Análise Gráfica da Interferência por Meio de Propagação

Teoria Completa

Do que depende a interferência por meios de propagação?

Agora, vamos ver a interferência por meio de propagação através do amor número um de todos os cientistas no mundo: gráficos.

Como são os gráficos dessa interferência, e o que a gente pode extrair deles?

Para saber isso, precisamos relembrar as fórmulas que temos.

Primeiro, lembre que a diferença de fase é dada por:

ϕ = n 1 - n 2 ∙ 2 π L λ 0

O que podemos notar?

  • A diferença de fase ϕ depende linearmente da espessura dos meios L , cruzando o e i x o   x em 0 (se a diferença de fase inicial for zero).
  • A diferença de fase ϕ depende linearmente da diferença entre os índices de refração dos meios n 1 e n 2 .
  • A diferença de fase ϕ é inversamente proporcional ao comprimento de onda da luz λ 0 no vácuo, não cruzando nenhum eixo, mas tendendo para 0 quando λ 0 → ∞ .

A intensidade resultante da interferência de dois raios de luz é dada pelo quadrado do cosseno de metade da diferença de fase entre eles (a interferência entre dois raios de luz é sempre dada por essa equação).

Logo, ela oscila com a espessura e o índice de refração dos meios e com o comprimento de onda da luz.

I r e s = 4 I 0 cos 2 ⁡ ϕ 2

Onde os pontos de máximo são os de interferência totalmente construtiva ( cos 2 ⁡ ( x ) = 1 )

ϕ = 2 m π

Os de mínimo são os de interferência totalmente destrutiva ( cos 2 ⁡ ( x ) = 0 ).

ϕ = 2 m + 1 π

Agora para os exercícios! (e por favor, sem álcool!)

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Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 106-84.

A Fig.35-51a mostra dois raios luminosos, com um comprimento de onda no ar de 400 n m , que estão inicialmente em fase enquanto se propagam para cima em um bloco de plástico.

O raio r 1 atravessa o plástico e chega ao ar. Antes de chegar ao ar o raio r 2 passa por um líquido contido em uma cavidade do plástico. A altura L l í q do líquido é inicialmente 40,0 μ m , mas o líquido começa a evaporar.

Seja ϕ a diferença de fase entre os raios r 1 e r 2 ao chegarem ao ar. A Fig.35-51b mostra o valor de ϕ (em comprimentos de onda) em função da altura L l í q do líquido, com ϕ dado em termos de comprimentos de onda e a escala do eixo horizontal definida por L S = 40,00 μ m . Determine:

  1. O índice de refração do plástico.
  2. O índice de refração do líquido.

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Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema.

Os dois raios luminosos se propagam, inicialmente, no mesmo meio (o plástico) e em fase até que o raio r 2 atinge a cavidade com líquido.

Assim, a diferença de fase entre eles na saída será devido a diferença de meio de propagação.

Contudo, é importante notar que, inicialmente, essa diferença de meio se dá apenas pelo líquido, mas a medida que o líquido evapora ela vai se dando pelo líquido e pelo ar na cavidade.

Passo 2

a)

A diferença de fase dada pela diferença de meio de propagação em múltiplos do comprimento de onda é dada por:

ϕ m ú l t i p l o = n 2 - n 1 ∙ L λ 0

Pelo gráfico, temos diversos valores de ϕ para diversos valores de L l í q , e a altura de ar vai ser a altura da cavidade menos a altura do líquido. O problema também nos dá o comprimento de onda da luz incidente.

Para inverter a equação, e achar um dos dois índices de refração, é necessário ter o outro índice.

n 2 = n 1 + ϕ ∙ λ 0 L

Tem um meio cujo índice de refração sabemos, mesmo sem o problema nos contar: o ar, cujo índice de refração é 1.

