Exercícios Resolvidos de Análise Gráfica da Interferência por Meio de Propagação

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 107-90.

Na Fig.35-56a, as ondas associadas aos raios 1 e 2 estão inicialmente em fase e têm o mesmo comprimento de onda λ no ar. O raio 2 atravessa um material de comprimento L e índice de refração n .

Os raios são em seguida refletidos por espelhos para um ponto comum P , situado sobre uma tela. Suponha que é possível fazer n variar de n = 1,0 até n = 2,5 . Suponha também que de n = 1,0 a n = n S = 1,5 a intensidade I da luz no ponto P varia com n da forma indicada na Fig.35-56b.

Para que valores de n maiores que 1,4 a intensidade I :

  1. É máxima?
  2. É zero?
  3. Que múltiplo de λ corresponde à diferença de fase entre os raios no ponto P para n = 2,0 ?

Passo 1

a)

Quando a interferência é totalmente construtiva a intensidade é máxima, e quando é totalmente destrutiva a intensidade é mínima.

As condições para isso quando temos uma diferença de fase por meio de propagação são:

Interferência construtiva:

m ∙ λ 0 = n 1 - n 2 ∙ L

m = 0 ,   1 ,   2 ,   3 , …

Interferência destrutiva:

m + 1 2 λ 0 = n 1 - n 2 ∙ L

m = 0 ,   1,2 ,   3 , …

Lembrando que o raio r 2 está sempre no ar, temos que n 2 ≅ 1 (o índice de refração do ar é aproximadamente 1).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para sabermos quando que a interferência será construtiva ao variarmos n 1 precisamos encontrar a razão λ 0 / L .

Pelo gráfico de intensidade, sabemos que n 1 = 1,4 é o primeiro índice de refração acima de 1 que causa interferência destrutiva. Logo, para este valor, m = 0 .

0 + 1 2 ∙ λ 0 L = ( 1,4 - 1,0 )

λ 0 L = 0,4 ∙ 2 = 0,8

Passo 3

Agora, para acharmos os valores de n 1 ≤ 2,5 com interferência construtiva (intensidade máxima), vamos variando m = 1,2 , 3,4 , … até passarmos de n 1 = 2,5 (evitamos m = 0 pois ele corresponde a n 1 = n 2 = 1 ). Rearranjando a condição:

n 1 = n 2 + m ∙ λ 0 L

Onde n 2 = 1 e λ 0 L = 0,8 .

n 1 = 1 + m ∙ 0,8

m = 1 → n 1 ≅ 1,8

m = 2 → n 1 = 2,60

E paramos por aqui, pois n 1 ≤ 2,5 .

Passo 4

b)

A intensidade zera para o caso de interferência totalmente destrutiva. Manipulando um pouco a condição de interferência destrutiva:

n 1 = n 2 + m + 1 2 ∙ λ 0 L

Como tínhamos calculado no item anterior, λ 0 L = 0,8 e n 2 = 1 . Novamente, vamos testando diversos valores de m depois do 0 até ultrapassarmos o limite de índices de refração possíveis.

n 1 = 1 + m + 1 2 ∙ 0,8

m = 1 → n 1 ≅ 2,2

m = 2 → n 1 ≅ 3

Para m = 2 , n 1 > 2,5 e por isso paramos por aqui.

Passo 5

c)

A diferença de fase em múltiplos do comprimento de onda é dada por:

ϕ = n 1 - n 2 ∙ L λ 0

Dos itens anteriores, sabemos que λ 0 L = 0,8 = 8 10 e por isso L λ 0 = 10 8 .

ϕ = 2 - 1 ∙ 10 8 = 1,25

Resposta

a)

A intensidade é máxima para n 1 = 1,8 .

b)

A intensidade é zero para n 1 = 2,2 .

c)

A diferença de fase dos raios no ponto P para n 1 = 2,0 é de ϕ = 1,25 comprimentos de onda.

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