Ângulo entre Planos

Teoria Completa

Você está construindo uma rampa de acesso para cadeirantes. Essa rampa é formada por dois planos e você quer que a inclinação da rampa seja de 15 ° . Se você tivesse a altura da rampa e o comprimento da base poderíamos utilizar a relação:

tan ⁡ θ = a l t u r a b a s e

Mas, você tem a equação geral de cada plano. Como achar o ângulo entre os dois planos?

Calma!! Não precisa fazer essa cara hehe...Vamos te ensinar como encontrar o ângulo entre dois planos ;).

Se temos dois planos sendo um com vetor normal n 1 → e outro com vetor normal   n 2 → , o ângulo entre esses dois planos é:

Vamos ver um “exemploso”!!

Qual o ângulo formado entre os planos π 1 : 2 x + y - z + 1 = 0 e π 2 : x + 2 y + 3 z = 0 ??

Das equações dos planos, temos:

n 1 → = 2 ,   1 ,   - 1

n 2 → = ( 1 ,   2 ,   3 )

Vamos fazer o produto interno entre   n 1 → e   n 2 →

n 1 → ∙ n 2 → = 2 × 1 + 1 × 2 + - 1 × 3 = 1

E os módulos:

n 1 → = 2 2 + 1 2 + - 1 2 = 6

n 2 → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14

Colocando tudo na fórmula,

cos ⁡ θ = 1 6 × 14 = 1 84

Logo, θ = cos - 1 ⁡ 1 2 21

Pronto!! Acabamos a teoria!!

Só falta praticar!! Para isso você tem vários exercícios resolvidos para te ajudar a ficar expert no assunto! 😉

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Exercício Resolvido #1

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 212-1.

Ache a medida θ do ângulo entre os planos

π 1 : x - y + z = 20       e       π 2 : x + y + z = 0

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Passo 1

Já calculamos ângulo entre reta e ângulo entre reta e plano! Chegou a vez de calcular o ângulo entre planos!! Chegou a hora de resolvermos o problema lá da teoria, lembra?? Da rampa de acesso para cadeirante!! ;)

O enunciado nos fornece os dados como queremos, ou seja, a equação geral dos planos para que já possamos tirar qua lo vetor normal deles.

Passo 2

Primeiro, vamos retirar das equações qual o vetor normal de cada plano:

n 1 → = 1 ,   - 1 ,   1

n 2 → = 1 ,   1 ,   1

Tendo os vetores, vamos ver o que precisamos para usar a fórmula:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → | n 2 → |

Passo 3

Olhando a fórmula precisamos do módulo do produto escalar entre os vetores, e o módulo deles:

n 1 → ∙ n 2 → = 1 ,   - 1 ,   1 ∙ 1 ,   1 ,   1 = | 1 - 1 + 1 | = 1

n 1 → = 1 2 + ( - 1 ) 2 + 1 2 = 3

| n 2 → | = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

Colocando os valores na fórmula, temos:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → n 2 → → cos ⁡ θ = 1 3 3 = 1 3

θ = cos - 1 ⁡ 1 3

Resposta

θ = cos - 1 ⁡ 1 3

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 183-33b.

Determinar o ângulo entre os planos

π 1 : 2 x - 2 y + 1 = 0       e       π 2 : 2 x - y - z = 0

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Passo 1

Olhando para equação desses planos, já podemos pegar os vetores normais!

n 1 → = 2 ,   - 2 ,   0

n 2 → = 2 ,   - 1 ,   - 1

Tendo os vetores, vamos ver o que precisamos para usar a fórmula:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → | n 2 → |

Passo 2

Olhando a fórmula precisamos do módulo do produto escalar entre os vetores, e o módulo deles:

n 1 → ∙ n 2 → = 2 ,   - 2 ,   0 ∙ 2 ,   - 1 ,   - 1 = | 4 + 2 + 0 | = 6

n 1 → = 2 2 + ( - 2 ) 2 + 0 2 = 8

| n 2 → | = 2 2 + ( - 1 ) 2 + ( - 1 ) 2 = 6

Colocando os valores na fórmula, temos:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → n 2 → → cos ⁡ θ = 6 8 6 = 6 48 = 3 2 3 = 3 2

θ = cos - 1 ⁡ 3 2 = 30 °

Resposta

θ = 30 °

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 183-33c.

Determinar o ângulo entre os planos

π 1 : 3 x + 2 y - 6 = 0       e       π 2 : p l a n o   x O z

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Passo 1

Bom, do plano π 1 eu sei o vetor normal!

n 1 → = 3 ,   2 ,   0

Mas e o vetor normal de π 2 ??

Pensa comigo, galera. O plano x O z é formado por um vetor diretor da reta do eixo x e um vetor diretor da reta do eixo z :

Então se nós fizermos o produto vetorial entre   x → e   z → , vamos obter um vetor perpendicular a eles, ou seja, um vetor normal ao plano!

Considerando   x → = 1 ,   0 ,   0 e   z → = ( 0 ,   0 ,   1 ) , temos:

x → × z → = i → j → k → 1 0 0 0 0 1 = ( 0 ,   - 1 ,   0 )

Logo,   n 2 → = ( 0 ,   - 1 ,   0 )

Passo 2

Agora é só completar a fórmula!

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → | n 2 → |

Calculando os termos:

n 1 → ∙ n 2 → = 3 ,   2 ,   0 ∙ 0 ,   - 1 ,   0 = | 0 + ( - 2 ) + 0 | = 2

n 1 → = 3 2 + 2 2 + 0 2 = 13

| n 2 → | = 0 2 + ( - 1 ) 2 + 0 2 = 1

Colocando os valores na fórmula, temos:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → n 2 → → cos ⁡ θ = 2 1 13 = 2 13

θ = cos - 1 ⁡ 2 13

Resposta

θ = cos - 1 ⁡ 2 13

Exercício Resolvido #4

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 183-34.

Determinar o valor de m para que seja de 30 ° o ângulo entre os planos

π 1 : x + m y + 2 z - 7 = 0       e       π 2 : 4 x + 5 y + 3 z - 2 = 0

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Passo 1

Tudo igual por enquanto! Vamos determinar os vetores normais:

n 1 → = 1 ,   m ,   2

n 2 → = ( 4 ,   5 ,   3 )

Passo 2

Agora a gente olha para fórmula e reflete

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → | n 2 → |

Refletiu?

Beleza, vamos em frente haha

Calculando os termos normalmente:

n 1 → ∙ n 2 → = 1 ,   m ,   2 ∙ 4 ,   5 ,   3 = 4 + 5 m + 6 = 10 + 5 m

n 1 → = 1 2 + m 2 + 2 2 = 5 + m 2

| n 2 → | = 4 2 + 5 2 + 3 2 = 50

O moço quer que o ângulo seja de 30 ° , logo cos ⁡ 30 = 3 2

Colocando os valores na fórmula, temos:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → n 2 → → 3 2 = 10 + 5 m 50 5 + m 2

3 2 = 10 + 5 m 250 + 50 m 2

Multiplicando cruzado,

750 + 150 m 2 = 20 + 10 m

Elevando os dois lados ao quadrado

750 + 150 m 2 = 400 + 400 m + 100 m 2

50 m 2 - 400 m + 350 = 0

Dividindo por 50

m 2 - 8 m + 7 = 0