Dependência Linear e Proposições

Teoria Completa

Introdução

Antes de começar a ler esse capítulo, recomendo FORTEMENTE (ou seja, volta lá e lê os capítulos que tô falando rs) que você leia os capítulos combinação linear e sobre dependência linear. Pois vamos basicamente provar proposições nesse capitulo e você precisa estar sabendo as definições muito bem pra isso, ok?

Aqui, vai a definição de dependência linear pra você dar uma olhada:

Provando Proposições

Agora que você já está avisado, vamos continuar.

Normalmente em algumas questões podem pedir para você provar que alguns vetores genéricos são L I , ou seja, vetores com n coordenadas. Mas aqui vai uma dica.

SEMPRE QUE TE PEDIREM ALGO ASSIM, NUNCA ESTIPULE COORDENADAS PARA O SEU VETOR OK??

Você vai trabalhar sempre representando ele por uma letra: u ,   v ,   w , …

Além disso, essas questões começam “se, ...., então ....”. Quando você ver isto, pode ficar ligado que é uma proposição, então NORMALMENTE o melhor método para resolver é seguindo todo o roteiro de como provar uma proposição, show?

Mas pode ser que tenha outro jeito de resolver a questão ou não dê para resolver por esse jeito, mas no geral dá sim. Quando isso acontecer, você vai precisar utilizar algum “malabarismo algébrico” rs.

Tá, agora vamos ver alguns exemplos! É hora do show porra!

Exemplo: prove que: Se v , u é L I , então o conjunto { v , u + v } é L I

Antes de tudo vamos separar em hipótese e tese:

Hipótese: : Se v , u é L I

Tese: o conjunto { v , u + v } é L I

Agora, repare que se estivesse apenas escrito que { v , u + v } é L D ou L I , não teria como resolver porque não teria hipótese para aplicar.

Enfim, vamos começar a resolver. Se queremos provar que eles são L I então o que queremos achar são coeficientes reais, que multiplicados os vetores da sua tese (pois é isso que você quer provar) vão ser somente e unicamente iguais a zero. Então vamos aplicar a definição de independência linear:

a v + b u + v = 0   ,   a , b ∈ R

Sempre que você botar uma nova letra no desenvolvimento de sua prova, explique da onde ela veio, a qual conjunto pertence, não sai escrevendo as coisas sem dar nomes a elas não rs.

Calma aí, que o monstro já tá saindo da jaula!

Bom, agora o bagulho é achar que a = b = 0 . E aqui que vai diferir um pouco daquele nosso esquema de proposições, pois você não vai achar algo “tão na cara assim. Então, o único jeito de continuar na minha opinião é distribuindo, pois não vejo outro jeito. Ai você deve estar se perguntando, por que ele fez isso?? Bom, é mais uma questão de intuição mesmo e de análise sobre o que dá ou não para fazer.

a v + b u + b v = 0

Tá blz, agora vamos agrupar os vetores:

a + b v + b u = 0

Repara que agora nossa combinação linear mudou de figura. Agora estamos fazendo uma C L de v , u apenas! E não de u , u + v !! Ahh mas o v está multiplicado por uma soma ali, não vale! Vale sim! Pois a soma de dois números reais, ainda da um número real, então você pode tratar aquilo como um coeficiente c = a + b sacou?

c v + b u = 0

Agora vem a parte que eu falei. Se você não “interpretar” esse resultado, não da pra sair daqui. Então, quando isso acontecer e você já tiver desenvolvido um pouco a sua tese e não sabe para onde continuar NORMALMENTE é a hora de usar a HIPÓTESE!

Ela diz que v , u é L I , e o que a definição de L I te diz?

Que você pode igualar os coeficientes a zero!

OBS: Pare e presta atenção! No começo do enunciado você não podia igualar os coeficientes a zero! Por que? Por que você não sabia se o vetores em questão u , u + v eram L I , sendo assim nada de igualar coeficientes a zero!

Tá, agora igualando os coeficientes a zero:

c = a + b = 0 ⇒ a = 0 b = 0

Pera agora acabei de achar que a = b = 0 e era exatamente o que eu queria achar né? Então fim de papo. Acabamos de achar que os coeficientes lá da nossa C L :

a v + b u + v = 0

São zero! Então esses vetores são L I !

Mais um exemplo, agora mais rápido, só pra você pegar o jeito:

Ex: Se { u , v , w } é L I então { u + v , v - w } é L I ?

