a n o = ( 1 ,   0 ,   1 ) , logo

0 + d = 0 → 0

Com isso, a equação geral do plano x O z é y = 0

Passo 2

Agora que sabemos   n → = ( 0 ,   - 1 ,   0 ) , d = 0 e P = ( 3 ,   4 ,   0 ) , podemos substituir na fórmula!

d P , π = 0 × 3 + ( - 1 ) × 4 + 0 × 0 + 0 0 2 + ( - 1 ) 2 + 0 2 = 4   u . c

Passo 3

Vamos resolver a letra “b” rapidinho!

O ponto da reta r pode ser o mesmo, logo P = ( 3 ,   4 ,   0 ) .

Agora, pensa comigo. O plano y O z é o plano formado pelos eixos z e y , deixando o eixo x excluidão. Então, o plano y O z é exatamente o plano x = 0 .

Com isso,   n → = ( 1 ,   0 ,   0 ) , d = 0 .

É só colocar na fórmula e partir para o abraço!

d P , π = 1 × 3 + 0 × 4 + 0 × 0 + 0 1 2 + 0 2 + 0 2 = 3   u . c

E zefini!

Resposta

  1. 4   u . c
  2. 3   u . c

Exercício Resolvido #4

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 234-19.

Ache os pontos da reta r : x - 1 = 2 y = z que equidistam dos planos

π 1 : 2 x - 3 y - 4 z - 3 = 0               e                 π 2 : 4 x - 3 y - 2 z + 3 = 0

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Passo 1

Esse exercício é parecido com o anterior!! Mas, agora, queremos descobrir os pontos da reta r que são equidistantes dos planos π 1 e π 2 . Para isso, se temos um ponto R que pertence à reta r , então:

d R ,   π 1 = d ( R ,   π 2 )

Passo 2

Precisamos primeiro achar o ponto genérico R ! Para isso, vamos primeiro colocar a equação que nos foi dada na forma simétrica para então podermos tirar os dados e escrever a equação vetorial da reta:

x - 1 1 = 2 y = z 1 →   x - 1 1 = y 1 2 = z 1

Então, P = ( 1 ,   0 ,   0 ) e r → = ( 1 , 1 2 ,   1 ) . Montando a equação vetorial temos:

r : X = 1 ,   0 ,   0 + t 1 , 1 2 ,   1

Assim, conseguimos escrever R :

R = 1 + t , t 2 ,   t

Passo 3

Sabendo R e sabendo que para π 1 : a ,   b ,   c ,   d = ( 2 ,   - 3 ,   - 4 - 3 ) e π 2 : a ,   b ,   c ,   d = ( 4 ,   - 3 ,   - 2 ,   3 ) . Podemos colocar os valores na fórmula:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

d R ,   π 1 = 2 . 1 + t - 3 . t 2 - 4 . t - 3 2 2 + ( - 3 ) 2 + ( - 4 ) 2 = - 1 - 7 t 2 29

d R ,   π 1 = - 1 - 7 t 2 29

d R ,   π 2 = 4 . 1 + t - 3 . t 2 - 2 . t + 3 4 2 + ( - 3 ) 2 + ( - 2 ) 2 = 7 + t 2 29

d R ,   π 2 = 7 + t 2 29

Igualando d R ,   π 1 = d ( R ,   π 2 ) :

Elevando os dois membros ao quadrado:

- 1 - 7 t 2   2 = 7 + t 2 2

1 + 7 t + 49 t 2 4 = 49 + 7 t + t 2 4