Ângulo entre Planos

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Teoria

Como calcular ângulo entre planos?

Calma, não faz essa cara não, vou te ensinar agora como encontrar!

Imagina que temos dois planos se cruzando fazendo um ângulo como mostra a figura:

Dois planos formando um ângulo theta
Dois planos formando um ângulo theta

Calcular esse ângulo é bem simples, bastanta sabermos os vetores normais de cada um dos planos e usar a seguinte fórmula:

Vamos fazer um exemplo juntos para você entender.

Qual é o ângulo entre os planos: e ?

Primeiro vamos escrever os vetores normais a cada plano. Olhando a equação dos planos, temos:

Agora, vamos fazer o produto interno entre esses vetores:

Agora, vamos calcular os módulos desses vetores normais:

Agora é só colocar tudo na fórmula:

E prontinho, achamos o ângulo entre planos!

Agora é só praticar com todos os exercícios resolvidos que temos e ficar expert no assunto! 😉

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Ache a medida θ do ângulo entre os planos

π 1 : x - y + z = 20       e       π 2 : x + y + z = 0

Passo 1

Já calculamos ângulo entre reta e ângulo entre reta e plano! Chegou a vez de calcular o ângulo entre planos!! Chegou a hora de resolvermos o problema lá da teoria, lembra?? Da rampa de acesso para cadeirante!! ;)

O enunciado nos fornece os dados como queremos, ou seja, a equação geral dos planos para que já possamos tirar qua lo vetor normal deles.

Passo 2

Primeiro, vamos retirar das equações qual o vetor normal de cada plano:

n 1 → = 1 ,   - 1 ,   1

n 2 → = 1 ,   1 ,   1

Tendo os vetores, vamos ver o que precisamos para usar a fórmula:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → | n 2 → |

Passo 3

Olhando a fórmula precisamos do módulo do produto escalar entre os vetores, e o módulo deles:

n 1 → ∙ n 2 → = 1 ,   - 1 ,   1 ∙ 1 ,   1 ,   1 = | 1 - 1 + 1 | = 1

n 1 → = 1 2 + ( - 1 ) 2 + 1 2 = 3

| n 2 → | = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

Colocando os valores na fórmula, temos:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → n 2 → → cos ⁡ θ = 1 3 3 = 1 3

θ = cos - 1 ⁡ 1 3

Resposta

θ = cos - 1 ⁡ 1 3

Exercício Resolvido #2

Determinar o ângulo entre os planos

π 1 : 2 x - 2 y + 1 = 0       e       π 2 : 2 x - y - z = 0

Passo 1

Olhando para equação desses planos, já podemos pegar os vetores normais!

n 1 → = 2 ,   - 2 ,   0

n 2 → = 2 ,   - 1 ,   - 1

Tendo os vetores, vamos ver o que precisamos para usar a fórmula:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → | n 2 → |

Passo 2

Olhando a fórmula precisamos do módulo do produto escalar entre os vetores, e o módulo deles:

n 1 → ∙ n 2 → = 2 ,   - 2 ,   0 ∙ 2 ,   - 1 ,   - 1 = | 4 + 2 + 0 | = 6

n 1 → = 2 2 + ( - 2 ) 2 + 0 2 = 8

| n 2 → | = 2 2 + ( - 1 ) 2 + ( - 1 ) 2 = 6

Colocando os valores na fórmula, temos:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → n 2 → → cos ⁡ θ = 6 8 6 = 6 48 = 3 2 3 = 3 2

θ = cos - 1 ⁡ 3 2 = 30 °

Resposta

θ = 30 °

Exercício Resolvido #3

Determinar o ângulo entre os planos

π 1 : 3 x + 2 y - 6 = 0       e       π 2 : p l a n o   x O z

Passo 1

Bom, do plano π 1 eu sei o vetor normal!

n 1 → = 3 ,   2 ,   0

Mas e o vetor normal de π 2 ??

Pensa comigo, galera. O plano x O z é formado por um vetor diretor da reta do eixo x e um vetor diretor da reta do eixo z :

Então se nós fizermos o produto vetorial entre   x → e   z → , vamos obter um vetor perpendicular a eles, ou seja, um vetor normal ao plano!

Considerando   x → = 1 ,   0 ,   0 e   z → = ( 0 ,   0 ,   1 ) , temos:

x → × z → = i → j → k → 1 0 0 0 0 1 = ( 0 ,   - 1 ,   0 )

Logo,   n 2 → = ( 0 ,   - 1 ,   0 )

Passo 2

Agora é só completar a fórmula!

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → | n 2 → |

Calculando os termos:

n 1 → ∙ n 2 → = 3 ,   2 ,   0 ∙ 0 ,   - 1 ,   0 = | 0 + ( - 2 ) + 0 | = 2

n 1 → = 3 2 + 2 2 + 0 2 = 13

| n 2 → | = 0 2 + ( - 1 ) 2 + 0 2 = 1

Colocando os valores na fórmula, temos:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → n 2 → → cos ⁡ θ = 2 1 13 = 2 13

θ = cos - 1 ⁡ 2 13

Resposta

θ = cos - 1 ⁡ 2 13

Exercício Resolvido #4

Determinar o valor de m para que seja de 30 ° o ângulo entre os planos

π 1 : x + m y + 2 z - 7 = 0       e       π 2 : 4 x + 5 y + 3 z - 2 = 0

Passo 1

Tudo igual por enquanto! Vamos determinar os vetores normais:

n 1 → = 1 ,   m ,   2

n 2 → = ( 4 ,   5 ,   3 )

Passo 2

Agora a gente olha para fórmula e reflete

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → | n 2 → |

Refletiu?

