Teoria

Introdução

Lembra lá na 7ª série quando a professora Léia explicou como calcular o volume de um paralelepípedo? Então, lá quando você tinha um paralelepípedo de lados a = 2 ,   b = 3   e   c = 4 , você fazia V = a b c = 2.3 . 4 = 24 .

E se, ao invés de você ter o tamanho dos lados, eu te der os três vetores que geram esse paralelepípedo?

u → = 1 ,   0 ,   1               v → = 2 ,   1 ,   1     e       w → = ( 2 ,   3 ,   4 )

Como que faz?

Relaxa!! Vamos ensinar tudinho que você precisa saber!

Produto Misto

O produto misto pode ser representado de duas formas:

( u → × v → ) ∙ w →             o u             ( u → , v → ,   w → )

Pela primeira representação percebemos porque é chamado de Misto, ora, o pontinho ( ∙ ) como já vimos é o produto escalar, e o × indica o produto vetorial. Ah, então como temos que fazer um produto escalar e um vetorial, chamamos de misto. Sacou? ;)

Beleza, já sei identificar quando devo fazer um produto misto e porque se chama “Misto”, mas como eu resolvo essa parada?

É isso que nós vamos ver agora!!

Considerando os 3 vetores dados anteriores u ,   →   v →   e   w → . Montando o produto misto ficaria assim:

Bom, então, o produto misto é a resolução de um determinante? Isso mesmo!! Vamos resolver!! ;).

Ou seja, se tivermos um paralelepípedo formado pelos vetores u → = 1 ,   0 ,   1 ,   v → = 2 ,   1 ,   1     e       w → = ( 2 ,   3 ,   4 ) , o volume dele vai ser 5 !!

Lembrando que, como estamos falando de volume, a resposta vai ser dada em módulo viu?

Agora que já sabemos posicionar os vetores no determinante podemos dar um exemplo genérico. Que ficaria, assim:

u → = x 1 , y 1 ,   z 1 ,   v → = x 2 , y 2 ,   z 2   e   w → = x 3 , y 3 ,   z 3

Propriedades do Produto Misto

Beleza, sabemos calcular o valor do produto misto!!! E se eu mudar de ordem os vetores? influencia? Vamos dar uma olhada nas propriedades:

  • u → , v → ,   w → = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são coplanares.
  • O produto misto independe da ordem circular dos vetores( figura a seguir), isto é:
  • u → , v → ,   w → = v → , w → ,   u → = ( w → , u → ,   v → )

    Entretanto, o produto misto muda de sinal quando se trocam as posições de dois vetores consecutivos, isto é:

    u → , v → ,   w → = - v → , u → ,   w →

  • u → , v → ,   w → + r → = u → , v → ,   w → + u → , v → ,   r →
  • u → , v → , m w → = u → , m v → ,   w → = m u → , v → ,   w → = m u → , v → ,   w →

Mas, e onde entra o cálculo do volume? Ah, achou que eu ia esquecer!! Claro que não!! Hehe

Bom, o volume nada mais é que o módulo do produto misto. Então, para o nosso exemplo o volume do paralelepípedo formado por u ,   →   v →   e   w → é 5 .

Para quem quiser entender por que o produto misto equivale ao volume, dá uma passadinha no exercício 10 , você vai curtir hehe.

Para terminar, uma dica importante:

Por meio do produto misto é possível analisar se três vetores são coplanares. Pois, se o volume for ZERO, significa que os três vetores são coplanares, logo, não há como formar um paralelepípedo.

De teoria era isso, agora, bora praticar!!!

Propriedades do Produto Misto

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule u → ,   v → ,   w → sendo u → = - 1 ,   - 3 ,   1 ,   v → = 1 ,   0 ,   1 ,   w → = ( 2 ,   1 ,   1 ) .

Passo 1

Essa notação ela não é tão convencional, mas também é utilizada para indicar um produto misto. Então, temos que:

u → ,   v → ,   w → = u → ∙ ( v → × w → )

Sendo que nos foram fornecidos os três vetores comas suas coordenadas

Passo 2

Como vimos na teoria calcular o produto misto é na verdade calcular um determinante de uma matriz 3 x 3 sendo que cada linha da matriz representa um dos vetores, e cada coluna uma das componentes, como a seguir:

Passo 3

Agora é calcular o determinante.

