Teoria Completa
Vetores e Escalares
A partir de agora vamos pensar nos vetores de uma forma diferente...Acontece que vetores nem sempre são aquelas setinhas que você viu até agora. Vamos encará-los de uma maneira mais abstrata.
Fica tranquilo, não muda muita coisa do que já aprendemos.
A parada é que até aqui trabalhamos apenas no , ou seja, com vetores de 2 coordenadas, e no , com vetores de 3 coordenadas. Mas, a partir de agora, vamos aprender que podemos estender tudo o que já sabemos para vetores com quantas coordenadas quisermos. Lembrando que um vetor de n coordenadas pertencerá ao .
A grande diferença aqui é que, quando temos mais do que 3 coordenadas no vetor, deixamos de ter uma noção geométrica do espaço em que estamos trabalhando. Por isso eu disse pra você que tudo ficou mais abstrato e que não vamos mais pensar nas setinhas.
Outra coisa importante também, é que não é necessário representar os vetores com setinhas em cima da letra , e sim apenas .
Mas o que é um vetor agora, então?
Um vetor continua sendo um conjunto ordenado de números reais, chamados coordenadas, não importa quantos e quais sejam.
Vou dar uns exemplos.
O e o são vetores. Repare que o é composto de 2 coordenadas e o de 5 coordenadas. Por isso diremos que e. Assim, qualquer vetor que contenha uma lista ordenada de n números pertence ao .
Fica tranquilo que depois você vai entender o porquê dessa notação.
Já que estamos falando sobre vetores, vamos esclarecer algumas coisas sobre eles.
Primeiramente, quando dois vetores são iguais?
É igualzinho aos polinômios que nós estudávamos no Ensino Médio: dois polinômios são iguais quando seus coeficientes são iguais! Então, os vetores são iguais apenas quando cada uma das coordenadas dos dois vetores são iguais! Por exemplo:
O que é o vetor nulo?
O vetor nulo é um vetor que possui apenas zeros em suas coordenadas e é representado por 0. Por exemplo, se estamos no , temos . No , . Fácil não?
Mas espere! É bom deixar claro que fazemos isso apenas para facilitar nossa escrita, mas isso na verdade é um abuso de notação haha! Se tiver fazendo um rascunho fica a vontade mas se for algo sério escreva todos os zeros ;)
Beleza, agora o que seria um escalar? Quando eu falar de escalar, estou me referindo a qualquer número real, como .
E as operações com vetores, como ficam?
Elas continuam do jeitinho que conhecemos!! Ufa! Vamos dar só uma relembrada:
Soma: é só somar as coordenadas correspondentes de cada vetor. Vê só:
Multiplicação por escalar: se eu quiser muliplicar o vetor lá de cima por , é só multiplicar cada componente por , tipo assim:
Combinação Linear
Vamos fazer algumas contas com somas e multiplicações com escalares...
Preste atenção neste vetor:
Podemos escrever este vetor de um outro jeito:
Agora olhe para este:
Vamos reescrever de outro jeito também:
Repare, que nesses dois exemplos reescrevemos os vetores como somas de outros vetores multiplicados por escalares reais.
O que fizemos foi escrever o vetor como uma Combinação Linear do conjunto de vetores ! E escrevemos o vetor também como uma Combinação Linear do conjunto de vetores !
Agora podemos chegar numa definição mais geral: se e é uma combinação linear dos vetores então ele pode ser escrito assim:
Sendo { escalares chamados de coeficientes.
Obs: Vamos denotar Combinação Linear como ao longo do curso.
Vamos ver alguns exemplos:
Dica: Para resolver os sistemas lineares abaixo, ou seja, achar os coeficientes reais, opte por usar o método da substituição. Ou seja, isolar variável por variável e substituir na equação de baixo. Isso será útil para você não se confundir quando tiver infinitas soluções para os coeficientes.
1) O vetor é uma CL de ?
O que queremos achar são coeficientes que multipliquem os vetores do conjunto acima e, quando somados, tenhamos o vetor . Complicado né? Mas não é, você vai ver! Vamos aplicar a definição:
Multiplicando seus coeficientes por cada vetor temos:
Somando todos os vetores:
Igualando os dois vetores:
Resolvendo o sistema, temos que: (Confere aí!)
Tá, mas o que isso quer dizer?
Quer dizer que
vai dar...
2) O vetor é uma CL de ?
Vamos fazer a mesma coisa! Tentar achar e que satisfaçam a equação:
Vamos ficar com:
Igualando os vetores:
De cara, . Mas substitui isso nas duas outras equações... dá e .Mas como pode assumir dois valores distintos? Não pode! Temos uma CONTRADIÇÃO!! UM ABSURDO!!
Sempre que o sistema for impossível de se resolver você vai chegar num absurdo desses. Isso é porque não dá pra escrever o vetor como de e !