Beleza, vamos em frente haha

Calculando os termos normalmente:

n 1 → ∙ n 2 → = 1 ,   m ,   2 ∙ 4 ,   5 ,   3 = 4 + 5 m + 6 = 10 + 5 m

n 1 → = 1 2 + m 2 + 2 2 = 5 + m 2

| n 2 → | = 4 2 + 5 2 + 3 2 = 50

O moço quer que o ângulo seja de 30 ° , logo cos ⁡ 30 = 3 2

Colocando os valores na fórmula, temos:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → n 2 → → 3 2 = 10 + 5 m 50 5 + m 2

3 2 = 10 + 5 m 250 + 50 m 2

Multiplicando cruzado,

750 + 150 m 2 = 20 + 10 m

Elevando os dois lados ao quadrado

750 + 150 m 2 = 400 + 400 m + 100 m 2

50 m 2 - 400 m + 350 = 0

Dividindo por 50

m 2 - 8 m + 7 = 0

m - 1 m - 7 = 0

Logo, m = 1 ou m = 7

Resposta

m = 1   o u   m = 7

Exercício Resolvido #5

Obtenha uma equação geral do plano π , que contém a reta

r :   x - 2 y + 2 z = 0 3 x - 5 y + 7 z = 0

E forma com o plano π 1 : x + z = 0 um ângulo de 60 ° .

Passo 1

Nossa!! Não sei nem por onde começar!!

Calma, pequeno gafanhoto!! Vamos por partes!!

Primeiro, se a gente olhar para forma em que a reta r está escrita, vamos ver que ela é formada pela intereseção de dois planos, sendo eles (os planos):

x - 2 y + 2 z = 0 3 x - 5 y + 7 z = 0

Assim sendo, o plano em que a reta está contida (que é o que queremos descobrir) é a combinação linear dessas duas expressões, ou seja:

α x - 2 y + 2 z + β 3 x - 5 y + 7 z = 0

Essa é a equação geral do plano que queremos descobrir. Escrevendo a equação de forma a isolar as coordenadas, temos:

x α + 3 β + y - 2 α - 5 β + z 2 α + 7 β = 0

Passo 2

Com a expressão x α + 3 β + y - 2 α - 5 β + z 2 α + 7 β = 0 sabemos que os coeficientes da equação geral do plano que queremos descobrir é:

a = α + 3 β

b = - 2 α - 5 β

c = 2 α + 7 β

d = 0

Com essas informações conseguimos obter as coordenadas do vetor normal ao plano!

n → = ( α + 3 β ,   - 2 α - 5 β ,   2 α + 7 β )    

Passo 3

Agora, para descobrimos o valor de α e β vamos usar a segunda informação que temos: que o plano π forma 60 ° com o plano π 1 . A fórmula do ângulo entre planos é:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n → n 1 → | n → |

Temos:

n → = ( α + 3 β ,   - 2 α - 5 β ,   2 α + 7 β )    

n 1 → = ( 1 ,   0 ,   1 )

θ = 60 ° → cos ⁡ 60 ° = 1 2

Calculando o produto interno entre os vetores normais e o módulo dos vetores:

n 1 → ∙ n 2 → = ( α + 3 β ,   - 2 α - 5 β ,   2 α + 7 β )     ∙ 1 ,   0 ,   1 = | α + 3 β + 2 α + 7 β | = | 3 α + 10 β |

n → = ( α + 3 β ) 2 + ( - 2 α - 5 β ) 2 + ( 2 α + 7 β ) 2 = 9 α 2 + 54 α β + 83 β 2

n 1 → = 1 2 + 1 2 = 2

Subsituindo na fórmula,

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n → n 1 → | n → | → 1 2 = 3 α + 10 β 2 9 α 2 + 54 α β + 83 β 2

Elevando os dois lados ao quadrado, chegamos na igualdade:

3 α 2 + 22 α β + 39 β 2 = 0

Resolvendo a equação de 2º grau acima em α , chegaremos que:

α = - 3 β           o u             α = - 13 3 β

Passo 4

Agora que temos α = - 3 β     o u     α = - 13 3 β , falta substituirmos em:

n → = ( α + 3 β ,   - 2 α - 5 β ,   2 α + 7 β )    

Substituindo α = - 3 β   , teremos:

n → = ( 0 ,   β ,   β )    

S e   β = 1 →   n → = ( 0 ,   1 ,   1 )    

Nossa equação geral do plano será y + z = 0

Já se α = - 13 3 β :

n → = - 4 3 β , 11 3 β ,   - 5 3 β →     n → = - 4 β , 11 β ,   - 5 β  

S e   β = 1 →   n → = ( - 4 ,   11 ,   - 5 )    

Nossa equação geral do plano será - 4 x + 11 y - 5 z = 0 → 4 x - 11 y + 5 z = 0

Assim, nosso plano tem duas equações possíveis:

y + z = 0         e           4 x - 11 y + 5 z = 0

Resposta

y + z = 0         e           4 x - 11 y + 5 z = 0

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