Resposta

u → ,   v → ,   w → = - 1

Exercício Resolvido #2

Verificar se são coplanares os seguintes vetores:

u → = 3 ,   - 1 ,   4 ,   v → = 1 ,   0 ,   - 1       e     w → = 2 ,   - 1 ,   0

Passo 1

Neste problema nos é dado três vetores e a pergunta é se esses três vetores são coplanares.

Passo 2

Como eu sei se são coplanares? Ou melhor o que são coplanares? já me esqueci!!

Calma!! Vamos recordar rapidinho!!

Da teoria de “Introdução ao Estudo dos Vetores” vimos que vetores coplanares são aqueles que estão no mesmo plano. Relembrou?!

E sabemos da teoria do produto misto que o valor do produto misto entre os vetores corresponde ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores. Okay, isso eu sei, mas o que isso me ajuda?

Ajuda de que se os três vetores são coplanares, então, não tem como formar um paralelepípedo e logo o volume é ZERO.

Ahhh, saquei! Então, quer dizer que basta eu provar que o produto misto entre os vetores u → ,   v → e w → é ZERO???

Isso mesmo, essa é a ideia!!!

Passo 3

Bora calcular então:

Pelo que calculamos, chegamos num resultado diferente de zero, o que indica que os vetores não são coplanares.

Resposta

Os vetores não são coplanares.

Exercício Resolvido #3

Verificar se os pontos A 1 ,   2 ,   4 ,   B - 1 ,   0 ,   - 2 ,   C 0 ,   2 ,   2   e   D ( - 2 ,   1 ,   - 3 ) estão no mesmo plano.

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se os PONTOS estão no mesmo plano. Cuidado, agora, teremos que achar os vetores, pois nos foi dado os pontos ,e não os vetores como no exercício anterior.

Passo 2

Já que temos os pontos devemos determinar vetores com esses pontos para verificar se são coplanares.

Mas, quais vetores escolheremos??

Devemos escolher os vetores de forma que os três possam, talvez, determinar um paralelepípedo. Pois, então, poderemos utilizar a sacada de que se o volume do paralelepípedo for ZERO, então são coplanares.

Bem, há várias possibilidades de se escolher os vetores que poderemos utilizar para serem os vetores diretores do nosso paralelepípedo. Uma forma, talvez, mais fácil de se escolher seja escolher um ponto de origem e fazer todos os vetores partindo dele.

Bom, porque eu quero vou escolher como origem o ponto A . Partindo desse ponto conseguimos formar 3 vetores: A B → ,   A C → e A D → .

Passo 3

Agora é calcular os vetores e o produto misto.

A B → = B - A = - 1 ,   0 ,   - 2 - 1 ,   2 ,   4 = ( - 2 ,   - 2 ,   - 6 )

A C → = C - A = 0 ,   2 ,   2 - 1 ,   2 ,   4 = ( - 1 ,   0 ,   - 2 )

A D → = D - A = - 2 ,   1 ,   - 3 - 1 ,   2 ,   4 = ( - 3 ,   - 1 ,   - 7 )

Agora que já temos os vetores, bora calcular o produto misto.

Portanto, os pontos pertencem ao mesmo plano.

Resposta

O s   p o n t o s   p e r t e n c e m   a o   m e s m o   p l a n o .  

Exercício Resolvido #4

Encontre o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u ,   v   e   w nos seguintes casos:

  1. Dados os pontos A = 1 ,   3 ,   4 ,   B 3 ,   5 ,   3 ,   C = 2 ,   1 ,   6     e   D = ( 2 ,   2 ,   5 ) tome u → = A B → ,   v → = A C →     e   w → = A D → .
  2. u → = i → + 3 j → + 2 k → ,     v → = 2 i → + j → - k →     e   w → = i → - 2 j → + k → .

Passo 1

Esse problema nos pede para determinar o volume do paralelepípedo formado pelos vetores que são dados. O que muda o item a do item b é a forma como os vetores são dados. Mas, a resolução é a mesma.

Passo 2

Pela teoria sabemos que o módulo do produto misto é igual ao volume do paralelepípedo formado pelos vetores do produto. Então, basta sabermos os vetores e fazer o produto misto entre eles.

  1. Foi nos dados 4 pontos: A ,   B , C   e   D . E determinados 3 vetores A B → ,   A C →   e   A D → . Vamos determinar então esses vetores, por meio dos pontos:

A B → = B - A = 3 ,   5 ,   3 - 1 ,   3 ,   4 = ( 2 ,   2 ,   - 1 )

A C → = C - A = 2 ,   1 ,   6 - 1 ,   3 ,   4 = ( 1 ,   - 2 ,   2 )

A D → = D - A = 2 ,   2 ,   5 - 1 ,   3 ,   4 = ( 1 ,   - 1 ,   1 )

Calculando o produto misto:

Portanto, o volume do paralelepípedo é 1.

Passo 3

  1. Foi nos dados 3 vetores na base cartesiana, ou seja, os versores i → ,   j →   e   k → que indicam respectivamente as direções: x ,   y   e   z . Assim temos os vetores:

u → = i → + 3 j → + 2 k → → u → = ( 1 ,   3 ,   2 )

v → = 2 i → + j → - k → → v → = ( 2 ,   1 ,   - 1 )

w → = i → - 2 j → + k → → w → = ( 1 ,   - 2 ,   1 )

Calculando o produto misto:

Portanto, o volume do paralelepípedo é 20 , já que é o módulo do produto misto.

Resposta

  1. V = 1   u . v
  2. V = 20   u . v

Exercício Resolvido #5

Qual deve ser o valor de m para que os vetores a → = m ,   2 ,   - 1 ,   b → = 1 ,   - 1 ,   3   e   c → = 0 ,   - 2 ,   4 sejam coplanares?

Passo 1

Temos que determinar o valor de m para que os vetores dados a   → ,     b →   e   c → sejam coplanares, ou seja, o volume do paralelepípedo formado pelos vetores deve ser ZERO ;).

Passo 2

Como sabemos que para vetores serem coplanares o volume do paralelepípedo deve ser zero, logo, o produto misto entre eles deve ser zero.

Bora calcular o produto misto?!

a → ,   b → ,   c → = m 2 - 1 1 - 1 3 0 - 2 4 = 0

- 4 m + 2 + 6 m - 8 = 0 → 2 m = 6

m = 3

Mais um exercício para a nossa lista!!

Resposta

m = 3

Exercício Resolvido #6

Para que valor de m   os pontos A m ,   1 ,   2 ,   B 2 ,   - 2 ,   - 3 ,   C 5 ,   - 1 ,   1   e   D 3 ,   - 2 ,   - 2 são coplanares?

Passo 1

Poxa vida!!! Mas, esse problema é o mesmo do anterior!!

Ele pode ser parecido, mas não é igual não. Sabe pq? Porque no anterior o problema nos dava os vetores bonitinhos e aqui não, é nos dado os pontos. Então, tome cuidado, produto misto é entre VETORES, e não entre pontos.

Passo 2

Bora montar os vetores!!!

Como vimos num problema anterior se três vetores são coplanares, então o volume do paralelepípedo que seria formado por eles é ZERO. E por costume escolheremos os vetores partindo de uma mesma origem. Vou escolher o ponto A . Então, teremos os vetores:

A B → = B - A = 2 ,   - 2 ,   - 3 - m ,   1 ,   2 = ( 2 - m ,   - 3 ,   - 5 )

A C → = C - A = 5 ,   - 1 ,   1 - m ,   1 ,   2 = ( 5 - m ,   - 2 ,   - 1 )

A D → = D - A = 3 ,   - 2 ,   - 2 - m ,   1 ,   2 = ( 3 - m ,   - 3 ,   - 4 )

Passo 3

Agora sim, é resolver o produto misto entre os vetores para que os vetores sejam coplanares, ou seja, produto misto igual a ZEROOO.

A B → ,   A C → ,   A D → = 2 - m - 3 - 5 5 - m - 2 - 1 3 - m - 3 - 4 = 0

= 8 2 - m + 3 3 - m + 15 5 - m - 10 3 - m - 3 2 - m - 12 5 - m =

100 - 96 - 26 m + 25 m = 0

m = 4

Resposta

m = 4

Exercício Resolvido #7

Dados os vetores u → = x ,   5,0 ,   v → = 3 ,   - 2 ,   1   e   w → = 1 ,   1 ,   - 1 , calcular os valores possíveis de x para que o volume do paralelepípedo determinado por u → ,   v →   e   w → seja 24 unidades de volume.

Passo 1

Nos é dado três vetores: u → ,   v →   e   w → . O vetor u → possui sua coordenada x como incógnita. O problema quer saber quais os valores de x para que o paralelepípedo formado pelos três vetores seja 24 unidades de volume.

Passo 2

Bom, sabemos que o produto misto de três vetores corresponde em MÓDULO ao valor do volume do paralelepípedo, certo?

Pq que eu coloquei a palavra MÓDULO em destaque?

Porque é esse detalhe que faz toda a diferença na resolução, pois o problema quer os possíveis valores de x para que o volume seja de 24 unidades. Isso quer dizer que, como o módulo do produto misto indica o volume, então, o produto misto pode ser igual a 24 ou igual a -24.

Sacou ?

Passo 3

Então, teremos que calcular o produto misto para o módulo. Um para 24 e outro para -24. Então, bora calcular!!!

Assim,

u → ,   v → ,   w → = x 5 0 3 - 2 1 1 1 - 1

Para   24 ,

2 x + 5 - x + 15 = 24

x = 4

Para - 24 ,

2 x + 5 - x + 15 = - 24

x = - 44

Viu, nem precisou de tanta conta, só um detalhe, já que o determinante não se altera, só fizemos a última partezinha diferente hehe

Resposta

x = 4   e   x = - 44

Exercício Resolvido #8

Sejam os vetores u → = 1 ,   1,0 ,   v → = 2 ,   0 ,   1   ,     w 1 → = 3 u → - 2 v → ,   w 2 → = u → + 3 v →     e   w 3 → = i → + j → - 2 k . →

Determinar o volume do paralelepípedo definido por w 1 → ,   w 2 →   e   w 3 → .

Passo 1

Esse é o tipo de exercício trabalhoso, pois ele quer o volume, sabemos que o volume é fazer o produto misto. Sucesso!! Só que os vetores que definem o paralelepípedo, que são w 1 → ,   w 2 →   e   w 3 → dependem de u →   e   v → , ou estão escrito na base canônica.

Esse exercício é para ver se vocês estão afiados em operações com vetores e com a base canônica.

Passo 2

Vamos definir, primeiro, os vetores que definem o paralelepípedo que são:

w 1 → = 3 u → - 2 v → = 3 1 ,   1 ,   0 - 2 2 ,   0 ,   1 = 3 - 4 ,   3 - 0 ,   0 - 2 = ( - 1 ,   3 ,   - 2 )

w 2 → = u → + 3 v → = 1 ,   1 ,   0 + 3 2 ,   0 ,   1 = ( 1 + 6 ,   1 + 0 ,   0 + 3 ) = ( 7 ,   1 ,   3 )

w 3 → = i → + j → - 2 k → = ( 1 ,   1 ,   - 2 )

Passo 3

Agora é calcular o produto misto e ser feliz haha

V = 44   u . v

Resposta

V =   44   u . v

Exercício Resolvido #9

Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são: A 1 ,   2 ,   1 ,   B 7 ,   4 ,   3 ,   C 4 ,   6 ,   2   e   D 3 ,   3 ,   3 .

Passo 1

Esse exercício possui um pequeno detalhe que faz uma mega diferença. Bom ele quer que determinemos o volume de um tetraedro, sendo que ele nos dá os vértices. A pegadinha, é que o módulo do produto misto é o volume de um paralelepípedo. Mas, e agora?? O que tem de diferente?

Calma!!! Nesse exercício precisamos de um detalhe que ao longo da vida de estudante acabamos esquecendo por falta de uso. E qual é esse detalhe??

O detalhe é que o volume de um tetraedro é 1 6 do volume de um paralelepípedo. Pronto, nossos problemas acabaram hehe.

Passo 2

Agora, só precisamos definir os vetores, já que nos deram os pontos e calcular o produto misto e por fim, multiplicar por 1 6 ;).

Vamos lá determinar os vetores:

A B → = B - A = 7 ,   4 ,   3 - 1 ,   2 ,   1 = ( 6 ,   2 ,   2 )

A C → = C - A = 4,6 ,   2 - 1 ,   2 ,   1 = ( 3 ,   4 ,   1 )

A D → = D - A = 3 ,   3 ,   3 - 1 ,   2 ,   1 = ( 2 ,   1 ,   2 )

Agora que já temos os vetores, bora calcular o produto misto.

V = 24 6 = 4 u . v

Resposta

V = 4   u . v

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