3) O vetor é uma dos vetores do conjunto ?
Antes de tentar equacionar... Vê aí uma coisa!!
Percebe que os vetores do nosso conjunto de vetores possuem na última coordenada? Então, quaisquer que sejam os coeficientes que multiplicamos os vetores, nunca irá originar uma quinta coordenada diferente de !
E percebe só que o vetor possui na quinta coordenada, e como (meio óbvio), é impossível que nosso conjunto de vetores gere o vetor .
Exercício Resolvido #1
Sejam os vetores e em
Escreva o vetor como combinação linear de e
Para que valor de o vetor é combinação linear de e ?
Determinar uma condição entre e para que o vetor seja uma combinação linear de e .
Passo 1
Letra
Para escrever o vetor como de queremos o seguinte:
Ou seja, temos que achar os coeficientes de que satisfazem essa equação:
Podemos montar um sistema com os coeficientes
Vamos isolar na :
Agora substituímos em :
E por fim substituímos o valor de para encontrar
Passo 2
Muita calma agora! Se o sistema só tivesse as equações e estaria sussa e poderíamos terminar por aqui. Entretanto, jovem padawan, temos que ver se os resultados achados satisfazem a outra equação não usada, no caso a :
Ufa! Deu tudo certo! Então a nossa combinação fica assim:
Não se esqueça de sempre conferir isso ;)
Passo 3
Letra
Mesma coisa que a letra
Na primeira equação podemos isolar o :
E substituir na segunda equação:
E por fim podemos encontrar o valor de :
Bom, percebe que temos equações? Então, com as duas primeiras já dá pra achar . Mas e a terceira serve pra que??? Bom a gente pega os valores de e substitui para achar :D:
Encontrando :
Passo 4
Letra
Para determinar um condição precisamos montar uma com o vetor . Desta vez vou chamar os coeficientes de de respectivamente.
Vamos montar o sistema:
Vamos primeiro isolar o na primeira equação:
E substituir na segunda equação para encontrar em função de :
Podemos voltar na primeira equação e encontrar o valor desubstituindo o valor de :
E por fim , substituir os valores de e na terceira equação para encontrar o valor de em função de :
Em outras palavras, o que resolvi aí em cima, foi achar os coeficientes que satisfaçam a combinação linear que estipulamos. Como consequência desses resultados, conseguimos achar uma relação entre necessária para existir a combinação linear.
Resposta
Exercício Resolvido #2
Verificar se o vetor é combinação linear do conjunto de vetores
Passo 1
Beleza, para ver se é desse conjunto, vamos escrever o sisteminha:
Abrindo isso:
De tiramos que .
De tiramos que .
Substituindo isso em :
Vamos só substituir nossos valores em e ver se bate!
Logo, nossa será
Resposta
Exercício Resolvido #3
Determine o valor de para que o vetor seja combinação linear do conjunto de vetores
Passo 1
Mais uma vez partimos para o sistema:
Abrindo isso:
Opa! só está em função de , então precisamos achar !
De tiramos que .
De tiramos que .
Substituindo isso em em função de :
Com o valor de conseguimos achar !
Logo,
Resposta
Exercício Resolvido #4
Mostrar que o vetor não é combinação linear de e .
Passo 1
Ok, vamos começar tentando escrever como de e !
Ficaria assim:
Abrindo em um sisteminha,
De tiramos que .
Substituindo em ,
Substituindo em ,
Show! Achamos e ! Agora precisamos ver se esses valores encontrados satisfazem a equação .
Substituindo em :
Logo, os valores de e não satisfazem a equação e não é de e !
Resposta
não é de e !
Exercício Resolvido #5
Determinar a condição para de modo que seja combinação linear de e .
Passo 1
Ok, vamos começar escrevendo como de e !
Ficaria assim:
Abrindo em um sisteminha,
Agora vamos tentar achar uma relação entre e sem os e (vamos tentar zerar esses caras)
Fazendo , obtemos:
Vamos guardar esse resultado! Ainda precisamos colocar e nessa relação!
Fazendo ,
Também sabemos que , já que as equações e são iguais!
Substituindo isso na nossa relação aqui de cima, ficamos com:
Uhull!! Achamos a nossa relação!
Mas o que fazemos com ela??
Se liga no passo 2!
Passo 2
Pensa comigo, o vetor só será de e se o sistema gerado por:
Possuir solução. E, esse sistema só terá solução se (já que obtivemos essa relação baseada justamente no fato de o sistema ter solução).
Então, todos os vetores obedecerão a equação !
Para ficar mais bonitinho, podemos escrever:
E, já sabemos que .
Logo, os vetores serão da forma:
Achamos nossa relação!! Showww de bolinhas!
Resposta
Os vetores serão da forma:
Exercício Resolvido #6
Escreva o vetor como combinação linear dos vetores , , ,