Exercícios Resolvidos de Análise de variâncias

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Enunciado

Cinco laboratórios diferentes participaram de um estudo interlaboratorial envolvendo determinações dos níveis de Fe em amostras de água. Os seguintes resultados são réplicas de determinações de ppm de Fe para os laboratórios A-E.

  1. Defina as hipóteses apropriadas.
  2. Os laboratórios diferem em um nível de confiança de 95 % ? E a um nível de confiança de 99 % ( F c r i t = 5,99 )? E ao nível de confiança de 99,9 % ( F c r i t = 11,28 )?
  3. Calcule a diferença menos significativa para um nível de confiança de 95 %

Passo 1

Nessa questão, a mesma análise foi feita por cinco laboratórios diferentes. Precisamos então determinar se as médias populacionais encontradas pelos diferentes laboratórios são equivalentes. Sendo assim, nossa hipótese nula será que todas as médias populacionais são iguais.

H 0 = μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 = μ 5

A hipótese alternativa, por sua vez, é que pelo menos duas das médias populacionais são diferentes entre si.

H a : P e l o   m e n o s   d u a s   d a s   m é d i a s   p o p u l a c i o n a i s   s ã o   d i f e r e n t e s

Passo 2

Vamos agora então testar nossa hipótese nula. Para fazer isso, devemos primeiro calcular as médias amostrais encontradas.

A média populacional pode ser encontrada através da fórmula abaixo:

x i - = ∑ j = 1 N j x j N j

Para o primeiro analista, essa média seria:

x - 1 = 10,3 + 11,4 + 9,8 3 = 10,5

Para os demais grupos, essa média pode ser encontrada na tabela abaixo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a média amostral de todos os valores obtidos:

x - - = N 1 N x 1 - + N 2 N x 2 - + … + N I N x I -

x - - = 3 15 10,5000 + 9,6667 + 10,1667 + 9,0333 + 10,7333 = 10,0200

Passo 4

Agora vamos calular o SQF, isto é, a soma dos quadrados entre os grupos. Basicamente precisamos somar os quadrados dos erros da média de cada grupo com a média geral. Só seguir essa fórmula aqui:

S Q F = N 1 x 1 - - x - - 2 + N 2 x 2 - - x - - 2 + … + N I x I - - x - - 2

A tabela abaixo mostra cada quadrado de fator:

A soma dos quadrados dos fatores será portanto:

S Q F = 0,6912 + 0,3745 + 0,0645 + 2,9205 = 1,5265 = 5,5773

Passo 5

Além do SQF, também devemos calcular a soma dos quadrados dos erros, ou seja, a soma dos quadrados dos erros dentro de cada grupo:

S Q E = ∑ j = 1 N 1 x 1 j - x - 1 2 + ∑ j = 1 N 2 x 1 j - x - 2 2 + … + ∑ j = 1 N I x 1 j - x - I 2

Vamos fazer isso com o auxílio da tabela também:

A soma dos quadrados dos erros, será portanto:

S Q E = 1,34000 + 0,0867 + 0,0867 + 0,2867 + 0,2067 = 2,0067

Passo 6

O próximo passo é calcular a média dos erro dividindo-os pelo seu grau de liberdade:

M Q F = S Q F I - 1

M Q E = S Q E N - I

Onde N é o número total de dados, e I é o número de grupos. Portanto:

M Q F = 5,5773 5 - 1 = 1,3943  

M Q E = 2,0067 15 - 5 = 0,20067

Passo 7

Estamos acabando finalmente, agora só resta calcular o valor de F e comparar com o F tabelado. Vamos usar a seguinte fórmula para achar F :

F = M Q F M Q E = 1,3943 0,20067 = 6,9485

Vamos então consultar a tabela abaixo para encontrar p valor de F c r i t para um nível de confiança de 95 % e poder comparar:

O grau de liberdade do numerador (MQF) é 4, e do denominador (SQF) é 10. Portanto, teremos:

F c r i t = 3,48

Como F > F c r i t , em um nível de confiança de 95 % , os resultados não são equivalentes, e a hipótese nula é falsa. Isso é, estamos 95 % confiantes de que os laboratórios diferem, vamos verificar agora para 99 % .

Para um nível de confiança de 99 % , o F c r i t é de 5,99 , que ainda é menor que o F encontrado, e portanto a hipótese nula também é falsa nesse nível de confiança. Ou seja, também estamos 99% confiantes de que os laboratórios diferem!

Já para um nível de confiança de 99,9 % , o F c r i t é 11,28 , que é maior que o valor de F encontrado, e portanto a hipótese nula é verdadeira nesse nível de confiança. Aqui NÃO podemos afirmar com 99,9 % de certeza que os laboratórios diferem.

Passo 8

Para calcular a diferença menos significativa, devemos usar a fórmula abaixo:

D M S = t 2 × M Q E N g

Onde t tem nível de confiança de 95 % e grau de liberdade N - I = 10 .

Vamos consultar a tabela abaixo para encontrar esse valor:

Nela, podemos ver que t = 2,23 . Vamos então calcular a MSD:

D M S = t 2 × M Q E N g

Onde:

t = 2,23

M Q E = 0,20067

N g = 3

D M S = 2,23 2 × 0,20067 3 = 0,816

Resposta

  1. H 0 = μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 = μ 5
  2. H 0 falsa em 95% de nível de confiança
  3. H 0 falsa em 99% de nível de confiança

    H 0 verdadeira em 99,9% de nível de confiança

  4. D M S = 0,816

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