Passo 3

A medida que o líquido evapora, a cavidade vai ficando com ar dentro dela. Quando o líquido evaporar completamente ( L l í q = 0 ) teremos apenas ar na cavidade que tem uma altura de 40,00   μ m (altura inicial do líquido). Temos então:

  • L = 40,0   μ m
  • ϕ L l í q = 0   μ m = 60
  • λ 0 = 400   n m = 0,4   μ m
  • n 1 = n a r = 1
  • n p l á s t i c o = 1 + 60 ∙ 0,4 40

    n p l á s t i c o = 1,6

    Passo 4

    b)

    Para encontrar o índice de refração do líquido, podemos “inverter o tempo”. No início do processo, a cavidade tinha apenas o líquido (antes de ele evaporar). Com isso, podemos usar uma equação semelhante a anterior para achar o índice de refração do líquido usando o índice do plástico.

    n p l á s t i c o - n l í q u i d o = ϕ ∙ λ 0 L l í q

    Passo 4

    Os valores da equação nós já temos. Lembrando que a diferença de fase nós tiramos do gráfico (neste caso, usamos L l í q = 40 μ m , o extremo direito do gráfico )

  • L l í q = 40,0   μ m
  • ϕ L l í q = 40   μ m = 20
  • λ 0 = 400   n m = 0,4   μ m
  • n p l á s t i c o = 1,6 (obtido na letra (a) )

n l í q u i d o = n p l á s t i c o - ϕ ∙ λ 0 L l í q

n l í q u i d o = 1,6 - 20 ∙ 0,4 40

n l í q u i d o = 1,4

Resposta

a)

n p l á s t i c o = 1,6

b)

n l í q u i d o = 1,4

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 107-90.

Na Fig.35-56a, as ondas associadas aos raios 1 e 2 estão inicialmente em fase e têm o mesmo comprimento de onda λ no ar. O raio 2 atravessa um material de comprimento L e índice de refração n .

Os raios são em seguida refletidos por espelhos para um ponto comum P , situado sobre uma tela. Suponha que é possível fazer n variar de n = 1,0 até n = 2,5 . Suponha também que de n = 1,0 a n = n S = 1,5 a intensidade I da luz no ponto P varia com n da forma indicada na Fig.35-56b.

Para que valores de n maiores que 1,4 a intensidade I :

  1. É máxima?
  2. É zero?
  3. Que múltiplo de λ corresponde à diferença de fase entre os raios no ponto P para n = 2,0 ?

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Passo 1

a)

Quando a interferência é totalmente construtiva a intensidade é máxima, e quando é totalmente destrutiva a intensidade é mínima.

As condições para isso quando temos uma diferença de fase por meio de propagação são:

Interferência construtiva:

m ∙ λ 0 = n 1 - n 2 ∙ L

m = 0 ,   1 ,   2 ,   3 , …

Interferência destrutiva:

m + 1 2 λ 0 = n 1 - n 2 ∙ L

m = 0 ,   1,2 ,   3 , …

Lembrando que o raio r 2 está sempre no ar, temos que n 2 ≅ 1 (o índice de refração do ar é aproximadamente 1).

Passo 2

Para sabermos quando que a interferência será construtiva ao variarmos n 1 precisamos encontrar a razão λ 0 / L .

Pelo gráfico de intensidade, sabemos que n 1 = 1,4 é o primeiro índice de refração acima de 1 que causa interferência destrutiva. Logo, para este valor, m = 0 .

0 + 1 2 ∙ λ 0 L = ( 1,4 - 1,0 )

λ 0 L = 0,4 ∙ 2 = 0,8

Passo 3

Agora, para acharmos os valores de n 1 ≤ 2,5 com interferência construtiva (intensidade máxima), vamos variando m = 1,2 , 3,4 , … até passarmos de n 1 = 2,5 (evitamos m = 0 pois ele corresponde a n 1 = n 2 = 1 ). Rearranjando a condição:

n 1 = n 2 + m ∙ λ 0 L

Onde n 2 = 1 e λ 0 L = 0,8 .

n 1 = 1 + m ∙ 0,8

m = 1 → n 1 ≅ 1,8

m = 2 → n 1 = 2,60

E paramos por aqui, pois n 1 ≤ 2,5 .

Passo 4

b)

A intensidade zera para o caso de interferência totalmente destrutiva. Manipulando um pouco a condição de interferência destrutiva:

n 1 = n 2 + m + 1 2 ∙ λ 0 L

Como tínhamos calculado no item anterior, λ 0 L = 0,8 e n 2 = 1 . Novamente, vamos testando diversos valores de m depois do 0 até ultrapassarmos o limite de índices de refração possíveis.

n 1 = 1 + m + 1 2 ∙ 0,8

m = 1 → n 1 ≅ 2,2

m = 2 → n 1 ≅ 3

Para m = 2 , n 1 > 2,5 e por isso paramos por aqui.

Passo 5

c)

A diferença de fase em múltiplos do comprimento de onda é dada por: