Combinação Linear

Teoria Completa

Vetores e Escalares

A partir de agora vamos pensar nos vetores de uma forma diferente...Acontece que vetores nem sempre são aquelas setinhas que você viu até agora. Vamos encará-los de uma maneira mais abstrata.

Fica tranquilo, não muda muita coisa do que já aprendemos.

A parada é que até aqui trabalhamos apenas no R 2 , ou seja, com vetores de 2 coordenadas, e no R 3 , com vetores de 3 coordenadas. Mas, a partir de agora, vamos aprender que podemos estender tudo o que já sabemos para vetores com quantas coordenadas quisermos. Lembrando que um vetor de n coordenadas pertencerá ao R n .

A grande diferença aqui é que, quando temos mais do que 3 coordenadas no vetor, deixamos de ter uma noção geométrica do espaço em que estamos trabalhando. Por isso eu disse pra você que tudo ficou mais abstrato e que não vamos mais pensar nas setinhas.

Outra coisa importante também, é que não é necessário representar os vetores com setinhas em cima da letra (   u →   ) , e sim apenas u .

Mas o que é um vetor agora, então?

Um vetor continua sendo um conjunto ordenado de números reais, chamados coordenadas, não importa quantos e quais sejam.

Vou dar uns exemplos.

a = ( 1 ,   2 )

b = 4 ,   - 1 ,   11 , 2 3 ,   π  

O a e o b são vetores. Repare que o a é composto de 2 coordenadas e o b de 5 coordenadas. Por isso diremos que a   ∈ R 2 e   b   ∈ R 5 . Assim, qualquer vetor que contenha uma lista ordenada de n números pertence ao R n .

Fica tranquilo que depois você vai entender o porquê dessa notação.

Já que estamos falando sobre vetores, vamos esclarecer algumas coisas sobre eles.

Primeiramente, quando dois vetores são iguais?

É igualzinho aos polinômios que nós estudávamos no Ensino Médio: dois polinômios são iguais quando seus coeficientes são iguais! Então, os vetores são iguais apenas quando cada uma das coordenadas dos dois vetores são iguais! Por exemplo:

  • 1,2 ≠ ( 1,3 )
  • 1,3 , 4 = 1,3 , 4
  • x , y , z = a , b , c ⇔ x = a ,     y = b ,     z = c

O que é o vetor nulo?

O vetor nulo é um vetor que possui apenas zeros em suas coordenadas e é representado por 0. Por exemplo, se estamos no R 3 , temos 0   = ( 0 ,   0 ,   0 ) . No R 5 , 0 = ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ) . Fácil não?

Mas espere! É bom deixar claro que fazemos isso apenas para facilitar nossa escrita, mas isso na verdade é um abuso de notação haha! Se tiver fazendo um rascunho fica a vontade mas se for algo sério escreva todos os zeros ;)

Beleza, agora o que seria um escalar? Quando eu falar de escalar, estou me referindo a qualquer número real, como 2 , - 4 ,   0 ,   π , 2 3 ,   2 ,   160   ∈ R .

E as operações com vetores, como ficam?

Elas continuam do jeitinho que conhecemos!! Ufa! Vamos dar só uma relembrada:

Soma: é só somar as coordenadas correspondentes de cada vetor. Vê só:

1,2 , 2 + - 5,0 , 4 = ( - 4 ,   2 ,   6 )

Multiplicação por escalar: se eu quiser muliplicar o vetor u lá de cima por - 2 , é só multiplicar cada componente por - 2 , tipo assim:

- 2 u = - 2 4 ,   - 1 ,   11 , 2 3 ,   π  

- 2 u = ( - 8 ,   2 , -   22 , - 4 3 , - 2 π )

Combinação Linear

Vamos fazer algumas contas com somas e multiplicações com escalares...