Mesma coisa, vamos separar em hipótese e tese:

Hipótese: Se { u , v , w } é L I

Tese: { u + v , v - w } é L I

Agora é só equacionar a tese:

a u + v + b v - w = 0 ⇒

a u + a v + b v - b w = 0 ⇒

a + b v + a u - b w = 0

Aplicando a hipótese!! (escreva isso na sua prova, mostre ao corretor que você sabe o que está fazendo!)

a + b = 0 ⇒ 0 + 0 = 0   ( s a t i s f a z ! ) a = 0 - b = 0 ⇒ b = 0

Bom, então achamos que os coeficientes são zero, e a equação também nos diz que este é o único resultado possível, { u + v , v - w } é L I !

Agora um outro exercício um pouco diferente:

Se u , v , w é L I , então u , v é L I

Essa é uma das vezes que falei que nem sempre partir da tese vai funcionar. Vamos partir de uma outra equação:

a u + b v + c w = 0

Ahh mas pera você esta usando a hipótese!! Não eu ainda não usei nenhuma informação sobre a hipótese, apenas é uma combinação linear conveniente com nossa hipótese, mas o fato dos três vetores serem L I ainda não foi usado. Sendo assim, como sabemos que eles são L I sabemos que a = b = c = 0

Então vamos zerar somente o c :

a u + b v = 0

Mas como a = b = c = 0 , por hipótese, podemos dizer que a = b = 0 . E junto coma equação acima, podemos dizer que os dois vetores são L I ! Tá, isso foi um pouco de matemágica admito ahaha.

Conclusões

A partir desse último exemplo, podemos analisar um fato importante:

Fato: Todo subconjunto de um conjunto L I , é L I também.

E além do fato, podemos analisar um padrão nas outras questões. Normalmente, basta seguir os passos abaixo:

Passo 1: Separe em hipótese e tese.

Passo2: Equacione de algum jeito a tese.

Passo 3: Desenvolva a sua equação, para atingir o seu objetivo (concluir a tese). Esse passo, depende mais de você, mas no geral é só distribuir.

Passo 4: Aplique a sua hipótese e desenvolva até encontrar algo.

Passo 5: Conclua as informações sobre o resultado achado e seja feliz :D.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 86

Escolha uma opção. Dizer que { v 1 ,   v 2 ,   … , v n } é L I é o mesmo que dizer que:

  1. Se λ 1 = … = λ n = 0 , então λ 1 v 1 + … + λ n v n = 0
  2. λ 1 v 1 + … + λ n v n = 0 para todo λ i ∈ R
  3. Se λ 1 v 1 + … + λ n v n = 0 , então λ 1 = … = λ n = 0
  4. v i ≠ 0 para todo i = 1 , … , n
  5. v i não é múltiplo de v k se i ≠ k
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Passo 1

Vamos lembrar da definição de independência linear:

Um conjunto { v 1 ,   v 2 ,   … , v n } é linearmente independente quando o único jeito da equação λ 1 v 1 + … + λ n v n = 0 é quando λ 1 = … = λ n = 0 .

Logo a letra a) é falsa, pois ela diz que se os coeficientes são nulos então os vetores são L I , o que é mentira, pois um conjunto L D também pode possuir coeficientes nulos (afinal tem infinitas possibilidades, não é mesmo?)

A letra b), não restringe apenas para λ i = 0 e sim para qualquer real, então, desse modo o conjunto seria L D .

Passo 2

Por sua vez, a letra c) seria a reposta correta. O que a proposição nos diz, é que a C L dos vetores é igual a zero, então COM CERTEZA os coeficientes serão nulos. Acho que talvez esse COM CERTEZA não estivesse tão explicito na proposição né? Rs. Mas é exatamente isso que ela quer dizer.

Na letra d), basta lembrar que a definição de L I , não impõe somente que o vetor não seja nulo. E por fim a letra e), só serve para um conjunto de dois vetores.

Resposta

Letra c)

Exercício Resolvido #2

Lista 1 de exercício para a P1, número 3-b), 2015.1, PUC-rio

Verifique que { u - v , v - w , w - u } é um conjunto L D e torne o conjunto L I .

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Passo 1

Bom, como não temos as coordenadas dos vetores, não é possível botar numa matriz e escalonar, mas sabemos que o conjunto acima é L D , então sabemos que algum dos vetores aí são uma C L dos demais.

