Exercícios Resolvidos de Análise de variâncias

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Enunciado

Cinco analistas obtiveram os resultados (mmol de Ca), mostrados na tabela que se segue, para a determinação de cálcio por um método volumétrico. As médias diferem significativamente em um nível de confiança de 95 % ?

Passo 1

Nessa questão temos cinco séries de dados, e precisamos determinar se as médias populacionais entre elas são iguais, ou seja, precisamos comprovar a hipótese nula abaixo:

H 0 = μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 = μ 5

Para isso, vamos utilizar um método chamado ANOVA. Esse método analisa a variância de diferentes séries de dados para determinar se elas têm médias populacionais equivalentes

Passo 2

Para começar, precisamos calcular a média aamostral de cada uma das séries.

A média populacional pode ser encontrada através da fórmula abaixo:

x i - = ∑ j = 1 N j x j N j

Para o primeiro analista, essa média seria:

x - 1 = 10,3 + 9,8 + 11,4 3 = 10,5

Para os demais grupos, essa média pode ser encontrada na tabela abaixo:

Passo 3

O próximo passo é calcular média total, ou seja, a média de todos os valores obtidos de todos analistas. Essa média pode ser calculada pela seguinte fórmula:

x - - = N 1 N x 1 - + N 2 N x 2 - + … + N I N x I -

x - - = 3 15 10,5 + 9,0 + 12,5 + 9,7 + 11,9 = 10,507

Passo 4

Agora vamos calular o SQF, isto é, a soma dos quadrados entre os grupos. Basicamente precisamos somar os quadrados dos erros da média de cada grupo com a média geral. Só seguir essa fórmula aqui:

S Q F = N 1 x 1 - - x - - 2 + N 2 x 2 - - x - - 2 + … + N I x I - - x - - 2

A tabela abaixo mostra cada quadrado de fator:

A soma dos quadrados dos fatores será portanto:

S Q F = 0,00013 + 6,81013 + 11,92013 + 9,79213 + 5,28013 = 33,80267

Passo 5

O próximo passo é calcilar a soma dos quadrados dos erros, ou seja, a soma dos quadrados dos erros dentro de cada grupo:

S Q E = ∑ j = 1 N 1 x 1 j - x - 1 2 + ∑ j = 1 N 2 x 1 j - x - 2 2 + … + ∑ j = 1 N I x 1 j - x - I 2

Vamos fazer isso com o auxílio da tabela também:

A soma dos quadrados dos erros, será portanto:

S Q E = 1,34000 + 0,42000 + 0,42000 + 1,22000 + 0,6867 = 4,08667

Passo 6

O próximo passo é calcular a média dos erro dividindo-os pelo seu grau de liberdade:

M Q F = S Q F I - 1

M Q E = S Q E N - I

Onde N é o número total de dados, e I é o número de grupos. Portanto:

M Q F = 33,80267 5 - 1 = 8,45067  

M Q E = 4,08667 10 = 0,408667

Passo 7

Estamos acabando finalmente, agora só resta calcular o valor de F e comparar com o F tabelado. Vamos usar a seguinte fórmula para achar F :

F = M Q F M Q E = 8,45067 0,408667 = 20,67863

Vamos então consultar a tabela abaixo para encontrar p valor de F c r i t e poder comparar:

O grau de liberdade do numerador (MQF) é 4, e do denominador (SQF) é 10. Portanto, teremos:

F c r i t = 3,48

Portanto, o F que calculamos é maior que o F c r i t , isso significa que precisamos rejeitar a hipótese nula, e portanto, existe diferença significativa entre as médias populacionais dos analistas.

Resposta

Existe diferença significativa entre as médias populacionais.

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