Exercícios Resolvidos de Aplicação método das forças – Temperatura

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Enunciado

Determine as reações de apoio do pórtico abaixo, sabendo que o mesmo sofre um recalque vertical para baixo de 2cm no apoio A, e no mesmo apoio sofre um deslocamento de 4cm para direita. E no apoio B, ainda sofre um recalque de 1 cm pra cima.

U s e   E J = 10 4   k N m 2

Passo 1

Sabemos que a primeira coisa que devemos fazer é determinar o número de hiperestáticos.

  • Hiperestáticos totais pelo macete

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = n º   i n c o g n i t a s   e x t e r n a s + n º   i n c o g n i t a s   i n t e r n a s - n º   e q u a ç õ e s  

  • Sabemos que temos 1 apoio do terceiro gênero e um apoio do primeiro gênero, totalizando 4 incógnitas externas
  • Não temos regiões fechadas, totalizando 0 incógnitas internas
  • Temos 3 equações de equilíbrio
  • Não temos rótulas

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = 4 + 0 - 3 = 1  

Ou seja, nossa estrutura possui um grau de hiperestaticidade, que se eu conseguir tirar da nossa estrutura, transforma a nossa estrutura em isostática.

Quebrando um vinculo teremos a seguinte nova estrutura.

E até aqui a gente sabe resolver de boas, o que aparece de novo é o seguinte.

Pra determinar a deformação no sistema zero, que nesse caso é um recalque de apoio, precisamos obrigatoriamente colocar uma carga unitária no mesmo lugar, na mesma direção e no mesmo sentido do hiperestático, porém iremos calcular a deformação de maneira DIFERENTE do que fazemos com o hiperestático.

Apesar da carga estar na mesma posição e sentido do hiperestático, para o hiperestático iremos calcular o diagrama de momentos, porém para o sistema zero iremos calcular as deformações de recalque. Parece meio embolado, mas é bem tranquilo, me segue aqui.

Passo 2

Como eu disse, no sistema zero colocamos uma carga unitária na mesma posição, direção e sentido do hiperestático, com isso teremos.

Para esse sistema como definimos a deformação quando estamos vendo o recalque? Não seria exatamente calculando as reações de apoio, e usando a nossa formulazinha?

P ¯ δ + ∑ R ¯ ρ = 0

Determinando as reações de apoio desse sistema teremos que:

E como eu disse, precisamos relacionar as reações de apoio com seus respectivos recalques, que nesse caso será dado por.

Como o 4cm não tem par, só iremos ter dois termos.

E antes de substituirmos na fórmula precisamos saber como funciona o esquema de sinais.

  • Sinais

Sempre que a reação for no mesmo sentido do recalque, ela será positiva,

e sempre que for no sentido contrário, será negativa.

Por fim, o último passo é substituirmos na nossa fórmula, que será dada por:

P ¯ δ + ∑ R ¯ ρ = 0

P ¯ δ + - V A   .     ρ V A - V B   .     ρ V B = 0

1 . δ + ( - 2   .   1 4 - 1   .   1 4 ) = 0

δ = 0,7 5 c m

Sabe quem é essa deformação? É exatamente o nosso δ 10 , então podemos escrever ele como.

δ 10 = 0,7 5   c m = 0,0075

Passo 3

O sistema 1 continua sendo calculado como sempre fizemos. Analisamos a estrutura com a ação de um hiperestático unitário, determinamos o diagrama e determinamos tudo que for referente ao sistema 1, dessa maneira obtemos que:

E para determinar δ 11 faremos

E J δ 11 = 1 3   .   l   .   M .   M ¯ + l   .   M   .   M ¯ = 1 3   .   4   .   1 .   1 + 10   .   1   .   1 = 11,333333  

Como E J = 10 4   k N m 2 , teremos que

δ 11 = 0,0011333333

E assim teremos que o nosso sistema será:

δ 10 + δ 11 X 1 = 0

Substituindo teremos que

0 , 00 75   + 0,0011333333 X 1 = 0

X 1 = - 6 , 62   k N m

Vamos agora determinar as reações de apoio com as nossas relaçãozinhas

  • Reação vertical no apoio esquerdo
  • R v 1 = R v 10 + R v 11 X 1

    R v 1 = 0 + 1 4   .   - 6,62 = - 1,655

  • Reação vertical no apoio direito
  • R v 1 = R v 10 + R v 11 X 1

    R v 1 = 0 - 1 4   .   - 6,62 = 1,655

    Resposta

  • Reação vertical no apoio esquerdo
  • R v 1 = - 1,655   k N

  • Reação vertical no apoio direito
  • R v 1 = 1,655   k N

  • Reação de momento

R v 1 = X 1 = - 6,62   k N m