Podemos ver que:

w - u = - v - w - u - v ⇒

w - u = - v + w - u + v ⇒

w - u = w - u

Como um dos vetores é C L dos demais, podemos ver que o conjunto é L D .

Passo 2

Como verificamos que w - u é uma C L dos demais vetores, então podemos descartá-lo do conjunto, sobrando apenas:

{ u - v , v - w }

Agora será que esse conjunto é L I ??

Sim, pois repare que o vetor v - w não possui o vetor u e o mesmo vale para o vetor u - v , que não possui o vetor w , logo como um não consegue gerar o outro o conjunto é L I .

Resposta

{ u - v , v - w }

Exercício Resolvido #3

Lista 2 de Monitoria para a P1, Questão 2, 2015.1, PUC-rio

Prove que: se { u , v , w } é L I , então { u + v , v + w , w + u } é L I .

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Passo 1

Primeiro de tudo vamos separar em hipótese e tese:

Hipótese: { u , v , w } é L I

Tese: { u + v , v + w , w + u } é L I

Vamos começar pela nossa tese, e tentar equacioná-la. O que quer dizer que esse conjunto { u + v , v + w , w + u } seja L I ? (Relembre a definição)

Significa:

a u + v + b v + w + c w + u = 0

Queremos encontrar então que a = b = c = 0 . Se encontrarmos isso, provamos certo!

Passo 2

Cuidado! NÃO COMECE A FALAR QUE a = b = c = 0 , e logo { u , v , w } SÃO L I !

Você ainda não usou nenhuma hipótese! O que temos que fazer é tentar fazer os vetores u , v , w aparecerem de alguma forma. Vamos tentar distribuir os coeficientes.

a u + a v + b v + b w + c w + c u = 0

Passo 3

Temos u , v , w multiplicando muitas constantes, vamos tentar isolar cada um deles:

a + c u + a + b v + b + c w = 0

Agora sim podemos aplicar a hipótese do nosso problema, pois agora temos coeficientes multiplicando nossos vetores isolados. É como se tivéssemos isso aqui:

k 1 u + k 2 v + k 3 w = 0 , sendo k 1 = a + c , k 2 = a + b , k 3 = b + c

Sabendo que { u , v , w } é L I , tudo que é coeficiente e estiver multiplicando cada um dos vetores separados, podemos igualar a zero (relembre a definição).

Passo 4

Igualando os coeficientes acabamos caindo num sistema:

a + c = 0 a + b = 0 b + c = 0

Lembre-se que o objetivo é encontrar que os coeficientes desta equação

a u + v + b v + w + c w + u = 0

sejam iguais a zero ( a = b = c = 0 ) .

Voltando para o sistema, vamos multiplicar a última linha por ( - 1 ) e somar todas as 3 equações:

a + c + a + b - b - c = 0 ⇒

2 a = 0 ⇒

a = 0

Substituindo nas outras equações encontramos que:

c = b = 0

Logo, encontramos que

a = b = c = 0

e a prova está concluída! =)

Resposta

Exercício Resolvido #4

Combinação Linear, Base e Dimensão

A questão 4 c da P 1 era: “Sejam v ,   v 1 ,   v 2 ,   v 3   vetores de R n . Suponha que v 1 ,   v 2 ,   v 3 são vetores linearmente independentes e que v ∉ 〈 v 1 ,   v 2 ,   v 3 〉 . Os vetores v ,   v 1 ,   v 2 ,   v 3 são linearmente independentes? Justifique.” A resposta do Joãozinho foi:

  1. Escreva a definição de 〈 v 1 ,   v 2 ,   v 3 〉 .
  2. Qual hipótese do enunciado da questão 4 c o Joãozinho não usou? Dê um exemplo onde, sem essa hipótese v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v são linearmente dependentes
  3. Escreva uma demonstração correta e completa que os vetores v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v são linearmente independentes começando por:

“Sejam escalares α ,   α 1 ,   α 2 ,   α 3 tais que α v + α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0

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Passo 1

Letra a)

Antes de começar qualquer coisa, perceba que o exercício está usando a notação de espaço gerado como 〈 … 〉 e não s p a n , mas não se preocupe é a mesma coisa!

Agora vamos a definição de espaço gerado:

Para a definição abaixo basta botar k = 3 .

Passo 2

Letra b)

Joãozinho não usou a hipótese de que v 1 ,   v 2 ,   v 3 são vetores linearmente independentes.