Preste atenção neste vetor:

( 1,1 , 1 )

Podemos escrever este vetor de um outro jeito:

1,1 , 1 = 1 1,0 , 0 + 1 0,1 , 0 + 1 ( 0,0 , 1 )

Agora olhe para este:

3,2 , 1

Vamos reescrever de outro jeito também:

3,2 , 1 = 3 1,1 , 0 + 1 0 , - 1,0 + 1 ( 0,0 , 1 )

Repare, que nesses dois exemplos reescrevemos os vetores como somas de outros vetores multiplicados por escalares reais.

O que fizemos foi escrever o vetor ( 1,1 , 1 ) como uma Combinação Linear do conjunto de vetores { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , ( 0,0 , 1 ) } ! E escrevemos o vetor ( 3,2 , 1 ) também como uma Combinação Linear do conjunto de vetores { 1,1 , 0 , 0 , - 1,0 , 0,0 , 1 } !

Agora podemos chegar numa definição mais geral: se v ∈   R n e é uma combinação linear dos vetores v 1 , v 2 , … , v n então ele pode ser escrito assim:

v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a n v n

Sendo { a 1 ,   a 2 , … , a n } escalares chamados de coeficientes.

Obs: Vamos denotar Combinação Linear como C L ao longo do curso.

Vamos ver alguns exemplos:

Dica: Para resolver os sistemas lineares abaixo, ou seja, achar os coeficientes reais, opte por usar o método da substituição. Ou seja, isolar variável por variável e substituir na equação de baixo. Isso será útil para você não se confundir quando tiver infinitas soluções para os coeficientes.

1) O vetor ( 0,0 , 1,2 ) é uma CL de { 1,1 , 1,1 , 0,2 , 0,0 , 0,3 , 1,3 , ( 0,0 , 0,1 ) } ?

O que queremos achar são coeficientes que multipliquem os vetores do conjunto acima e, quando somados, tenhamos o vetor ( 0,0 , 1,2 ) . Complicado né? Mas não é, você vai ver! Vamos aplicar a definição:

0,0 , 1,2 = a 1 1,1 , 1,1 + a 2 0,2 , 0,0 + a 3 ( 0,3 , 1,3 ) + a 4 0,0 , 0,1

Multiplicando seus coeficientes por cada vetor temos:

0,0 , 1,2 = a 1 , a 1 , a 1 , a 1 + 0,2 a 2 , 0,0 + 0,3 a 3 , a 3 , 3 a 3 + ( 0,0 , 0 , a 4 )

Somando todos os vetores:

0,0 , 1,2 = ( a 1 ,   a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 , a 1 + a 3 , a 1 + 3 a 3 + a 4 )

Igualando os dois vetores:

a 1 = 0 a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 = 0 a 1 + a 3 = 1 a 1 + 3 a 3 + a 4 = 2

Resolvendo o sistema, temos que: a 1 = 0 ,   a 2 = - 3 2 ,   a 3 = 1 ,   a 4 = - 1 (Confere aí!)

Tá, mas o que isso quer dizer?

Quer dizer que 0 1,1 , 1,1 - 3 2 0,2 , 0,0 + 1 0,3 , 1,3 - 1 0,0 , 0,1

vai dar...

( 0,0 , 1,2 )

2) O vetor - 1 ,   - 2 ,   3 é uma CL de 1,1 , 1 , 0,2 , 4 ?

Vamos fazer a mesma coisa! Tentar achar a 1 e a 2 que satisfaçam a equação:

  ( - 1 , - 2,3 ) = a 1 ( 1,1 , 1 ) + a 2 ( 0,2 , 4 )

Vamos ficar com:

( - 1 , - 2,3 ) = ( a 1 ,   a 1 + 2 a 2 ,   a 1 + 4 a 2 )

Igualando os vetores:

a 1 = - 1 a 1 + 2 a 2 = - 2 a 1 + 4 a 2 = 3

De cara, a 1 = - 1 . Mas substitui isso nas duas outras equações... dá a 2 = - 1 / 2 e a 2 = 1 .Mas como pode a 2 assumir dois valores distintos? Não pode! Temos uma CONTRADIÇÃO!! UM ABSURDO!!

