Exercícios Resolvidos de Análise Dimensional

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Enunciado

A força de arrasto F sobre uma esfera lisa, estacionária, depende de D , V , ρ e μ . Obter um conjunto de grupos adimensionais que possam ser usados para correlacionar dados experimentais.

Passo 1

Partiu fazer a análise dimensional para encontrar o conjunto de grupos adimensionais que o exercícios pediu!

Começando com a separação sas variáveis e suas dimensões:

Temos cinco variáveis e três dimensões primárias , então:

i = 5 - 3

i = 2

Vamos ter dois grupos adimensionais!

Passo 2

Como temos três dimensões primárias, vamos ter três parâmetros repetidos! Vamos escolher, como parâmetro repetido, a massa específica, o diâmetro e a velocidade, ok? Nossos grupos adimensionais, serão:

π 1 = ρ   a ⋅ V   b ⋅ D   c ⋅ F π 2 = ρ   d ⋅ V   e ⋅ D   f ⋅ μ

Agora vamos escrever cada um deles em relação às dimensões. Lembrando que nossos coeficientes precisam ser iguais a zero, temos:

π 1 = ρ   a ⋅ V   b ⋅ D   c ⋅ F

M L 3   a ⋅ L t   b ⋅ L c ⋅ M L t 2 = 0

Isso nos diz que:

L :       - 3 a + b + c + 1 = 0

M :         a + 0 + 0 + 1 = 0

t :         0 - b + 0 - 2 = 0

Então temos:

a = - 1 e b = - 2

Sendo assim teremos:

- 3 ⋅ - 1 + - 2 + c + 1 = 0

c = - 2

Portanto nosso primeiro grupo adimensional será:

π 1 = ρ   - 1 ⋅ V   - 2 ⋅ D   - 2 ⋅ F

π 1 = F ρ   ⋅   V 2   ⋅   D 2

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para o segundo grupo adimensional!

π 2 = ρ   d ⋅ V   e ⋅ D   f ⋅ μ

M L 3   d ⋅ L t   e ⋅ L f ⋅ M L t = 0

Isso nos diz que:

L :       - 3 d + e + f - 1 = 0

M :         d + 0 + 0 + 1 = 0

t :         0 - e + 0 - 1 = 0

Então temos:

d = - 1 e e = - 1

Sendo assim:

- 3 ⋅ - 1 + - 1 + f - 1 = 0

f = - 1

Portanto nosso segundo grupo adimensional será:

π 2 = ρ   - 1 ⋅ V   - 1 ⋅ D   - 1 ⋅ μ

π 2 = μ ρ   ⋅   V   ⋅   D

Podemos então tirar a relação funcional, dos dois grupos adimensionais, sendo ela:

π 1 = f π 2

F ρ   ⋅   V 2   ⋅   D 2 = f μ ρ   ⋅   V   ⋅   D

Show de bolinhas!

Resposta

Os grupos adimensionais são:

π 1 = F ρ   ⋅   V 2   ⋅   D 2 π 2 = μ ρ   ⋅   V   ⋅   D

A relação funcional é:

F ρ   ⋅   V 2   ⋅   D 2 = f μ ρ   ⋅   V   ⋅   D

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