Sem essa hipótese poderíamos ter v 1 ,   v 2 ,   v 3 L I ou L D .

Vamos pegar três vetores L D :

v 1 = 0 , 1 , 1

v 2 = 0,1 , 0

v 3 = 0,0 , 1

Como v 1   é C L de   v 2   e   v 3 , os vetores são L D , o que está ok já que a hipótese de que v 1 ,   v 2 ,   v 3 são vetores linearmente independentes foi descartada.

Agora vamos considerar a hipótese de que v ∉ 〈 v 1 ,   v 2 ,   v 3 〉 . Com isso, temos que pegar um quarto vetor qualquer que não pertença ao espaço gerado por v 1 ,   v 2 ,   v 3 . Assim,

v = 1 , 0 , 0

Logo, o nosso conjunto fica:

0 , 1 , 1 ,   0,1 , 0 , 0,0 , 1 , 1 , 0 , 0

E esse conjunto é L D !

Só para você ter certeza de que o conjunto é L D , vamos abrir o sistema:

a 0 ,   1 ,   1 + b 0 ,   1 ,   0 + c 0 ,   0 ,   1 + d 1 ,   0 ,   0 = 0 ,   0 ,   0

d = 0 a + b = 0 → b = - a a + c = 0 → c = - a

Logo, o conjunto é L D !

Passo 3

Letra c)

Antes de tudo, vamos separar nossas hipóteses e teses:

Hipótese: v 1 ,   v 2 ,   v 3 são vetores L I e v ∉ 〈 v 1 ,   v 2 ,   v 3 〉

Tese: v ,   v 1 ,   v 2 ,   v 3 são linearmente independentes

Partindo da tese:

α v + α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0 ⇒

α v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3

Deste modo estamos escrevendo α v como C L dos demais vetores, então α v ∈ s p a n { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } , então o mesmo podemos afirmar para v (Lembre-se que se o espaço gerado fosse deslocado, o vetor α v poderia ter perfurado o espaço gerado enquanto o v , um múltiplo menor que α v tocaria com a pontinha de seu vetor exatamente no espaço gerado. Pense no espaço gerado como um plano para visualizar melhor). Entretanto, sabemos por hipótese que v ∉ 〈 v 1 ,   v 2 ,   v 3 〉 , logo o único jeito daquela equação ser verdadeira é com α = 0 :

α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0

Agora, fica muito fácil! Lembra que o enunciado disse que : v 1 ,   v 2 ,   v 3 são vetores L I ? Então agora basta aplicar isso, então podemos dizer que α 1 = α 2 = α 3 = 0 .

E como achamos que α = α 1 = α 2 = α 3 = 0 , o conjunto { v ,   v 1 ,   v 2 ,   v 3 } é L I .

Resposta

Exercício Resolvido #5

Lista 1 de exercícios para a P1, número 3-c), 2015.1, PUC-rio

Prove que: se { v 1 , v 2 , v 3 } é L I e v ∉ s p a n { v 1 , v 2 , v 3 } , então { v + v 1 , v + v 2 , v + v 3 } é L I .

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Passo 1

Vamos com calma, separe em hipóteses e tese a sua proposição.

Hipóteses: { v 1 , v 2 , v 3 } é L I e v ∉ s p a n { v 1 , v 2 , v 3 }

Tese:   { v + v 1 , v + v 2 , v + v 3 } é L I

Se temos que provar nossa tese, temos que achar os coeficientes dos vetores { v + v 1 , v + v 2 , v + v 3 } todos iguais a zero, e somente zero. (Repare que são apenas 3 vetores!)

Passo 2

Após ter feito isso, vamos equacionar nossa tese. Para isso, vamos aplicar a definição de L I .

a v + v 1 + b v + v 2 + c v + v 3 = 0 ⇒

a v + a v 1 + b v + b v 2 + c v + c v 3 = 0

Lembre-se que o objetivo é achar a = b = c = 0 . Agora, vamos juntar os vetores iguais:

a + b + c v + a v 1 + b v 2 + c v 3 = 0

Passo 3

Agora está na hora de começar a aplicar nossas hipóteses. Vamos rearrumar a equação:

a + b + c v = - a v 1 - b v 2 - c v 3

Repare na hipótese: v ∉ s p a n { v 1 , v 2 , v 3 } . Para v pertencer de fato ao espaço gerado, ele tem que ser escrito como uma C L dos demais vetores do s p a n explicitado. Eu sei que não pertence, mas vamos tentar fazer com que ele pertença e chegar em alguma incoerência.