Sempre que o sistema for impossível de se resolver você vai chegar num absurdo desses. Isso é porque não dá pra escrever o vetor - 1 , - 2,3 como C L de 1,1 , 1 e 0,2 , 4 !

3) O vetor ( 1,1 , 1,1 , 1 ) é uma C L dos vetores do conjunto { 1,0 , 1,1 , 0 , 1,3 , 0,2 , 0 } ?

Antes de tentar equacionar... Vê aí uma coisa!!

Percebe que os vetores do nosso conjunto de vetores possuem 0 na última coordenada? Então, quaisquer que sejam os coeficientes que multiplicamos os vetores, nunca irá originar uma quinta coordenada diferente de 0 !

E percebe só que o vetor ( 1,1 , 1,1 , 1 ) possui 1 na quinta coordenada, e como 1 ≠ 0 (meio óbvio), é impossível que nosso conjunto de vetores gere o vetor ( 1,1 , 1,1 , 1 ) .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 90. - 27

Sejam os vetores u = ( 2 , - 3,2 ) e v = ( - 1 ,   2,4 ) em R 3

a   Escreva o vetor w = ( 7 , - 11,2 ) como combinação linear de u e v

b   Para que valor de k o vetor ( - 8,14 , k ) é combinação linear de u e v ?

c   Determinar uma condição entre a , b e c para que o vetor ( a , b , c ) seja uma combinação linear de u e v .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Letra ( a )

Para escrever o vetor w como C L de u , v temos que achar os coeficientes de u , v que satisfazema equação:

w = a u + b v ⇒

7 , - 11,2 = a 2 , - 3,2 + b - 1,2 , 4 ⇒

7 = 2 a - b - 11 = - 3 a + 2 b 2 = 2 a + 4 b       I I I I I I

Vamos isolar a na I I I :

2 = 2 a + 4 b

1 = a + 2 b

a = 1 - 2 b

Agora substituímos em ( I ) :

7 = 2 1 - 2 b - b ⇒

7 = 2 - 4 b - b ⇒

5 = - 5 b ⇒

b = - 1

E por fim substituímos em I I I :

a = 1 - 2 - 1 = 3 ⇒

a = 3

Passo 2

Muita calma agora! Se o sistema só tivesse as equações ( I ) e ( I I I ) estaria sussa e poderíamos terminar por aqui. Entretanto, jovem padawan, temos que ver se os resultados achados satisfazem a outra equação não usada, no caso a ( I I ) :

- 11 = - 3 3 + 2 - 1 ⇒

- 11 = - 9 - 2 = - 11 ⇒

- 11 = - 11

Ufa! Deu tudo certo! Então a nossa combinação fica assim:

w = 3 u - v

Poderia ter acontecido igual naquele exemplo que vimos na teoria onde chegamos em um absurdo! Então sempre confira isso ;)

Passo 3

Letra ( b )

Mesma coisa que a letra ( a )

- 8,14 , k = a 2 , - 3,2 + b - 1,2 , 4 ⇒

- 8 = 2 a - b 14 = - 3 a + 2 b k = 2 a + 4 b

Bom, percebe que temos 3 equações? Então, com as duas primeiras já da pra achar a , b . Mas e a terceira serve pra que??? Bom a gente pega os valores de a , b e substitui para achar k :D:

- 8 = 2 a - b ⇒ b = 2 a + 8 ⇒ b = - 4 + 8 ⇒ b = 4 14 = - 3 a + 2 b ⇒ 14 = - 3 a + 4 a + 16 ⇒ a = - 2

Encontrando k :

k = 2 - 2 + 4 ⋅ 4 ⇒

k = 12

Passo 4

Letra ( c )

Para determinar um condição precisamos montar uma C L com o vetor ( a , b , c ) . Desta vez vou chamar os coeficientes de u , v