Passo 4

a + b + c v = - a v 1 - b v 2 - c v 3

Assim, ( a + b + c ) v está escrito como uma C L dos demais vetores.

OBS: SE UM MÚLTIPLO DE v PERTENCE À UM s p a n , TODOS OS SEUS MÚLTIPLOS TAMBÉM PERTENCEM. Tente ver um s p a n como um espaço gerado não deslocado. Isto significa, portanto, que v ∈ s p a n { v 1 , v 2 , v 3 } .

Pera aí!!!!!!!!!!!!! Mas a hipótese dizia que ele NÃO PERTENCIA! Eu sei disso e era exatamente aonde eu queria chegar. Chegamos em uma incoerência, mas temos que fazer a hipótese ser verdadeira, e isso só é possível para a + b + c = 0 .

Passo 5

Assim ficamos com:

- a v 1 - b v 2 - c v 3 = 0 ⇔

a v 1 + b v 2 + c v 3 = 0

Pela outra hipótese, temos que { v 1 , v 2 , v 3 } é L I , e é exatamente o que temos aqui!

Então podemos afirmar com isso que:

a = b = c = 0

E, portanto, { v + v 1 , v + v 2 , v + v 3 } é L I .

Resposta

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Prove que, se um conjunto de n vetores for L D , podemos escrever um dos vetores como combinação linear dos demais.

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Passo 1

Vamos começar!

Um conjunto de n vetores L D pode ser representado por:

a 1 v 1 → + a 2 v 2 → + a 3 v 3 → + … + a j v j → + a n v n → = ( 0,0 , 0 , … , 0 )

Com a 1 ,   a 2 , a 3 , … ,   a n diferentes de zero (já que os vetores são L D )

Assim, podemos isolar um dos vetores. Isolando   v j → ,

a j v j → = 0 ,   0 ,   0 ,   … ,   0 - a 1 v 1 → - a 2 v 2 → - a 3 v 3 → - … - a n v n →

a j v j → = - a 1 v 1 → - a 2 v 2 → - a 3 v 3 → - … - a n v n →

Passando o a j para o outro lado,

v j → = - a 1 a j v 1 → - a 2 a j v 2 → - a 3 a j v 3 → - … - a n a j v n →

Para ficar mais bonitinho, podemos fazer:

v j → = - a 1 a j v 1 → + - a 2 a j v 2 → + - a 3 a j v 3 → + … + - a n a j v n →

E pronto! Achamos que   v j →   é uma combinação linear dos demais vetores! UHULL

Resposta

v j → = - a 1 a j v 1 → + - a 2 a j v 2 → + - a 3 a j v 3 → + … + - a n a j v n →

Exercício Resolvido #7

Paulo F. Leite, Jéssica S. Paixão, lista USP, 2012.

Se λ 2 ,   … ,   λ n é um conjunto qualquer de escalares e u 1 ,   … ,   u n são vetores de um espaço vetorial V , então as seguintes condições são equivalentes:

(a) u 1 , … , u n é linearmente independente.

(b) u 1 ,   u 2 + λ 2 u 1 ,   … ,   u n + λ n u 1 é linearmente independente.

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Passo 1

Vamos começar com a letra (a)!

Para provar essa letra, vamos usar o que está sendo afirmado na letra (b). Reparem que podemos fazer isso, já que o enunciado diz que as condições são equivalentes.

Então, se u 1 ,   u 2 + λ 2 u 1 ,   … ,   u n + λ n u 1 é linearmente independente, podemos escrever:

α 1 u 1 + α 2 u 2 + λ 2 u 1 + … + α n u n + λ n u 1 = 0

Para deixar nossa equação mais organizada, faremos:

( I ) v 1 = u 1 v 2 = u 2 + λ 2 u 1 … v n = u n + λ n u 1

Assim, α 1 v 1 + α 2 v 2 + … + α n v n = 0

Agora o que estamos tentando provar é que, por hipótese, se v 1 , … , v n é linearmente independente, decorre que u 1 , … , u n também é linearmente independente!

Tá, mas como faremos isso??

Primeiro, vamos supor que u 1 , … , u n é linearmente independente. Logo,

α 1 u 1 + α 2 u 2 + … + α n u n = 0   ( I I )

De ( I )